I. — Généralités sur les groupes continus (i

I. Bien que nous ne puissions faire ici une exposition complète des résultats fondamentaux de M. Sophus Lie dans la théorie des groupes continus de transformation, il est indispensable cependant que nous fassions quelques remarques générales sur cette notion de groupes continus, qui joue un si grand rôle dans la Science de notre époque. Considérons les n équations

\y'ii=fii{yu y-i^ •••,yn, «1, «2, ••.,<^/-)j

les f dépendant de r paramètres <2< , «o? • - • -, (^r- Ces n équations définissent une transformation entre les y et les y\ et l'on suppose, bien entendu, que le déterminant fonctionnel des /"par rapport aux y n'est pas identiquement nul. De plus, on suppose que les r paramètres a ont été réduits au moindre nombre, c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de trouver /' fonctions

Al, A2, ..., A;.' ('•'</•)

(>) Pour ces généralités on se reportera aux trois Volumes de M. Sophus Lie Sur les Groupes de transformations ; on trouvera aussi une exposition très condensée et très nette des théorèmes fondamentaux dans les Leçons de M. Lie, rédigées par M. Scheffers (iSgS), aux pages 366 et suivantes.

de Gk , «27 • • -5 ^^r-, telles que l'on ait

fiiyi^yi, '--,yn, «i, <^2, ••., «/•) = ^iiyuiî, ---^yn, ^^i, ^2, ..., a,.')

circonstance qui amènerait la réduction du nombre des paramètres. Si cette circonstance se produisait, on aurait évidemment une relation de la forme

y, .(ai, «2, ...,ar) ^ = o (i = i, 2, . . ., n),

et la réciproque est immédiate, c'est-à-dire que, si les /satisfont tous à une relation de cette forme, il y aura au plus r — i paramètres distincts.

Ceci posé, les équations (i) définissent un groupe de transformations à r paramètres si, ayant successivement

y'i=fi{yuyi^ ^-..yn^a^.a^, ...,«/•), y"L=fi'^y\^y'%^ •.•,r/n^i,^2, .•.,^/-) («^' = ^5', .••. ri\

les a et h étant des constantes arbitraires, on a

y"i=fi{y\^yt^ -"^ymCuc^i, ...,cr),

les c ne dépendant que des a et des h. On a donc

Ck= ^k{ctu ,..,ar,bi, ..., b,.) (A- = 1, 2, ...,/')•

Faisons de suite la remarque que les c considérés comme fonctions des b, par exemple, seront des fonctions indépendantes. On a, en effet,

fi{y\^y'%^ '•'.y'a.bub,, ...,br)=fi{yi,yi, ...,JK«,'J>1,<1^2, ---Ar)'

En différentiant par rapport aux b successivement, on voit que l'on aurait, si le déterminant fonctionnel des ^ par rapport aux b était nul, une relation de la forme

>,(«!,...,«;., 6,, ..., br) -^ -i-...+ X/.(ai, ..., «r, ^1, ..., ^r) ^ = O,

quel que soit ?', et, en donnant aux a des valeurs fixes arbitraire-

ment choisies, on aurait une relation de Ja forme (a), et, par suite, les paramètres ne seraient pas réduits au moindre nombre.

Nous n'allons considérer que les groupes de transformations comprenant la substitution identique, c'est-à-dire que nous supposons que, pour certaines valeurs a", ..., <2^, de «i, ..., a,-, on ait

«^ I — ^ 1 ? 2 — ■ 2 ? • • • ? ^ fi — ^ n •

2. Dans le cas oii il n'j a qu'un seul paramètre, le problème de la recherche des groupes est extrêmement simple. Il nous suffira de prendre deux variables ; la recherche serait la même pour un nombre quelconque de variables. Considérons donc le groupe à un paramètre a

D'après la notion même de groupe nous aurons

c étant une fonction de a et ^, soit

Des lettres a, b, c deux sont indépendantes, et la troisième est fonction des deux premières. Nous allons, pour un moment, regarder b comme fonction de a et c. En différentiant par rapport à a les deux membres des équations (:>».), on a

dx' da dy' éa db da ~ '

()cp dx' t)cp dy' d'^ db dx' da dy' da db da ~

On tire de là, en résolvant ces deux équations par rapport à

dx' dy' da da

dy' ^., , j . db

ÉQLATIO-XS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 49^

Or, de l'équation c = '}(<7, Z>), on tire la valeur de -7-^ soit

y {ci, b). Nous avonc donc

Les équations étant écrites sous cette forme, nous pouvons regarder a et b comme indépendants, et nous avons un système d'équations auxquelles satisfont x' et y' considérées comme fonctions de a. Donnons à b une valeur fixe d'ailleurs arbitrairement choisie; les deux équations pourront s'écrire

âr'

Si l'on fait enfin un changement de paramètre, en introduisant au lieu de a un paramètre t lié à a par la relation

%{a)da = dt, nous aurons le système

dy' et, pour une certaine valeur de <7, on a, par hypothèse,

On peut supposer que cela a lieu pour t = o. Donc notre groupe s'obtiendra en considérant le système d'équations différentielles ordinaires

et en cherchant la solution (x',y) se réduisantJui^PjJ^ pour

^ OFTHE ^

TCTNIVERSITr;

/Jg6 CHAPITRE XVII.

t = o. Cette solution donnera les deux fonctions

qui correspondront au groupe cherché.

La réciproque est exacte, c'est-à-dire que deux équations

dx' ^ , ,

prises arbitrairement, peuvent être regardées comme définissant un groupe à un paramètre. Ceci résulte de ce que ^ et -^ ne dépendent que de x' ety'. Concevons, en effet, qu'on ait trouvé l'intégrale de ce système telle que x' = x^ y' =y pour ^ = o, et soit

cette intégrale ^ye dis que ces équations définissent un groupe. Écrivons

Les expressions précédentes se réduisent à ^ et y pour t^ = o. D'autre part, les équations

y"=t^{x',y', t — ti)

définissent les intégrales x'^ ely" se réduisant à x', y' pour t = t^. Il en résulte que x\ y" représentent les intégrales se réduisant à (x, y) pour ^ r= o. Donc

y"^tf{x,y,t),

ce qui revient à dire que, des égalités

^'=f(^,y,fi), oc" = f{x',y\ti), y'=o{x,y, ti), y"=c^{x', y', t,),

ÉQUATIONS DIFFÉROTIELLES LINÉAIRES. 497

on déduit

et Ton a donc bien un groupe.

Pour un accroissement infiniment petit ô/, donné à / à partir de t z=Oj x' et ^''prennent à partir de x et >' des accroissements dont les parties principales Zx et or sont évidemment

aussi appelle-t-on

; c^ et T, o/

la transformation infinitésimale dn groupe, et, d'après ce qui précède, un groupe à un paramètre est défini par une transformation infinitésimale.

Nous avons considéré le cas de deux lettres; il est clair qu'un groupe à un paramètre pour n lettres peut être défini par le système

-^ = îlV^i» ^5» • - - » •'«/>

-^=t«(x„Xi. ...,x,).

où les ç sont des fonctions de x,, -Tî, — , x», d'ailleurs quelconques.

3. Considérons maintenant le cas d'un nombre quelconque de paramètres. En nous bornant d'abord uniquement, pour avoir des notations plus simples, à deux variables, nous envisageons le groupe

à r paramètres. Ecrivons, comme plus haut,

(3) /{^,y,àu ...,br)=f{x,y,cu...,cr).

OÙ l'on a

avec ridentité de même forme pour cp.

