A ce théorème, on doit joindre une réciproque

Toute fonction rationnelle de x et d'un système fondamental yif y., ..., Vm et de leurs dérivées, qui reste invariable par les substitutions du groupe G, est une fonction rationnelle de x.

Soit ^(a:,y,,jKo, ...,y,n, ;£^» •••) une fonction satisfaisant aux conditions de l'énoncé; il faut montrer que, si l'on met à la place de j,,jK2, ..., JK^ un certain système fondamental, la fonction ^ sera une fonction rationnelle de x. Or, remplaçons les r et leurs dérivées par leurs valeurs en fonction de V, nous aurons

Je dis que, si l'on prend pour V une intégrale de / n'apparlenant pas à cp, celte expression sera une fonction rationnelle de x. Remarquons d'abord que, d'après l'hypothèse faite sur cj), la fonction ¥{x, V. . . . ) représentera la même fonction de x, quelle

que soil la solution V de l'équation / n'appartenant pas à C5, et, par suite, pour l'intégrale générale V^ de /. Or, soit encore pi le

dp V degré de /par rapport à -7—7; pour des valeurs arbitraires données à

l'équation f z=:z o di u. racines distinctes en -r— • En se servant de

l'équation /", on peut supposer que dans F la dérivée -j—^ ne figure qu'au degré m — i au plus. Cette substitution faite, F devient une fonction

\ ' dxP

rationnelle par rapport aux 'ettres dont elle dépend et contenant

— — a la puissance a — i au plus dans son numérateur et son de-

dxP ^ ' A

nominateur. Comme pour une valeur donnée d'ailleurs quelconque de œ, la fonction Fi prend la même valeur pour toutes les valeurs des constantes arbitraires figurant dans l'intégrale générale de l'équation /, il s'ensuit que, dans les mêmes conditions, la fonction F, prend la même valeur pour toutes les valeurs

, ^^ dW dP\ . r • , ^ 1 1 »•

de V, -T-y ' ' •? -1 — satistaisant a la relation ' dx dxP

f ^. d\ dP\\

de degré [j. et algébriquement irréductible par rapport à -j—j;', il faut donc que F< ne dépende que de x. La fonction ^ est donc une fonction rationnelle de x, comme nous voulions l'établir.

23. Les deux théorèmes précédents sont entièrement analogues aux théorèmes fondamentaux de Galois étudiés dans la Section III du Chapitre précédent. On voit que les groupes de substitutions linéaires et algébriques remplacent dans cette théorie les groupes de substitutions entre n lettres.

Pour une équation linéaire arbitrairement donnée, l'équation E correspondante n'aura aucune solution commune avec une équation algébrique d'ordre inférieur à 7?^-, cette solution n'apparte-

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. SSq

nant pas à Téquation cp. L'éqiialion désignée par /se réduit alors à l'équation E elle-même; le groupe de transformations de l'équation différentielle est alors l'ensemble des substitutions linéaires efifectuées sur jKi, JK25 • • •? y m-, c'est un groupe à m- paramètres.

Quand le groupe G est un groupe à moins de in- paramètres, l'équation est une équation particulière : elle est caractérisée par ce fait cjuil existe au moins une fonction rationnelle de Xj de y ^^ y. 21 . • • , jr/« et de leurs dérivées, égale à une fonction rationnelle de x^ cette relation n'ayant pas lieu quel que soit le système fondamental y,, y.^, . . .,jK7-i-

Substituons, en effet, dans

./ ^, c/V dpy\

à la place de V, l'expression U\ys -f- «2JK2 -4- • • • + "mjKmî nous obtiendrons une fonction rationnelle des y et de leurs dérivées qui ne sera pas identiquement nulle, quels que soient les éléments du système fondamental jKi , J'2j •••5 JK/w? et qui, pour certains systèmes fondamentaux, se réduira à zéro, et pourra donc être regardée comme une fonction rationnelle de x.

Inversement, supposons qu'entre les éléments d'un certain système fondamental JKi , JK2j > - -, y mi cm ait la relation

y. (-r, /.> rs. ---r», ^' •••)

qui ne soit pas vérifiée pour un système fondamental quelconque.

En remplaçant les y par leurs valeurs en V, V étant une intégrale de E ne satisfaisant pas à c2, on aura

k étant au plus égal à m- — i. Cette relation ne se réduira pas à une identité, car alors la relation y serait vérifiée quand on fait sur les y une substitution quelconque. On a donc une équation d'ordre moindre que m- à laquelle satisfait une solution V de E, n'appartenant pas à cp, et, par suite, le groupe de l'écjuation n est pas le groupe général à ni- paramètres. Ces remarques

54o CHAPITRE XVII.

sont cnlièremcnl analogues à celles que nous avons faites pour les équations algébriques (Chapitre précédent, § 17).

