Partons donc de l'équation

les termes non écrits dans chacune des parenthèses étant de degré supérieur au premier en ^, , ^oj • • • 5 ^w

Nous allons chercher à trouver une fonction satisfaisant à cette équation. On ne pourra pas, en général, trouver de fonction holomorphe au voisinage de .rj = . . . = ^/i = o.

Laissant, pour un moment, de côté l'équation (3), nous envisagerons l'équation suivante :

Peut-on obtenir une intégrale de cette dernière équation, holomorphe au voisinage de .r, = ^2 ^ • • • ^ -^/i = o? intégrale qui devra nécessairement s'annuler pour ces valeurs? En dérivant successivement l'équation/?, fois par rapport à ^i,/?o fois par rapport à •^2; •'", Pu fois par rapport à x^, et faisant x^ = ^2 ==•••= «^«^ ^5 on obtiendra la valeur de

(4) — (pour ^1 = a-o ==... = cr/i= o),

exprimée à l'aide des valeurs des dérivées partielles de / d'ordre inférieur à/?, -\- P2-T- > • • + fw) correspondant aux mêmes valeurs des variables. Seule la dérivée ■— (pour ^, = . . . = ^/z= o) ne se trouve pas déterminée par l'équation différentielle, tandis que les

autres dérivées partielles du premier ordre ont une valeur nulle. Ce que nous venons de dire suppose que le coefficient de l'expression (4) n'est pas nul; or ce coefficient se calcule immédiate-

ment : il est égal à

Nous devons donc supposer que la somme précédente ne s'annule pour aucune valeur positive et entière de p^ , /?2, • • • , Put à l'exception, bien entendu, de

/?i = i, p2 = . . . = pn== o.

Dans ces conditions, ajant pris arbitrairement le coefficient de Xi dans le développement, tous les autres coefficients sont déterminés. // s'agit de savoir si ce développement est convergent^ les X ayant des modules suffisamment petits.

4. Nous ferons, en premier lieu, une observation d'un caractère géométrique. Considérons le quotient

Nous aurons besoin, pour la démonstration de la convergence, de supposer que le module de ce quotient reste supérieur à un nombre fixe difi'érent de zéro (les p étant des entiers positifs quelconques, en excluant seulement la combinaison y?, = i, ^2 = /?3 = . . .=/>/2= o). On aperçoit facilement un cas dans lequel il en sera certainement ainsi. Marquons sur un plan les points ).,, )^2, • • -7 ^vij et supposons qu'on puisse tracer un contour convexe C comprenant à son intérieur les points précédents, mais ne comprenant point l'origine. On est alors assuré que

P\-^Pï^'--^Pa

reste supérieur à un nombre fixe, car le quotient entre crochets est l'affixe du centre de gravité de masses p^ , yOo? • • - , Pn respectivement placées aux points X,, Ao, . . ., X,;, et ce centre de gravité est certainement à l'intérieur de G. Ecrivons maintenant l'ex-

pression (5) sous la forme

Xi/?l-^. . .— '>^nPn ?ii

D, -^ ^-2 — ... H- Pn Pi-^P-2-h.. .-\- Pn ^

Pi — pi — '- - — Pn

Or les seconds termes du numérateur et du dénominateur deviennent de plus en plus petits à mesure que les/? augmentent. Donc, quand /?, -f- /?2 + •.♦•+ ^« est supérieure à un certain nombre assignable, l'expression (5) n est certainement pas nulle. D'autre part, quand la somme des p reste inférieure à un nombre déterminé, le module du numérateur de (5) doit nécessairement avoir un minimum, et ce minimum ne peut pas être nul d'après la supposition du numéro précédent. Nous sommes donc assuré, sous la condition des deux hypothèses faites, que le module de r expression (5) reste supérieur ci un nombre fixe que nous désignerons par £.

5. Nous allons démontrer que le développement obtenu est convergent en adoptant les hypothèses indiquées ci-dessus. Posons

V commençant par des termes du second degré et A étant une constante arbitraire. Nous aurons

fZ dv ^ dv ^ àv .

\ ' àx-^ ' dx-i ox,i

les développements de cp,, cp,, . . ., cp,, et à commençant par des termes du second degré. ^

Désignons par M le module maximum de cp, , cp., . . . , cp«, et ^ quand les variables sont respectivement dans leur plan à l'intérieur d'un cercle de rayon a. Nous considérons l'équation

\dxi ' dXi " ' dxn 1

ô CHAPITRE I.

Nous allons voir dans un moment qu'il existe une intégrale V de cette équation s'annulant, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, pour ^, =r ^2 = • • • = *^/< = o- Or la comparaison des équations (6) et (7) est immédiate; le coefficient de

(pour xx = .. .= x,i= o),

dic^' . . . ùx^l;

dans le calcul des dérivées successives à l'aide de l'équation ((3) est, comme nous l'avons vu, égal à

tandis que, pour l'équation (7), le coefficient correspondant est

Il est donc clair, d'après la définition même de s, et en remarquant que cp,, cpo, . . . , cp/j et '} ont été remplacées par des fonctions de comparaison jouissant des propriétés que l'on sait relativement aux valeurs de leurs dérivées partielles, que la série v tirée de (6) convergera quand la série V tirée de (7) sera elle-même convergente. Nous n'avons donc plus qu'à étudier l'équation (7). Nous pouvons présumer que V est une fonction de w, en posant

a = x^^-^ X2-\- . :'. -+- Xii-

L'équation (7) devient alors

élu-- V = / M — M

du / ( Il a i \ du

que nous pouvons écrire

dy

du

W étant une constante. Il faut voir si cette équation admet une intégrale holomorphe dans le voisinage de u = o, et s'annulant pour cette valeur ainsi que sa dérivée première. Or l'équation précédente est une équation linéaire du premier ordre que nous mettons sous la forme