Nous considérons encore les c et les a comme des arbitraires, les h étant des fonctions de ces quantités. En différentiant l'identité (3) par rapport à ah-, il vient

df d^ àl èy àf dbj df db,

dx' daji df' âa/i ùb\ ôa/, ' ' ' ùb,. ôa/^

et pareillement

d^ dx' do dy' do dbi do db,. . , ,

-rS -3 h T^ T^ -+- :t7- 1 ^- ---^ TT- 1 — = ^ (// = i, 2. .. ., /•)•

dx da/i dy da/i db-, da/^ db,- da/,

On tire de ces deux équations, en calculant les dérivées partielles des b par rapport aux «, au mojen des relations Ck = '%,

-£- = ^^2'kh{ciu •••. «/', bu ..., br) Q/A^\ y, bu ..., br) A = 1

Le déterminant formé avec les X/çh n'est pas identiquement nul, car autrement on aurait une relation de la forme

^X/,(ai, ..., a,., bi, ..., ^,0 ^ = O'

et la même relation pour y' ; par suite, les paramètres ne seraient pas réduits au moindre nombre. Gomme les c ne figurent pas dans les identités (4), celles-ci sont vérifiées quels que soient a et b. Donnons aux b des valeurs arbitraires mais fixes; les équations précédentes deviendront

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LLNÉAIRES. 499

rSous avons là un système de 2/- relations auxquelles satisfont x' el y considérés comme fonctions de a, . . . . , Gr-

Nous avons déjà dit que le déterminant | Hkh \ n'était pas identiquement nul; il en résulte que l'on pourra écrire

et le déterminant | a^A | ne sera pas identiquement nul. Xous pou vous conclure de là que les deux relations

2^A-U(^', y) = o, ^eji.r,,,.(x\ y) = o,

il = 1 A-l

OÙ les e seraient des constantes qui ne sont pas toutes nulles, ne peuvent avoir lieu simultanément. Elles entraîneraient en effet les relations

dx'

2 ^CA-a^/i^^ = o

et la relation analogue en remplaçant j:' par y'- Mais, les paramètres étant réduits au moindre nombre, ceci ne peut avoir lieu que si

d'où l'on conclut que le déterminant ! Xf(/i ] devrait être nul.

4. Les équations (5) jouent, dans la théorie des groupes, un rôle extrêmement important. M. Lie démontre à leur sujet un théorème réciproque, que nous nous contenterons d énoncer.

Supposons que Ton ait un ensemble de transformations à /• paramètres (je ne dis pas un groupe)

5oO ClIAPITHE XVII.

tel que, pour certaines valeurs des paramètres, on ait x'^=x, v'= y, et que les x^ et y' considérés comme fonctions des a satisfassent à un système de la forme (5), avec les conditions indiquées plus haut relatives à certains déterminants différents de zéro. Dans ces conditions, on peut affirmer que V ensemble des traiisj or mations précédentes formera un groupe: c'est la réciproque du théorème du paragraphe précédent.

Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de cette réciproque, et nous allons montrer immédiatement ce qu'on entend par transformations intinitésimales d'un groupe.

Nous avons dit que, pour certaines valeurs des a, soit

«2 = «2 , cLy — a)

on a .r'=^, y'=J- Donnons aux a des accroissements infiniment petits la à partir de a^ . Les parties principales Ix' et oj des accroissements de x^ et y seront

(dx'\ . , [ dx' \

6^'=,-^, oa,-H...-( — j^ô^,,

et, par suite, en désignant par £< , ^2? •••,£/- des quantités infiniment petites qui sont des combinaisons linéaires et homogènes à coefficients constants de oa,, û«2? • • • ■> ^^ri on aura

ox'= îi;i(.r,jK)+...-^£r?r(^,7), oy' = Si r,i (^, jK) + . . . -+- 2r-^i/'(.^S y),

en calculant, à l'aide des équations (5), les valeurs des dérivées

On dit alors que le groupe admet r transformations infinitésimales^ dont l'ensemble représente la partie principale de l'accroissement de x^ ety' à partir de x et y, pour des accroissements arbitraires des a à partir des a^. Ces /• transformations infinitésimales sont

Elles sont linéairement indépendantes, c'est-à-dire que, pour

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 5oi

des valeurs de constantes convenables e, on ne peut avoir

comme nous l'avons vu plus haut.

5. Les équations (5) vont nous permettre d'obtenir les sousgroupes à un paramètre contenus dans le groupe donné. Cherchons à cet effet comment nous devons déterminer a, , . . . , <7,. en fonction d'un paramètre t, pour que l'ensemble des transformations correspondantes forme un groupe à un paramètre. D'après ce que nous avons vu au § 2, le paramètre t peut être choisi de telle manière que le groupe soit défini par des équations de la forme

D'autre part, les équations (5) nous donnent

dx ^ dx dan V Va / ^^ / ' '^ ^^/'

Il résulte de là que le second membre ne dépendra pas de t. Les coefficients de ^k{x' , y') sont donc des constantes, et l'on aura, par suite,

^eA-A(ai,...,a,.)-^' =X/, (A=i,2,...,r),

les A étant des constantes. D'ailleurs, bien évidemment, en prenant pour les X des constantes quelconques, et en prenant pour les a des fonctions satisfaisant au système précédent d'équations différentielles, on obtiendra un groupe à un paramètre contenu dans le groupe donné, et défini par les équations

dx'

-^ = Xi^i(x',y)4-...^X;.^r(^',y),

dv'

Pour trouver ce groupe, on doit intégrer ces équations, en prenant les conditions initiales

x' = x, y — y (pour^ = o).

On voit que ces intégrales se présenteront sous la forme

comme le montre le développement de x' ^ y' suivant les puissances de t.

En même temps que la réciproque admise au paragraphe précédent (5), M. Lie démontre que, du groupe à un paramètre que nous venons d'obtenir, on peut déduire le groupe général, défini par les équations (5), en remplaçant )., t^ X.o ^ . . • , V^ par t^ arbitraires a,, ao, . . ., «o qui ne représenteront pas en général les mêmes quantités que les a primitifs.

Le groupe donné pourra donc s'écrire

x' = ¥{x, y, ai, . .., a,.), y'= <ly{x,y,ai, ..., a,.),

la substitution identique correspondant à «1 =.. .= a,==o, et l'on aura le développement

37' = :r -+- ai ;i (x, j) -f-. . .+ «/• çri-^, r) +. . . ,

^"^^ l y'=y-^air^i{x,y)-^...-{-arr,r{^,y)

les termes non écrits étant de degrés supérieurs au premier par rapport aux a.

6. Il est important de remarquer que les l et les '/i ne peuvent être pris arbitrairement, c'est-à-dire que si l'on prend dans le système (6) les ^ et les 'f\ arbitrairement, les équations (7) qu'on en déduit ne définiront pas un groupe aux r paramètres X, t, \.,t, ..., \r^' Un point capital de cette théorie consiste donc à trouver les conditions nécessaires et suffisantes qui doivent exister entre les ? et 71, pour que l'on soit conduit à un groupe de transformations en opérant comme ci-dessus.

Il est aisé de trouver des conditions nécessaires; c'est ce que nous montrerons de la manière suivante.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 5o3

Prenons Je groupe à un paramètre défini par les équations

obtenues en faisant, dans les équations (6), )., =^i ,Ao = . .. = ).,. = o. 11 pourra être représenté par le développement

en posant

, , ., , àf df

et en regardant A, (/) comme un symbole d'opération à effectuer sur une fonction /. De même un second groupe à un paramètre correspondant aux équations

sera représenté par le développement

en posant

Désignons par S^ la première substitution et par S^' la seconde, et faisons successivement sur (x, 1) les substitutions

SS S-'', S-^ s-''.