24. Nous avons donné au groupe que nous venons de trouver le nom de groupe de transformations, pour le distinguer du groupe que l'on désigne sous le nom de groupe de V équation linéaire (page 288) et qui est relatif aux substitutions qui correspondent aux différents chemins suivis parla variable. Ce dernier groupe n'est pas un groupe continu, je veux dire qu'il ne dépend pas de paramètres arbitraires. Faisons la remarque très simple, mais qui n'est pas sans intérêt, que le groupe de V équation est contenu parmi les substitutions du groupe de transformations. Ceci résidle immédiatement de ce que ce dernier groupe correspond à hi substitution d'une intégrale quelconque de l'équation f à une autre également quelconque. Si, en particulier, ces deux intégrales sont deux déterminations différentes d'une même intégrale correspondant à des chemins différents, on aura une substitution du. groupe de l'équation, et elle sera bien contenue dans le groupe de transformations.

25. Nous avons dit que, parmi les équations /d'ordre moindre /?, on prendrait l'une d'elles; mais on doit nécessairement se demander quelle conséquence entraînerait, pour le groupe de transformations de l'équation différentielle, la substitution d'une équation y à une autre équation, que nous désignerons par/,. Cherchons les relations qui peuvent exister entre les intégrales de ces deux équations d'ordre />

/(V)-o. /i(Vi)-o.

Puisque V, est une fonction linéaire des y^ et que celles-ci s'expriment aussi linéairement à l'aide des V et de leurs dérivées, nous aurons pour \ ^ «ne expression linéaire par rapport à V et ses dérivées. Si donc nous considérons deux intégrales déterminées V et Ti de ces équations, n'appartenant j^as à C5, on aura

„ dv a et ^ étant des fonctions rationnelles de x. Or, considérons

d'autre pari l'expression

(T) W=aV-3^-....

dx

V élant l'intégrale générale de /: elle satisfera à une équation d'ordre p

Les deux équations /, et /^ ont une intégrale commune, n'appartenant pas à cp, à savoir c,. Il faudra donc que l'équation /2(W) coïncide avec l'équation /, (V, ) = o, puisque autrement (', satisferait à une équation différentielle algébrique d'ordre moindre que p.

On voit donc la dépendance qui existe entre les deux équations /et/, ; l'une est simplement la transformée de l'autre. D'autre part, transformer l'équation / au moyen de la substitution (T) considérée ci-dessus, c'est substituer seulement un système fondamental d'intégrales à un autre et, par suite, le groupe de transformations que nous aurait donné l'équation/ est le transformé de celui que nous a donné V équation f au moyen d' une substitution linéaire convenable effectuée sur les y. Les deux groupes doivent être regardés comme identiques.

26. Nous avons examiné uniquement jusqu'ici le cas d'une équation à coeffîcienls rationnels. Nous pouvons supposer que les coefficients de U équation différentielle appartiennent à un domaine de rationalité plus étendu. On peut supposer, comme nous l'avons fait dans l'étude de la réductibilité (Section 111), que l'on a un certain nombre de fonctions

ax{x), a^ix) «p(-2")

telles qu'aucune d'elles ne puisse s'exprimer par une fonction rationnelle de X, des autres fonctions et de leurs dérivées jusqu'à un ordre quelconque. On considère, comme faisant partie du domaine de rationalité, l'ensemble des fonctions rationnelles de :r, des a[x) et de leurs dérivées. Les diverses équations différentielles que Ton aura alors à considérer devront être des équations différentielles algébriques dont les coefficients seront fonctions rationnelles de X, des ai^x) et de leurs dérivées. Telle sera en particulier,

quand elle existera, rëqualion/(V) = o, qui joue dans la théorie précédente le rôle essentiel; au domaine donné de rationalité correspondra un groupe de transformations pour Inéquation linéaire.

27. Nous devons immédiatement faire une remarque qui accuse, malgré bien des analogies, une différence importante au point de vue des applications entre la théorie que nous venons de développer et la théorie de Galois sur les équations algébriques. Dans cette dernière, la résolvante irréductible pouvait être trouvée par des calculs toujours effectuables, une fois donné le domaine de rationalité. Il en est tout autrement dans la théorie actuelle ; nous co/ice(^o/25 seulement l'existence de cette équation différentielle/', de telle sorte que le groupe de transformations, pour une équation donnée, ne peut pas être obtenu par des opérations susceptibles d'être régulièrement effectuées. ïl en résulte qu'en général on devra, au point de vue pratique, commencer par chercher tous les tjpes de groupes algébriques de transformations linéaires et homogènes pour un nombre de variables égal à l'ordre de l'équation différentielle ; d'après ce que nous avons dit plus haut sur les groupes en général, on se rend compte que l'on possède des principes sûrs pour effectuer cette recherche, si pénibles et longs que doivent être les calculs à faire. Il reste alors à reconnaître si un groupe déterminé est le groupe de transformations de l'équation différentielle.

