IV. — Groupe de tranformations d'une équation différentielle

linéaire .

^0. Nous allons voir maintenant comment on peut étendre aux équations différentielles linéaires le théorème fondamental de Galois, relatif aux équations algébriques, que nous avons exposé dans la Section IJI du Chapitre précédent (*).

Prenons d'abord, pour plus de simplicité, le cas d'une équation linéaire à coefficients rationnels

Jniy (/"i-iy

et désignons par )',, )'o, ...,!',„ un système fondamental d'intégrales. Soit l'expression

où les u sont des fonctions rationnelles arbitrairement choisies

de.r. Cette fonction satisfait à une équation linéaire d'ordre m- à

coefficients rationnels, équation qui se forme immédiatement, en

exprimant

dx dx"^-

{ ' ) J'ai montré pour la première fois comment on pouvait étendre aux équations différentielles linéaires la théorie de Galois dans une Note des Comptes rendus {Sur les groupes de transformations des équations linéaires; avril i883). Voir aussi un Mémoire plus développé {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1887); je suis revenu récemment sur cette question dans les Comptes rendus du 8 octobre 1894 et du 2 décembre rSgô.

ciiAPinii; XVII.

à l'aide des dérivées des y jusqu'à l'ordre m — i. Entre les m- -H I équations ainsi obtenues, il suffira d'éliminer les y et leurs dérivées pour avoir l'équation cherchée, que nous désignerons

par(E),

V / ri vin- * ri vin'' -1 '"

Cette équation a pour intégrales les fonctions

myic (/■, A- = 1,2, ..., m)-

Si les u sont pris arbitrairement, ces m- dernières fonctions sonl bien linéairement indépendantes ('); il suffit, pour le faire voir, de prendre un cas particulier. Supposons que x ^o ne soit pas un point singulier de l'équation différentielle, nous prendrons

les a étant des constantes arbitrairement choisies. S'il y avait une relation linéaire et homogène à coefficients constants entre les Uiyhi nous aurions

les 111^ constantes X n'étant pas toutes nulles. Or, en égalant à zéro dans ce développement les coefficients de

/y.0 /y> nrl nnlll — 1

nous obtenons m équations homogènes entre Leur déterminant est la valeur du déterminant

7i dy, dx

dy-i 'dx

dy,n

d"'-^yr dx"i-^

d'n-ly.

d"'-'y,n dx»'-^

(') J'avais regardé ce point comme évident; la démonstration si simple du texte a été donnée par M. Beke dans une Note des Math. Annalen (Tome 16).

pour :r = o; or cette valeur est différente de zéro, puisque le système des y est un système fondamental et que l'origine n'est pas un point singulier de l'équation différentielle. On en conclut que

Xii = Ài2 = . . . = Xi/,i = O.

En passant ensuite aux puissances x"^\, . .., jc-'""', on démontrera que

et, d'une manière générale, l'on arrive à la conclusion que tous les ). sont nuls, ce qui est absurde.

De ce que les uiyk sont linéairement indépendants, on conclut qu'au moyen des expressions de

' dx' * * ' ' dx"'--^

en fonction linéaire des y et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre m — I, on peut tirer, par la résolution d'équations du premier degré, les valeurs des j' et de leurs dérivées en fonction de V^et de ses dérivées ci-dessus ; car, dans le cas contraire, on pourrait former pour V une équation linéaire d'ordre m- — i au plus, el entre les m- quantités

existerait donc une relation homogène et linéaire à coefficients constants, contrairement à ce que nous avons établi.

Nous aurons donc en particulier, pour y^, y.yj .... y„i des expressions

dV d">'—^y

' dx '" dx"^'-^

où les a, j3, . . . , A sont rationnels en x.

A toute intégrale de l'équation (E) correspond un système d'intégrales j^u JKsj "'^ym de l'équation proposée (7); ce système pourra n'être pas fondamental. Gela arrivera si le déterminant

desy et de leurs dérivées jusqu'à l'ordre m — i est nul; en écrivant ceci, on obtiendra une certaine équation en V

k étant au plus égal à m- — i . On aura donc un système fondamental

si l'on prend pour V une intégrale de l'équation (E) ne satisfaisant pas à Inéquation (o).

Ceci posé, il arrivera, en général, c'est-à-dire si l'équation (-) est prise arbitrairement, que l'équation (E) n'aura aucune solution commune avec une équation différentielle (linéaire ou non linéaire) à coefficients rationnels, d'ordre inférieur à m-, si Uon fait abstraction des solutions qui satisfont à L'équation cp.

Mais il pourra, dans certains cas, en être autrement; supposons donc que l'équation différentielle d'ordre/?

clN di>\\

dx' * ' ' ' dxi> ]

remplisse cette condition, jetant un polynôme. Parmi toutes ces équations, considérons celles qui sont d^ ordre moindre^ et prenons l'une d'elles que nous continuerons à désigner par la lettre/. Nous pouvons supposer l'équation /" algébriquement irréductible par rapport a -y—-; il est clair alors que toute solution de/ qui n'appartient pas à cp satisfait à E, car, dans le cas contraire, on ])ourrait déduire (par un procédé dont nous avons bien des fois fait usage), des équations (E) et (/), une équation d'ordre moindre, qui ne serait pas certainement une identité, et à laquelle satisferait la solution commune à (E) et à (/).