Un calcul un peu long, mais très simple, nous donne le résultat suivant

j ^-t-^<'[Ao(|0-A,(c%)] + ...,

les termes non écrits étant de degrés supérieurs au second en t

et t'. Cette substitution doit être comprise dans le groupe (y) du

paragraphe précédent, en prenant pour les a des séries entières

5o4 CHAPITRE XVII.

ordonnées suivant les puissances de t et t^ . Ces séries devront nécessairement commencer par des termes du second degré en t et t\ car, s'il y avait des termes du premier degré, leur ensemble devrait être identiquement nul et les /• transformations infinitésimales ne seraient pas linéairement indépendantes (§ 4). En identifiant (c) et (a-'), on voit donc que les développements de a,, ..., Œr doivent commencer par des termes du second degré et sont nécessairement de la forme

rt] = Cl tt' ^ . . . , rt,. = c,.tt'-^. . . ,

les c étant des constantes, et Ton a, par suite,

On peut écrire ces deux identités sous une forme plus condensée. On a, quelle que soit la fonction/,

A2[Ai(/y]-Ai[A2(/)] = [A2(^i)-A,(^,)]^{

-|-[A2(Y]i)-Ai('^2)j[|^-

On aura donc, quelle que soit la fonction/, la relation

A2[Ai(/)] - Al [A,(/)J = CixVi(/) H- C2A2(/) -4-. . .+ c,A,(7),

qui revient aux deux égalités ci-dessus. La combinaison qui figure dans le premier membre se présente dans de nombreuses questions d'Analyse, notamment dans la théorie des équations linéaires simultanées aux dérivées partielles. On l'appelle le crochet de A, et A2, et on la désigne souvent par la parenthèse (AoA,); c'est un symbole d'opération à effectuer sur une fonction/

Nous avons raisonné sur Ai (/) et Ao (/) ; en considérant d'une manière générale

les crochets

(A.Ax)

ÉQUATIONS DIFFÉREMIELLES LINÉAIRES. 5o5

devront être des combinaisons linéaires et homogènes à coefficients constants des ;• expressions

Ai(/), A,(f), ..., Arif).

Nous trouvons donc ainsi un ensemble de conditions nécessaires pour que les /• couples de fonctions (ç, r^) correspondent à un groupe de transformations.

7. Ces conditions nécessaires sont en même temps suffisantes. La démonstration de ce théorème fondamental de M. Lie nous entraînerait trop loin, et nous nous contenterons de cette affirmation. Aussi bien, il suffira souvent de savoir l'énoncé de ce théorème pour pouvoir faire des applications de la théorie.

Nous avons supposé qu'il n'y avait que deux variables. Dans le cas de n variables oc^y^ ..., z et d'un groupe àr paramètres, ce groupe sera défini par r transformations infinitésimales qui correspondent aux r expressions

les ç, r,, . . . , T étant des fonctions de x, y, ...,;.

Ces r transformations infinitésimales définiront un groupe

si tous les crochets

(A/Aa.)

sont des combinaisons linéaires et homogènes de k^, . . . ^ Ar-

Pour obtenir ce groupe, on considérera les équations diff'érentielles ordinaires

dy . . .

dz ^ .

—j~ = AiTi-H A2T2-I-. . .H- A,.

5o6 CHAPITRE XVII.

OÙ les X sont des constantes arbitraires. On intégrera ce système en prenant comme conditions initiales

^ = ;ro, J=yo, •••, z=Zo (pour« = o).

L'intégrale générale sera de la forme

^ =A{^o,yo, . . ., ^0, ^1^, ^2^ • • -, ^^rO»

En mettant à la place de )., ^, Xo^, ...,lrt des constantes «1,^25 ...,«r» nous aurons un groupe à r paramètres entre (^o,yo, .-.,-0) et (x,y, ..., z). Rappelons que les A(/) ont été supposés linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'il n'y a pas entre eux de relation de la forme

les e étant des constantes qui ne sont pas toutes nulles.

8. Faisons encore une remarque applicable à tous les groupes de transformations dépendant d'un nombre fini de paramètres arbitraires. Soit le groupe G à /^ paramètres

Considérons une fonction F(j<,yo, . . . , jr«) î ^^ arrivera, en général, si l'on forme l'expression

F(YiY2, ...,Y„)

qu'elle dépendra réellement de r paramètres, c'est-à-dire ne pourra pas être considérée comme une fonction dépendant d'un nombre moindre de paramètres. Nous voulons examiner le cas où il en serait autrement, c'est-à-dire où l'on aurait

F(Yi, Y,, ..., Y„) = *I>(7i,j'.2, ...,7«, Al, A,, ..., Ap),

les A dépendant des a et 0 étant moindre que r. Désignons par A% ..., AJ les valeurs des A pour aj, a'î, ..., a^ (valeurs de paramètres correspondant à la substitution identique) ; si l'on pose

A, = A'>, A2 = A», ..., Ap = ^p,

on établira entre les a des relations qui en laisseront au moins /• — 0 arbitraires. Pour ces relations entre les «, on aura, d'après ridentité ci-dessus,

• F(Y,, Y2, . . . , Y„) = F(ji. j2, • . .,r«)-

Il existera donc un sous-groupe du groupe donné, dépendant à' au moins /• — o paramètres, qui laissera invariable la fonction F.

Traitons maintenant la question inverse, et supposons qu'il j ait dans le groupe G un sous-groupe F à ;• — o paramètres, qui laisse invariable la fonction F; je dis que la fonction

F(Yi.Y2, ...,Y„),

où les Y correspondent à la substitution générale du groupe G, dépend au plus de p paramètres.

Le sous-groupe F correspondra à des valeurs a, , ao, . . . . a^ des paramètres a, liées par p relations convenables, de telle sorte qu'il y ait seulement parmi les a un nombre d'arbitraires égal à /• — 0. En effectuant successivement sur les y une substitution du groupe G et une substitution du groupe F, on obtiendra des

expressions

Y:-=//(7i,J2, ...,r.. Bi,B2, ...,B,),

où les B dépendent des a et des a. Pour des valeurs fixes, d'ailleurs arbitraires, données aux a, on pourra choisir les a de telle sorte qu'au moins r — p des B puissent prendre des valeurs arbitrairement données, car, dans le cas contraire, le groupe F ne serait pas à r — p paramètres. Ceci posé, dans

F(Yi,Y,, ...,Y„)

effectuons sur les Y' une substitution du groupe F, en posant

y;- =//( Yi, y,, . . ., Y,„ ai, a,, . . . , v) =/,(7„JK2, • • • ,r«, B„ B,, . • ., B,.),

on aura

F(Yi,Y,, ...,Y„) = FiY'i,Y;, ...,Y;),

d'après la propriété du sous-groupe F. Mais, d'après ce que nous avons dit plus haut, on peut, pour des valeurs arbitraires des a, donner dans les Y' à r — p des B au moins telles valeurs fixes que

5o8 CHAPITRE XVIL

l'on voudra. Il en résulte que la fonction F(Yi, Yo, . . . , Y„) dépend au plus de p paramètres.