Soit G un tel groupe; d'après ce que nous avons vu (§ 11), nous pouvons former une fonction rationnelle

^{■r,y„y,,...,y„Jj^,..yj

restant invariable quand on effectue sur lesjr les substitutions du groupe G, mais qui n'est pas un invariant pour un groupe d'un plus grand nombre de paramètres. Nous avons vu, d'autre part (§ 13), que cette fonction satisfaisait à une équation différentielle algébrique E d'ordre îi- — p, en désignant par p le nombre de paramètres du groupe G, les coefficients de cette équation étant des fonctions symétriques àesy. A l'endroit cité, lesj^ étaient des fonctions arbitraires; ici ce sont des intégrales de l'équation linéaire

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIKLLES LINÉAIRES. 543

donnée; mais si l'on pi end r/«/i<:?5rt/Y/ une fonction R jouissant de la propriété d'invariance indiquée, on peut encore affirmer qu'elle ne sera pas invariante pour un groupe d'un plus grand nombre de paramètres, les y formant un système fondamental de l'équation linéaire. Ceci dit, supposonsque l'équation donnée soit à coefficienls rationnels ; aj^ant pris le groupe G et la fonction correspondante R, nous formons l'équation E, qui est aussi à coefficients rationnels. Si G est le groupe de transformations de l'équation linéaire donnée, la fonction rationnelle R, qui reste invariable par les substitutions de G, devra être une fonction rationnelle de x^ pour un système convenable d'intégrales fondamentales, à savoir pour celles qui correspondent à Téquation / en V de notre théorie générale. 11 résidte alors du second théorème fondamental que V équation E admettra une intégrale rationnelle. Nous sommes donc conduit à rechercher si une équation différentielle algébrique admet pour solution une fonction rationnelle; c'est un problème que l'on ne sait pas actuellement résoudre dans toute sa généralité, mais, dans bien des cas, la méthode des coefficients indéterminés permet, avec des considérations spéciales à la forme de Téquation, de trouver la solution (').

Quoi qu'il en soit, en se plaçant à ce point de vue, on commencera les essais en prenant d'abord les groupes algébriques à un paramètre (-), puis, s'il n'existe pas d'intégrales rationnelles pour les équations E correspondantes, on passera aux groupes ayant, après les groupes à un paramètre, le moindre nombre de paramètres, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive, pour un certain groupe G à /* paramètres, à une équation E ayant une solution rationnelle, tandis que pour tous les groupes à un moindre nombre de paramètres cette condition ne s'était pas trouvée réa-

(') En dehors des équations linéaii-es, nous citerons l'équation aux dérivées logarithmiques des intégrales d'une équation linéaire, qui a été étudiée à ce point de vue par Liouville. Dans son xMéinoire couronné, Sur les équations différentielles du premier ordre {^Annales de l'École Normale, 1892), M. Painlevé a montré comment on pouvait résoudre le problème proposé pour toutes les équations du premier ordre et du premier degré.

(^) Nous ne nous occupons pas du cas où le groupe de transformations ne serait pas à un groupe continu, c'est-à-dire un groupe dépendant d'un ou de plusieurs paramètres arbitraires. Dans ce cas, l'équation aurait son intégrale générale algébrique, comme nous l'avons déjà dit dans une Note du § 20.

lisée. Le groupe F de l'équation dépendra de /• paramclres, car s'il dépendait de moins de /• paramètres, nous aurions trouvé dans les essais précédents une équation E à intégrales rationnelles; d'autre part, il ne peut dépendre de plus de r paramètres, car dans le cas contraire une ionction rationnelle des y^ invariante pour les substitutions de G et prise au hasard, n'étant pas invariante pour les substitutions du groupe F qui aurait plus de /• paramètres, ne pourrait s'exprimer rationnellement. Il résulte de là, ou bien que F coïncide avec le groupe G, ou bien que F est un groupe complexe à /• paramètres contenant le groupe G. En étudiant de la même manière chacun des types de groupes à /• paramètres, on déterminera ainsi le groupe F, qui pourra être un groupe non complexe ou un groupe complexe formé de plusieurs groujjes G à /* paramètres.

La méthode que nous venons de suivre dans ce paragraphe, pour obtenir le groupe d'une équation linéaire, est, à très peu près, celle qu'a suivie M. Vessiot dans sa Thèse, déjà citée, sur les équations linéaires. Ge géomètre se sert même de ces considérations pour arrivera la notion de groupe, mais cette marche très naturelle et très intéressante pour obtenir Je groupe, quand on a acquis cette notion, laisse subsister des difficultés sérieuses pour arriver aux deux théorèmes fondamentaux. Aussi me paraît-il préférable, pour poser les bases de cette théorie, de suivre. la voie que j'avais antérieurement indiquée et qui présente une analogie si complète avec la marche suivie [)ar Galois dans la théorie des équations algébriques.

Remarquons, en terminant, qu'il ne faut pas s'exagérer l'importance des difficultés pratiques relatives à la recherche du groupe de transformations d'une équation linéaire. Il en est ici comme en Algèbre; les théories de cette nature ont surtout pour objet d'établir des classifications et d'indiquer des types pour les différentes circonstances qui peuvent se présenter. II arrivera généralement, dans les applications, que les considérations qui ont conduit à une équation donneront des renseignements sur son groupe ; c'est ce qui arrive, par exemple, quand on étudie, au point de vue algébrique, les équations modulaires de la théorie des fonctions elliptiques.