Soient y 1,^2 5 • • -^YnA^ système fondamental correspondant à une certaine solution de l'équation /(solution n'appartenant pas à cp), et Y,, Y2, . . ., Yto le système correspondant à la solution générale de la même équation; on aura

\ Y 2 = «21 Ji -^- «22JK2 -^ • •

f^ïm y m 1

\ ^/« = «S^mlJ-'l-r- (^iniyï-- •

T- Clininy

Les coefficients a dépendent seulement de p paramètres arbitraires, et nous allons voir facilement qu'on peut les considérer comme des fonctions algébriques de p paramètres arbitraires. En effet, considérons l'intégrale générale de l'équation

cette intégrale générale sera nécessairement de la forme

les r étant /?z- solutions linéairement indépendantes de l'équation E. En écrivant que cette expression de V satisfait à l'équation/, nous obtiendrons des relations nécessairement algébriques entre les constantes a, et comme il doit rester p arbitraires, les a seront des fonctions algébriques de /? constantes arbitraires. Donc dans

figureront algébriquement p constantes, et, par suite, si y,, yoi • • -î ym désignent un système fondamental correspondant à une solution particulière de /, les coefficients de la substitution, désignés plus haut par a, dépendront d'une manière algébrique de p paramètres arbitraires que nous appellerons les paramètres \. Les relations algébriques ainsi obtenues entre les a expriment que si les y correspondent à une solution arbitraire de y, les Y déduits de (S) correspondront aussi à une solution de /. Dans ces conditions, il est évident que si l'on considère deux subsitutions, telles que (S), correspondant à deux systèmes distincts de valeurs des paramètres )., le produit de ces deux substitutions sera une substitution de même forme, les paramètres À étant représentés par un troisième système de valeurs. Les substitutions (S) forment donc un groupe continu de transformations; nous désignerons par G ce groupe continu et algébrique de transformations linéaires, et nous l'appellerons le groupe de transforma^ tions (^) relatif à l'équation linéaire. Dans les deux paragraphes

(') Comme cas très particulier, il peut arriver que l'équation / soit d'ordre zéro, c'est-à-dire que V soit une fonction algébrique de x', l'intégrale générale de l'équation linéaire sera algébrique, et le groupe de transformations est alors un groupe ^^i qui ne dépend d'aucun arbitraire.

536 CHAPITRE xvir.

suivants nous représenterons par j-, , y.21 - - ■ ■> y m un système fondamental correspondant à une solution de /.

Faisons encore la remarque très importante, dont la démonstration est immédiate, que l'intégrale générale de V équation (/) peut s' exprimer linéairement en fonction cVune intégrale particulière et de ses dérivées, les coefficients de cette expression linéaire étant des fonctions rationnelles de x dépendant de p constantes arbitraires.

21. On peut établir, à l'égard de ce groupe, la proposition suivante qui rappelle le théorème fondamental de Galois dans la théorie des équations algébriques :

Toute fonction rationnelle de x, de yi,y2^ • • -, ym et de leurs dérivées, s' exprimant rationnellement en fonction de x. reste invariable quand on effectue sur y^^y^^ . . -, JKm les substitutions du groupe G.

En parlant d'une fonction des jk restant invariable, nous entendons que cette fonction reste la même fonction de la variable x. Cette invariabilité est donc l'analogue de l'invariabilité numérique de la théorie des équations.

Considérons une fonction des y et de leurs dérivées jouissant de la propriété indiquée dans l'énoncé; en y remplaçant y<, JK2) • • • 7 ym par leurs valeurs en fonction d'une intégrale. V de/, qui n'appartienne pas à cp, et désignant par R(^) la fraction rationnelle de X à laquelle est égale, par hypothèse, notre fonction, on aura l'équation

F étant rationnelle. Cette équation se trouvera donc vérifiée pour une certaine solution V de / n'appartenant pas à cp. Elle le sera par suite pour toutes les solutions de /, qui n'appartiennent pas à o; en effet, dans le cas contraire on pourrait, de l'équation (8) et de l'équation

^ V"^' ' dx- ' ■ " dj:P ,

que nous supposons de degré [a par rapport à ^— - et algébriquement irréductible par rapport à cette dérivée, tirer une seconde

•équation

de degré a au plus, par rapport à -^— . La fonction V satisfait à

ces deux équations; si l'équation y n'est pas une conséquence de Téqualion /, on pourra obtenir une équation différenlielle algébrique d'ordre moindre que p à laquelle satisfera V, ce qui est contre nos hypothèses sur /. 11 faut donc que y soit une conséquence de/, c'est-à-dire que toute solution de/, ne satisfaisant pas à cp, vérifie la relation (8). Du moment, d'ailleurs, que la solution générale de /vérifie (8), il en sera certainement ainsi pour toute solution particulière, et, notamment, pour celles qui satisfont à '^, s'il en existe. La restriction ne se trouve donc utile que pour le raisonnement.

Dire que la fonction F garde la même valeur R(jc) pour toute solution de/, revient à énoncer que la fonction rationnelle considérée de X, desjK et de leurs dérivées ne change pas quand on effectue sury,,;'o, ...,ynt les substitutions du groupe G, et le théorème est alors démontré.