En rapprochant les deux remarques que nous venons de faire, on peut énoncer le théorème suivant (* ) :

Etant donné le groupe G à r paramètres, la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction

F(Yi,Y2, ...,Y,)

dépende seulement de p paramètres (p << /') est que la fonction F(y4,y2j "'lYn) reste invariable pour les substitutions d'un sous-groupe Y de O^ à r — ^paramètres.

Ce théorème peut être regardé comme l'analogue de celui que nous avons établi au § 20 du Chapitre précédent. Nous avions là une fonction prenant n valeurs pour les substitutions d'un groupe G d'ordre m\ il y avait alors un groupe F, sous-groupe de G et d'ordre —, laissant la fonction invariable. Dans la aueslion actuelle, c'est la différence r — p qui remplace le cjuotient — ; c'est ce qui arrivera généralement par la suite, où nous trouverons des différences au lieu de quotients dans des énoncés par ailleurs de même forme.

II. — Des groupes de transformations homogènes et linéaires, et des fonctions symétriques dans la théorie des équations linéaires.

9. Une classe très spéciale de groupes de transformations sera pour nous particulièrement intéressante : ce sont les groupes de transformations linéaires et homogènes et, de plus, renfermant algébriquement les paramètres. Considérons donc la substitution linéaire

Y„ = «/iiji -h ««2/2 -f-. . . + annYa-

(') On trouvera dans la Thèse de M. Vessiot (^Annales de l'Ecole Normale, 1891) une autre démontration de ce théorème.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. SoQ

Si tous les a sont arbitraires, ces équations définiront évidemment un groupe continu de transformations à n- paramètres.

En considérant les y comme des fonctions arbitraires d'une variable x^ nous allons étudier d'abord les fonctions rationnelles des^ et de leurs dérivées, qui restent invariables quand on effectue sur les r et en même temps sur leurs dérivées des différents ordres la transformation du groupe précédent. INous les appellerons par analogie/o/ic^/o/i5 symétriques des y et de leurs dérivées.

Il est tout d'abord facile de former des fonctions de cette nature. Etant données n fonctions arbitraires

y\i y-i-) • • '■> y II

de œ, on peut former l'équation linéaire d'ordre n dont ces fonctions seraient un système fondamental. Soit

cette équation. Les p sont des fonctions rationnelles de jK,,y27 •••• )-,i et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre n, et il est évident qu'elles restent invariables quand on effectue sur les ),, j^o? •••;JK/i ^^^ substitution linéaire quelconque. Ces fonctions jouent le même rôle que les fonctions symétriques des racines d'une équation algébrique ; nous allons en effet établir le théorème suivant :

Toute /onction rationnelle des y et de leurs dérivées invariable par les substitutions du groupe linéaire général s^ exprime rationnellement à Vaide des fonctions p et de leurs dérivées.

Remarquons d'abord que dans la fonction considérée, on peut toujours ramener l'ordre de dérivation des y k ne pas dépasser n — \. Il suffît pour cela de se servir de l'équation différentielle linéaire écrite ci-dessus. Après cette réduction, nous avons donc une fonction rationnelle

^{yx.y-i^ '-'^yn^y'i^ ■.•,y'rn --..r

dont les coefficients sont eux-mêmes fonctions rationnelles des p et de leurs dérivées. Nous allons montrer que, sous cette forme, R ne peut dépendre des y. On a, en effet,

R(jKi. . . ., j«,yi ,. • .,7«, . -'^yr'^ • • -, y,r")

= R(Y„ . . . , Y„, y;, . . ., y;„ . . . , Y(«-t', . . ., Yr' ),

5io

les p et leurs dérivées, dans les coefficients de R, n'ayant pas changés. Or, pour une valeur donnée d'ailleurs arbitraire de ^, nous pouvons choisir les constantes a de manière que

Yi,

prennent telles valeurs cjue Ton voudra. Si donc R dépend d'une des lettres précédentes, l'égalité ci-dessus est impossible, puisque le premier membre est indépendant des <2, tandis que le second a une valeur variable avec ces paramètres.

Il résulte de laque R ne dépend pas de jn, •••jJK//, J^', , ..., xlf '^ et la fonction se réduit, par suite, à une fonction rationnelle des p et de leurs dérivées ('). C'est le théorème que nous voulions établir.

10. Parmi les fonctions symétriques élémentaires, que nous avons désignées par/?, il en est une qui est particulièrement intéressante : c'est la première/?,. En posant

on a

ri Yi •'

' Xa

' Yn

dyi dyo

dVn

dy.

dya

dx dx

d'^-^Vn

d'^-yv.

d'^-'ya

d'^-^yi

dx-^-i dx'^-"'

dx'i- -2

dx't-^

dx'^-^

dx'i-^

d'yi d"y^

d"yn

dx'^

dx"-

Pi =

or D, est précisément la dérivée de D par rapport à x. Admettons, en effet, que ce fait soit exact pour n — i fonctions; on va voir immédiatement qu'il est encore exact quand on passe de n — i à n. Concevons D développé suivant les termes de la dernière ligne, et écrivons

d"-\ri

dx"-^

d"-^y, d"-yy„

(') Les fonctions de cette nature ont été étudiées particulièrement par M. Appcll dans son Mémoire Sur les équations dij/érentielles linéaires {Annales de Ecole Normale, 2« série, tome IX).

les A étant des déterminants analogues à D, mais relatifs seulement k n — I fonctions. On aura alors

dx ' ' dx'^

d"y.i - dx'^

dx'

les autres termes disparaissant, car, d'après ce qui a été supposé au sujet des déterminants d'ordre n — i, ces termes forment le déterminant D, où l'avant-dernière ligne aurait été remplacée par la dernière, de telle sorte que les deux dernières lignes s'v trouvent identiques. On a donc bien

comme nous l'avons énoncé. On conclut de là

D = ^-fp^^^dx^ La valeur du déterminant

dyy, dx''

d\Vn

dx-

est maintenant facile à calculer en fonction des p. La résolution des n équations du premier degré en /?, , p.^, , . . ^ p,i donne

p.jx) = {-iY

et 1 on aura par suite

D'une manière plus générale, considérons le déterminant

j dx"^'

dx''

dx'* lv=a„a,,

les a étant n entiers distincts quelconques; il résulte immédiatement de ce qui précède que ce déterminant est égal à une fonction entière des/? et de leurs dérivées multipliée par e~^P^^^.

On trouvera dans le Mémoire cité de M. Appell des applications intéressantes de cette théorie des fonctions symétriques des intégrales d'une équation linéaire, particulièrement à la transformation d'une telle équation.

5l2 CHAPITRE XVII.

Soit

une fonction rationnelle entière z des intégrales JKi , JK2, • • • , y/t' formant un système fondamental, et de leurs dérivées jusqu'à un ordre d'ailleurs quelconque. Le problème général de la transformation est de former l'équation différentielle linéaire qui admet pour intégrale la fonction z. Tout d'abord, pour voir quel est l'ordre de l'équation différentielle en ^, on remplacera jki, JK2 7 --v yn' par les éléments d'un autre système fondamental, c'est-à-dire en remplaçant yi par

L'ordre de l'équation différentielle en z est égal au nombre des termes linéairement indépendants qui entrent dans l'expression de z ainsi transformée. Le développement de/ donne un certain nombre de termes monômes de la forme

Soit, après la réduction à l'ordre n — i , au plus, de l'ordre maximum de dérivation des r, q le nombre des termes algébriquement indépendants. On pourra former l'équation différentielle d'ordre q admettant ces ^ solutions ; les coefficients de cette équation se présenteront manifestement sous la forme de fonctions symétriques dejKijJKoj .-MjK/i'. Dans certains cas particuliers, il pourra arriver cependant que les termes algébriquement distincts ne soient pas linéairement indépendants ; on s'en apercevra à ce que tous les coefficients de l'équation formée sont identiquement nuls, et l'on cherchera alors à former une équation d'ordre q — i : on arrivera ainsi forcément à l'équation cherchée au bout d'un certain nombre de tentatives.