/ nM'u'-\ dW ,, X'i'u-i

\ a — u J au a — u

Une intégrale de l'équation sans second membre est

o(u) représentant une fonction holomorjDhe autour de l'origine

[cp(o)^o]. Posant alors Y = Cu'j(u), nous trouvons pour -j-

une fonction holomorphe ; G sera complètement déterminé parla condition de s'annuler pour u = o, et nous aurons bien pour V une fonction holomorphe dont le développement commence par un terme en u'-. Notre démonstration est donc complète.

6. Nous pouvons élargir un peu l'hjpothèse faite au § 3. 11 a été admis dans ce numéro que l'expression

ne s'annulait pour aucune valeur positive ou nulle des p, autres que pi=^i, p2 = . . .^ p,i^ o. Cette somme pourrait s'annuler pour des valeurs positives des p correspondant à

sans que notre démonstration subît de modification importante. Ceci revient à dire ^vC une des quantités Xo, .. ., \n pourrait être égale k X,. Qu'arriverait-il, en effet, dans ce cas?

Si l'on a, par exemple, X=)v,(f>2), la dérivée partielle du

premier ordre j^ pour les valeurs nulles des variables ne sera pas

déterminée par l'équation différentielle, elle restera donc arbitraire; à ce point près, rien ne sera changé dans la démonstration. On posera seulement

/ = A rri + B .r/ H- V,

A et B étant des constantes arbitraires, et la démonstration se poursuivra comme au § o.

En résumé, l'équation (,) (X.x,-^...)g + a.^.H-...)g+... + (X„-«-...);^ = X,/ admettra une intégrale holomorphe dépendant au moins

(UNIVEBSITT

lO CHAPITRE I.

dUme constante arbitraire, si les conditions suivantes sont remplies :

1° La relation

n'est vérifiée pour aucune valeur entière et positive des entiers p satisfaisant à V inégalité

Pl-^P-2-'r-.'.-\-pn^'^\

2° Si Von marque sur un plan les points correspondant aux affixes )v< , Xo, . . . , \i^ on peut tracer un contour convexe comprenant ces points à son intérieur^ mais ne comprenant pas V origine.

On peut évidemment substituer à la seconde condition la suivante : Une certaine droite passant par l'origine laisse tous les points d'un même côté.

7. En supposant remplies les conditions indiquées, cherchons maintenant ce que nous pourrons tirer du théorème précédent pour l'étude de l'équation proposée

Désignons par y, une intégrale holomorphe de l'équation (a), par y*2 i^ine intégrale holomorphe de l'équation analogue à (a), mais où X, a été remplacé par )v2- Nous avons

ce qui peut s'écrire

SINGULARITÉS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Il

par suite, en retranchant ces deux équations, on voit que

log-=^) et par suite -"^ ?

fh ff

satisfont à l'équation (|3).

11 n'est pas inutile de remarquer que cette intégrale ne devient pas illusoire quand A, = Ao. En effet, dans ce cas, les termes du premier degré en ^, et Xj sont arbitraires dans /, et dans /o (voir § 6)^ on a donc

en n'écrivant que les termes du premier degré; les A et les B

étant arbitraires, le quotient 4^ ne se réduit certainement pas a

une constante.

En mettant successivement dans le second membre de l'équation (a), à la place de A,, les autres valeurs des A, on obtiendra n fonctions holomorphes

/l? fi: •••- ftn

et, d'après ce que nous venons de dire, on aura n — i intégrales de l'équation (ji), à savoir :

JL -i —

fl. f\s fin

fh fF' fi'

Ces n — I intégrales sont distinctes, c'est-à-dire qu'il n'existe pas entre elles de relations. Dans le cas contraire, on aurait une relation entre /<, /2, /«, et, par suite, le déterminant fonctionnel

D(/l./2 fn)

l){Xi, Xo, .. ., Xfi)

serait identiquement nul. Pour démontrer qu'il n'en est pas ainsi,

prenons d'abord le cas où tous les a sont distincts; on aura alors

Al

As

,Xt~ ...

fn =

en n'écrivant que les termes du premier degré. Les A étant arbitraires, le déterminant fonctionnel de ces fonctions ne peut être identiquement nul.

Si l'on suppose que deux ou plusieurs des quantités \ soient égales entre elles, il n'y a pas plus de difficultés, puisqu'on peut encore donner cette même forme aux/".

En résumé, on pourra obtenir, dans le voisinage de ^, = ^o = . . . = ^/^ = o, un système de n — i intégrales distinctes de V équation

quand les conditions du § 3 seront vérifiées (^). Il faut ajouter, bien entendu, qu'à la première condition mentionnée dans ce numéro doivent s'ajouter celles qui en dérivent par permutation des nombres i , 2, . . . , /i.