Soit, par exemple, l'équation

d'^y dy dx- dx "^ '

Posons

ÉQUATIOKS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 5x3

l'expression générale de z sera

(«iri+«2jK2)--

Nous avons ici les trois termes

et l'équation donnant ; sera en général du troisième ordre.

11. Après avoir considéré les fonctions rationnelles de n fonctions arbitraires de x et de leurs dérivées, que nous avons appelées fonctions symétriques, il est naturel de considérer des fonctions rationnelles quelconques. Prenons donc une fonction rationnelle dey,,jK2? •••7jK« et de leurs dérivées jusqu'à un ordre d'ailleurs quelconque, en désignant toujours par jk,,j>'o, ....y,i des fonctions arbitraires de x^ et désignons-la pour abréger par

sans marquer explicitement les dérivées qui peuvent figurer dans R.

Reprenons la substitution linéaire générale

!Yi = «iiji ^ «12JK2 -H. . .-i- «i«7«, Y2 = «2iri-+-«22.r2-^.---^«2«r«.

Y„= ««iri-+-<^«272-i-...-f-«««r«'

et écrivons la relation

(9) R(Yi, Y2, .... Y„)-R(ri,r2, ..•,r«)-

On peut chercher à déterminer les constantes <2, de manière que cette relation soit identiquement vérifiée, quelles que soient les fonctions y<, yo, ..., yn de x. En général, il n'j aura pas d'autres solutions que

mais, pour certaines fonctions R, il y aura d'autres déterminations possibles des a. Supposons que l'identité précédente entraîne seulement

5l4 CHAPITRE XVII.

relations entre les a , qui seront d'ailleurs évidemment algébriques; on pourra exprimer n- — p des a en fonction des p restants. Dans ces conditions, les équations(8)défînissent un ensemble de transformations dépendant de p paramètres arbitraires. Cet ensemble de transformations forme un groupe linéaire, homogène et algébrique de transformations ; il est clair, en effet, que le produit de deux substitutions de l'ensemble appartient encore au même ensemble, puisque pour ces deux substitutions la fonction R reste invariable, d'après l'identité (9). Prenons, comme exemple, l'expression

En écrivant l'identité (9), on trouve

On a ainsi un groupe de transformations à deux paramètres a et b. Il pourra arriver que l'identité (9) ne définisse pas un seul groupe, mais plusieurs. Les n- — p relations entre les a, dont nous avons parlé plus haut, peuvent ne pas former un système irréductible et se partager alors en plusieurs systèmes irréductibles de n'^ — p relations. Le groupe dérivé de la fonction R est dit, dans ce cas, un groupe complexe. Prenons, par exemple, pour R, la fonction

Le groupe linéaire, laissant invariable cette expression, correspond à l'ensemble des transformations de coordonnées rectangulaires, Cet ensemble se partage en deux groupes distincts; pour l'un d'eux, le déterminant des coefficients de la substitution est égal à -f- I et pour l'autre à — i .

Une question inverse se pose maintenant : étant donné un groupe linéaire homogène et algébrique, existe-t-il toujours une ou plusieurs fonctions rationnelles des y considérés comme fonctions arbitraires d'une variable x et de leurs dérivées que laissent invariables les substitutions du groupe. On répondra immédiatement à cette question en se reportant à un théorème général de

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 5l5

M. Lie, que je ne fais qu'énoncer ('). Reprenons un groupe quelconque

En regardant les y comme fonctions arbitraires de x^ dilTérentions ces équations un nombre suffisant de fois pour qu'elles soient en nombre supérieur à /'.

En éliminant alors les a entre les équations ainsi obtenues, nous obtenons des relations que M. Lie démontre être nécessairement de la forme

En particulier, si nous avons un groupe b'néaire homogène et algébrique, les relations précédentes seront nécessairement algébriques, et, en prenant des combinaisons symétriques de ces relations, on obtiendra une ou plusieurs fonctions rationnelles àes y et de leurs dérivées que laisseront invariables les substitutions du groupe, et, parmi ces fonctions rationnelles, on pourra en trouver qui ne restent pas invariables pour les substitutions d'un autre groupe à un plus grand nombre de paramètres.

12. Les théorèmes établis dans la première Section de ce Chapitre nous permettent de faire quelques remarques générales sur les groupes linéaires, homogènes et algébriques.

Commençons par un groupe à un paramètre. On obtiendra un tel groupe en prenant un système d'équations linéaires à coefficients constants

dxn

On calculera Fintégrale générale, et il sufflra de choisir les n constantes arbitraires de manière que, pour ^ = o, on ait

Xx = t\, ..., Xn = xl.

(') S. Lie, Théorie der Transfovmationsgruppen (pages 2i5 et 524).

5l6 CHAPITRE XVII.

On aura ainsi un groupe de transformations avec le paramètre t^ entre les x et les Xq. Si nous voulons que ce groupe soit algébrique, il faudra que dans les expressions linéaires des x en fonction des ^0, deux coefficients quelconques des Xq soient liés par une relation algébrique. Si nous désignons par /'<, /'a, ..., /'a les racines différentes de zéro et distinctes de l'équation caractéristique

chaque coefficient sera de la forme

Pi(0 e''i'+ P2(0 e'-^^H-. . .+ Pyt e''^^+ PA-f.i(0.

les P étant rationnels. *,

JNous avons vu, en étudiant les équations à coefficients constants, que, si les [jl représentent des nombres distincts et différents de zéro, une identité de la forme

(a) B{t)-+-ZXi{t)e\^^^ = o,

OÙ B et les A sont rationnels, entraîne nécessairement B = o, Ai= o. Ceci posé, une relation algébrique entre deux coefficients entraînera une relation algébrique (E) entre

(p) t, e'•.^ ..., e'-kt.

Il pourrait arriver que cette relation fût vérifiée quels que soient tj e^i^, . . . , e^^^ considérés comme étant k -\- i grandeurs indépendantes; alors les deux coefficients pourraient être regardés comme fonctions rationnelles d'une de ces lettres, les autres prenant telles valeurs numériques que l'on voudra, et, si cette circonstance se présentait pour tout groupe de deux coefficients, tous ces coefficients seraient fonctions rationnelles d^une arbitraire. Dans le cas contraire, (E) donnerait réellement une relation entre les quantités (P); mais, d'après ce que nous avons dit des identités de la forme (a), il faudrait qu'il y eût au moins deux termes avec la même exponentielle, pour qu'ils puissent se détruire. On aurait donc nécessairement au moins une relation

n 1 1\ 4- ^2 /'s H- ... + rik ru = o,

les n étant des entiers positifs ou négatifs qui ne sont pas tous nuls .

Soit rik différent de zéro, nous remplacerons t par nk^\ nous pouvons alors considérer les coefficients comme des fonctions entières de

(y) 6, e'-.^ ..., ea-,e,

et nous pouvons raisonner comme précédemment. La relation algébrique entre deux coefficients entraîne une relation (E') entre les termes de la suite (y); il pourrait arriver que (E') fût vérifiée, quels que soient 8, e'*!^, . . . , e^/-i^ considérés comme étant k grandeurs indépendantes, et dans le cas où il en serait ainsi pour tout groupe de deux coefficients, il est clair que tous ces coefficients seraient fonctions rationnelles d^une arbitraire. Dans le cas contraire, nous serons conduit à une relation

les n' étant des entiers qui ne sont pas tous nuls.

On continuera ainsi de proche en proche, et l'on arrivera à la conclusion suivante : ou bien les coefficients peuvent s'exprimer rationnellement à l'aide d'une arbitraire, ou bien les r sont commensurables entre eux. Dans ce dernier cas, on pourra alors exprimer tous les coefficients en fonctions entières de

0 et e«^ a ^ o.

Une relation algébrique entre deux coefficients amènera une relation algébrique entre 9 et e^^, qui ne peut être qu'une identité, et, par suite, tous les coefficients sont encore fonctions rationnelles d'une arbitraire. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

Dans un groupe linéaire, homogène et algébrique à un paramètre, on peut choisir le paramètre de telle manière que tous les coefficients de la transformation soient des fonctions rationnelles de ce paramètre.

Un théorème analogue s'étend aux groupes à un nombre quelconque /' de paramètres. Pour définir un tel groupe, il faut se donner /• transformations infinitésimales satisfaisant aux conditions relatives au crochet. Il sera suffisant de prendre ;• = 2. Nous au-

5l8 CHAPITRE XVII.

rons alors les équations

les ?j Ti, . . . , T élanl des fonctions données linéaires et homogènes des x^ satisfaisant aux conditions relatives au crochet {voir § 7); 1 et [JL sont des constantes arbitraires.

Puisque ce groupe peut s'obtenir en combinant les substitutions du groupe à un paramètre correspondant à pi = o, et celles d'un second groupe à un paramètre correspondant à X = o, tous les coefficients de la transformation seront des fonctions rationnelles de

/■,, /o, . . . , /> étant les racines de l'équation caractéristique correspondant aux n fonctions linéaires

racines distinctes et différentes de zéro; pareillement r\^ z'^, . .. y /y sont les racines, distinctes et différentes de zéro, de l'équation caractéristique correspondant aux n fonctions linéaires

Tous les coefficients sont ainsi des fonctions de It et de [1./^ et l'on peut regarder les coefficients comme fonctions rationnelles de

0, 0', e'-iO, ..., e'-k^, e'-'.^', ..., e'i^' .

En raisonnant absolument comme plus haut, si ce n'est que la relation algébrique est entre trois coefficients au lieu de deux, on établit que : ou bien les coefficients s'expriment rationnellement à l'aide de deux arbitraires, ou bien

ru ''2, ..., r/,

sont entre eux dans des rapports commensurables, ainsi que

et l'on retombe alors encore sur la même possibilité d'exprimei-

ÉQLATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 5l9

les coefficients d'une manière rationnelle à l'aide de deux arbitraires. Nous avons donc le théorème général suivant :

Dans un groupe linéaire homogène et algébrique à un nombre quelconque de paramètres, on peut choisir ceux-ci de manière que les coefficients de la transformation soient fonctions rationnelles de ces paramètres.

13. Terminons ces généralités par un théorème qui est l'analogue du théorème de Lagrange en Algèbre (Chapitre précédent, § 6). Soit une fonction rationnelle des y et de leurs dérivées jusqu'à un ordre d'ailleurs quelconque, que nous représentons, pour abréger, par

et considérons le groupe linéaire et homogène général à n- paramètres

'^n = ClnlTl H- a,i-2j'i ^.. .-h annyii.

On suppose qu'à la fonction R corresponde un groupe linéaire et homogène G à p paramètres. Dans ces conditions, je prends pour les y des fonctions arbitraires d'une variable .r, et j'envisage l'expression

C'est une fonction de x^ dépendant, d'après le théorème du § 8, de n- — p constantes arbitraires, c'est-à-dire que Ton a

R(Y,, Y, , \„) = ^(y,y.2, •••..'■//; Bi, . ., B,,-.p),

les B dépendant des a. Elle satisfera donc à une équation différentielle d'ordre n- — o, que l'on pourra obtenir par des calculs algébriques d'élimination. Les coefficients de cette équation différentielle seront visiblement des fonctions rationnelles de v,, y-it " ' 1 yn et de leurs dérivées. L'un de ces coefficients peut être rendu égal à l'unité et les autres sont alors des fonctions des y et de leurs dérivées, qui rentrent dans la catégorie des fonctions que nous avons appelées symétriques, et ils s'exprimeront par suite rationnellement à l'aide des fonctions élémentaires désio-nées par p (§ 9). En effet, si dans l'expression de <I> on effectue les P. — IIÏ. 33

substitutions du groupe linéaire général, on obtient la même fonction $, les coefficients B ayant seulement d'autres valeurs.

L'équation différentielle d'ordre n- — p, à laquelle satisfait w, est l'analogue de l'équation algébrique à laquelle satisfaisait une fonction non symétrique de plusieurs lettres (Ghap. XVI, § 5).

Ceci posé, désignons parj^oJ^!!, ••vJ'îl? ^' fonctions arbitrairement choisies de x, et soient jKi i J'27 • • • > Yn '^ fonctions linéaires et homogènes quelconques de y^\, yî|, . . . , yj|. Nous considérons une autre fonction rationnelle

des fonctions y et de leurs dérivées jusqu'à un ordre quelconque, admettant le groupe G, c'est-à-dire ne changeant pas quand on effectue sur les y les substitutions de ce groupe. Gherchons s'il est possible d'exprimer S à l'aide de la fonction u. La fonction S satisfera à une équation différentielle dont l'ordre sera au plus égal à n- — p, et que nous pouvons obtenir en procédant comme nous

l'avons fait pour R; soit

cette équation, dont les coefficients sont fonctions rationnelles des/>^ et de leurs dérivées. Posons

a étant une fonction rationnelle arbitraire de x^ et r*,*, j'*I, . . . ,ji'" désignant les fonctions particulières de x arbitrairement choisies plus haut. On aura

l^osons, d'autre part,

la fonction W satisfait à une équation différentielle d'ordre /?- — 0 que nous pouvons former et dont les coefficients sont fonctions rationnelles des/?^ et de leurs dérivées, ainsi que de a et de ses dérivées; désignons-la par

Les deux équations différentielles (a) et (,3) en V et W ont une

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIKES. 52 1

solution commune immédiate qui est

Nous allons voir que cette solution commune est unique; en effet, pour que Vz= W, il faut

les \ étant nécessairement comme les y des combinaisons linéaires à coefficients constants des j'q. Puisque ceux-ci représentent des fonctions arbitraires de x, et que a est une fonction rationnelle arbitraire de ^, l'identité précédente entraîne

S(Y„Y, Y,)=S(ri,r2, ...,r.);

la première égalité montre que J'oJ'2> • • • ? J'// se déduisent de r",,)", • • . , J'," au moyen des transformations du groupe G; on aura donc aussi

et, par suite, il n'y a pas d'autre solution commune aux équations (y.) et (,3) que

Des calculs algébriques d'élimination feront connaître la solution commune aux équations (a) et (P), en opérant comme nous le verrons dans la Section suivante (§ lo). On trouve ainsi une relation algébrique

et Ton exprime par suite Vo, c'est-à-dire

« R(r^72, • . -,n ) -^ ^irlrh ' • . , >')) )

algébriquement à l'aide de la fonction Rq et de ses dérivées, des p^ et de leurs dérivées. Cette fonction algébrique doit d'ailleurs être rationnelle, car si j",J'!!, - • • ^ Xu sont uniformes, il en sera de même de Yq. La conclusion est que

s'exprime rationnellement à V aide de R(jKi5 y-i-, - - - , yn) (^t de ses dérivées, et des p et de leurs dérivées. Ce théorème est bien Tanalogue du théorème de Lagrange (^).

III. — Intégrales communes à plusieurs équations et réductibilité des équations linéaires.

14. Nous avons, dans la Section précédente, étudié les fonctions rationnelles de n fonctions arbitraires d'une variable et de leurs dérivées, et les groupes de transformations linéaires qui s'y rapportent; cette étude était l'analogue de l'étude purement algébrique faite au début du Chapitre précédent. Revenons maintenant aux équations différentielles linéaires et traitons tout d'abord de quelques problèmes qui se présentent d'eux-mêmes quand on cherche à comparer la théorie des équations différentielles linéaires avec celle des équations algébriques.

Une première question très élémentaire est la recherche des intégrales communes à deux équations linéaires. Soient

-r^- -^ Pi -, -, -+-... + />/;; r = o,

dx'"^ ^ dx"^-^ ^ -^

dn y Ja- 1 y

deux équations linéaires dont, pour abréger, nous désignerons les premiers nombres par P et Q.

La méthode suivante, donnée autrefois par M. Brassine, conduit de la manière la plus élégante à la formation de l'équation différentielle linéaire dont les intégrales sont les intégrales communes aux équations précédentes. Soit m ^ n et posons m ^ /^ = ul. On peut déterminer des fonctions /',, ;-2, . . • , /'[j, de jr telles que la différence

P ( Q'iJ.) + r, Q> -1'^ H- . . . + /-j,, Q ) ,

oiiQ^H-' désigne la dérivée d'ordre adeQ, etoùjK est pour le moment

(•) Cette extension du théorème de Lagrange a été donnée par M. Vessiot dans son intéressante tjièse (déjà citée pag« 5o8) Sur les équations différentielles linéaires; nous aurons à revenir sur ce travail dans la dernière Section de ce Chapitre.

une fonction arbitraire de x^ ne contienne plus de dérivées de y d'ordre égal ou supérieur à n. Ces coefficients r s'obtiennent manifestement de proche en proche.

Nous pouvons donc écrire l'identité

R désignant une expression différentielle analogue à P et à Q, où le premier coefficient est Tunilé, mais renfermant au plus la dérivée d'ordre n — i .

Les solutions communes à

sont communes a

et inversement. On continuera ainsi, de proche en proche, par ce même procédé qui rappelle la recherche du plus grand commun diviseur, et, quand lereste sera nul, la dernière expression employée sera l'équation différentielle donnant les solutions communes aux deux équations proposées.

On pourrait encore suivre une méthode qui rappelle la méthode suivie en Algèbre et basée sur la théorie des fonctions symétriques. Soit

ri; y-i- '-■, y m

un système d'intégrales fondamentales de l'équation P. On devra avoir, pour des valeurs convenables des constantes G,

c'est-à-dire

GiQO'i)+G,Q(j,)-h...-hC.,QO',,) = o, et, par suite, on aura

dQ(y)

Q(r..) d^yjn)

dx'"-^ dx"i-^ '" dx'"-^

Or, cette expression est une somme de déterminants de la forme

de ceux que nous avons considérés au § 2. L'expression précédente est donc égale à une fonction entière des /?, des q et de leurs dérivées, multipliée par e"-'^^!^'*', et nous obtenons donc ainsi la condition cherchée.

io. Arrivons maintenant à la notion importante de la réductlhilité d'une équation différenlielle linéaire. M. Frobenius a, le premier, appelé l'attention sur cette notion (^); considérant une équation différentielle linéaire à coefficients uniformes, l'éminent géomètre définit son irréductibilité en disant qu'elle n'a de solution commune avec aucune équation linéaire de même nature, mais d'ordre moindre, en faisant abstraction de la solution jj/ = o, et il donne à ce sujet divers théorèmes d'un grand intérêt.

Cette notion d'irréductibilité n'est pas bornée, d'ailleurs, à une équation linéaire. Envisageons une équation différentielle algébrique

OÙ y* est un polynôme par rapport à j^ et ses dérivées, les coefficients étant des fonctions uniformes de x dans tout le plan. L'équation précédente sera dite irréductible, si elle est algébriquement irréductible par rapport à -7—^, c'est-à-dire si/n'a pas

de diviseurs de moindre dea^ré en -r^ avec des coefficients ra-

tionnels par rapport a j^, . . . , ^^^j^ et uniiormes en ^, et si, de

])lus, elle n'a aucune intégrale commune avec une équation différentielle de même forme et d'ordre moindre.

Quelques remarques générales se déduisent immédiatement de cette définition. Je suppose qu'une équation ne soit pas irréductible; l'équation a alors par définition au moins une intégrale commune avec une équation

f/ X ^r d^'yl

(') P^ROBENius, Ueber den Begrijf' der Irredactibilitàt in der Théorie der lincaren DiJJ'erentialgleichungen {Journal de C relie, t. 7G).

qu'on peut supposer algébriquement irréductible par rapport à

dfy

Des équations / et o, on peut tirer une nouvelle équation 'l d'ordre Ji — i au plus, à laquelle satisferont les solutions communes à/et cp; il suffît de se servir de l'équation cp pour faire disparaître dans/ toutes les dérivées d'ordre supérieur à Ji — i . Si l'équation 6 n'est pas une identité quel que soit y, on raisonnera sur C3 et 6, comme on a raisonné sur f et o et finalement on arrivera à une équation dilTérentielle y^ telle que toutes les solutions de y appartiendront à/^ il peut arriver d'ailleurs que l'équation différentielle y = o soit d'ordre zéro, c'est-à-dire se réduise aune équation algébrique en y. Nous voyons donc que, quand une équation n^ est pas irréductible, il existe toujours une équation différentielle d'ordre moindre dont elle admet toutes les intégrales.

Le même mode de raisonnement permet d'établir de suite une proposition analogue à un théorème de la théorie des équations : Si une équation différentielle a une intégrale commune a^^ec une équation différentielle irréductible, elle admettra toutes les intégrales de cette dernière.

16. Nous renverrons, pour le développement des considérations précédentes, au Mémoire cité de M. Frobenius; on peut se placer à un point de vue plus restreint, mais qui se rapproche davantage du point de vue algébrique. Prenons d'abord, avec M. Kœnigsberger (*), une équation différentielle algébrique

dx' " ' dx"i

OÙ y* est un poljnôme en x^ y^ -^ y • - ••> -j—;' Une telle équation sera dite irréductible si elle est algébriquement irréductible quand on regarde ^— ^ comme fonction des autres lettres qui figurent dans l'équation, et si celle-ci n'a aucune intégrale commune

(') Kœnigsberger, Lehrbuch der Théorie der Differentialgleichungen mit einer unhabangigen Variabeln, page i55.

avec une équation difTérentielle de même forme et d'ordre moindre.

Si l'équation y = o est linéaire et homogène à coefficients algébriques de x^ on peut prendre la définition que nous venons d'indiquer, et cette manière d'envisager la réductibilité des équations linéaires est importante dans plusieurs questions. On peut aussi, se plaçant à un point de vue plus restreint, exiger que la seconde équation différentielle soit également linéaire et homogène. Ainsi, nous restreignant d'abord aux équations linéaires à coefficients rationnels, nous dirons qu'une telle équation est réductible quand elle a une intégrale commune en dehors dejK= o, avec une équation linéaire d'ordre moindre et à coefficients rationnels; nous savons que dans ce cas elle possédera toutes les intégrales d'une équation d'ordre moindre et de même forme, comme il résulte des remarques générales du paragraphe précédent.

En se bornant aux équations que nous venons de considérer en dernier lieu, il est possible de reconnaître si une équation linéaire à coefficients rationnels est réductible; c'est ce que nous allons montrer (^ ).

Nous ferons voir d'abord que tout revient à reconnaître si une équation linéaire à coefficients rationnels admet une intégrale dont la dérivée logarithmique soit rationnelle. Supposons, en effet, que l'équation soit d'ordre n, et que q de ses intégrales linéairement indépendantes {q <, n) satisfassent à une équation linéaire d'ordre q à coefficients rationnels. On considère le déterminant

dx^' ' dx' ' ' dx'^*

et les déterminants en nombre q

dx'' ' dx'^ ' ' dx'^ |v=o,i,...,7-).-i,7-).+i,...,7 correspondant à X = i , a, . . . , ^. Si ji , y^? • • • 5 J> satisfont à

(') Outre le Mémoire de M. Frobenius, je citerai encore, relativement à cette question de la réductibilité des équations linéaires, un Mémoire de M, Ivar Ben- DixsoN, dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Stockolm (février 1892) et un article de M. E. Beke {Math. Annalen, tome 45).

une équation d'ordre q à coefficients rationnels, les rapports ^-^ seront rationnels (§ 10 de ce Chapitre), et Ao est de la forme çSr{x)dx^ la fonction r{x) étant rationnelle; il s'ensuit que les A>. seront de même forme. Or nous pouvons former une équation linéaire E) à laquelle satisfait

en regardant ce déterminant comme une fonction des intégrales de Téquation initiale d'ordre ii] l'équation Ex devra admettre une intégrale dont la dérivée logarithmique sera rationnelle. Ainsi les q H- I équations, faciles à former,

Eo, Ex (X = I, 2, ...,q)

admettront chacune une intégrale à dérivée logarithmique ration^ nelle.

Quand on aura vérifié ce point, on aura, avec les intégrales trouvées des équations Eo et Ex, la ou les valeurs possibles de Ao et de Ax et par suite de leurs quotients. On devra pouvoir les associer de manière que les quotients

soient rationnels; pour chacune des équations linéaires d'ordre^, que l'on aura ainsi formées, il restera à reconnaître si son intégrale générale satisfait à l'équation donnée, opération que nous savons effectuer.

On voit donc que nous sommes ramené à reconnaître si une équation linéaire donnée, à cofficients rationnels, admet une intégrale dont la dérivée logarithmique est rationnelle : c'est le problème que nous allons traiter.

M . 11 suffira de prendre l'équation du troisième ordre

les P étant des fonctions rationnelles de œ. On peut d'abord s'arranger, par un changement linéaire de variables, de façon que le point à l'infini soit un point ordinaire pour les intégrales. En

XrNIVERSITY)

528 CnAPITRE XVII.

posant ensuite

on a pour u l'équation du second ordre

^ + ( 3 ï, + Pj ) 1^1 | ï,3 , Pj ^,2 ^ p^ z, + P3 == o.

u pourra avoir comme pôles les points singuliers de l'équation différentielle et aussi d'autres points du plan. L'ordre de multiplicité k de tout pôle de u est limité, car il faut que l'ordre de multiplicité SA" d'un pôle de u^ ne dépasse pas l'ordre de multiplicité d'au moins un des autres termes; ce qui donne pour /r une limite supérieure. Décomposons u en fractions simples. Les pôles autres que les points singuliers de l'équation différentielle sont nécessairement des pôles simples, leur résidu étant égal à un ou deuoc, suivant qu'ils correspondent à une racine simple ou double de y^ une racine triple n'étant pas possible en un point non singulier. Désignons par R(^) la partie de la fraction rationnelle relative aux points singuliers de l'équation, nous aurons

les a n'étant pas des points singuliers de l'équation différentielle. On a pour R(^)

Il n'y a pas dans u de partie entière, d'après l'hypothèse faite sur le point à l'infini. Les degrés k de multiplicité sont limités et les B peuvent donc être calculés de proche en proche par substitution dans l'équation donnant u. On peut poser

V désignant un polynôme. En faisant cette substitution dans l'équation linéaire, on aura à reconnaître si l'équation linéaire en ç ainsi obtenue admet un polynôme pour intégrale, ce qui ne présente aucune difficulté.

18. Prenons, comme exemple particulier, Féqualion difl'érentielle hvpergéométrique, et cherchons dans quel cas elle est réductible. Soit donc l'équation

Si elle est réductible, il y aura une intégrale^ telle que le quotient — sera rationnel. Pour simplifier les calculs ultérieurs, désignons par u, non pas ^j mais l'expression

y' 7 — Ca — 3 -i-i)a7 11 = ' ' '

On forme immédiatement l'équation de Riccati, donnant w, da , lu hc, Al A-i

dx ' XX- I — X ( I — X)-

où l'on a posé

/., = A,=-a3-iY(v a-3-i),

Si la fonction rationnelle u a un pôle distinct de zéro et un, ce pôle sera nécessairement du premier ordre. Il en est aussi de même des pôles o et i, et l'on a nécessairement

«■(j?) étant un polynôme; il n'y a pas dans u de partie entière, car u doit s'annuler pour .r = oc d'après la forme de l'équation. La substitution donne

«ï-ai .,. ^

Nous obtenons donc pour a, deux systèmes de valeurs, et aussi

53o cnAPiTKE xvn.

pour a^

Eq substituant dans l'équation lijpergéométriqiie, nous avons y pour déterminer le polynôme g{x)^ l'équation

Si n désigne le degré de g{x)^ on aura

— n{n — I ) 4- 9. /? ( a2 — a 1 ) + 2 ai 3:2 — a {j — 1 T ( T ~ ^ — ^^ — i ) = o.

Nous pouvons adopter pour a, et a^ quatre combinaisons; ce qui nous conduit pour n aux Jiuit valeurs

Donc, //2 condition nécessaire et suffisante pour que inéquation différentielle hyper géométrique soit réductible, est qu'une des quatre grandeurs

soit un entier négatif.

19. Nous nous sommes borné jusqu'ici aux équations à coefficients rationnels. On peut définir, d'une manière plus générale, undomaine de rationalité . Soit un certain nombre de fonctions

«i(^), a±{x), ..., ap{x).

telles qu'aucune d'elles ne puisse s'exprimer par une fonction rationnelle de x^ des autres fonctions et de leurs dérivées ; nous considérons, comme faisant partie d'un domaine de rationalité, l'ensemble des fonctions rationnelles de x^ des a{x) et de leurs dérivées. Dans ces conditions, la définition de la réductibilité se posera comme plus haut et, ici encore, l'on pourra se placer à deux points de \'ue, suivant que l'on demandera ou non que l'équation ait une intégrale commune avec une équation d'ordre

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 53l

moindre, linéaire ou non linéaire, les coefficients des dérivées étant d'ailleurs dans les deux cas, pour les équations différentielles considérées, des fonctions de x appartenant au domaine de raticnalité. Il est clair que nous ne pouvons songer, sans particulariser les fonctions a{x), à résoudre le problème traité dans les paragraphes précédents pour le cas où le domaine de rationalité se réduisait aux fonctions rationnelles de x. Une étude spéciale sera à faire dans chaque cas.