II. — Applications aux équations différentielles
8.' Nous pouvons déduire des théorèmes précédents des résultats intéressants concernant les équations différentielles ordinaires. Envisageons le système d'équations différentielles ordinaires du premier ordre
,g J\ L dx^ __ dx^. dxg
Xj A2 x,i
les X s'annulant pour ^, = ^o = • . .-^ Xn=^ o] nous allons indiquer un cas étendu où nous aurons des courbes intégrales pas-
(') Ce théorème, sous sa forme générale, a été démontré par M. Poincaré dans sa Thèse Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles (Paris, 1879). La forme géométrique donnée aux conditions est particulièrement intéressante.
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sant par Torigine. Il ne sera pas inutile de préciser cette expression de courbes intégrales. Tout système de quantités x,, ^2, • • . 5 ^/n satisfaisant aux équations difierentielles précédentes, forme une multiplicité à une dimension (c'est-à-dire dépendant d'un paramètre), et Ton peut, si l'on veut, considérer cette multiplicité comme une courbe dans l'espace à n dimensions. C'est dans ce sens que nous parlons d'une courbe intégrale : nous ne faisons qu'étendre à n quelconque une expression dont le sens est immédiat dans le cas de deux et trois dimensions. Le système (8) étant l'équivalent de l'équation aux dérivées partielles
Xi -^ '- Xo -r r- . . . — X„ -T — ■ = O,
dXi ' dX.2 OXn
nous sommes assuré de pouvoir, en général, par un changement linéaire de variables, réduire les équations à d'autres, dans lesquelles on aura
Xi = Ài^Ti —
Xo = Ào:r., — . . . ,
\,i — f-ii^n • • • •>
en nous bornant à écrire les termes du premier degré. Plaçonsnous donc dans cette hypothèse. Je considérerai alors le système
suivant
dxi dxi __ dxji dt^
"xT " x7 ~ x„ " t '
t étant une variable en fonction de laquelle nous voulons exprimer ^,, ^o, . . ., x,t. Nous avons un système de même forme. On a à considérer ici les n -\- i équations
dXi dx-i OXn ôt
dfn+x , Y ^f"^^ Y ^^«+^ ■ / ^^«±1 - /• ^, •
dXi dXi OXn Ot
on pourra prendre pour les// des fonctions indépendantes de t et qui seront précisément celles que nous avons étudiées dans la Section précédente, dans V hypothèse oit les l satisfont aux conditions indiquées. La fonction fi contient simplement un
jC cas où les parties réelles des A seraient toutes négatives pas différent du précédent, puisqu'il suffit de changer t en y être ramené.
Supposons maintenant que les parties réelles soient seule] positives pour
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On fera C^+i ^ . . . = C„= o, et l'on aura des développements de Xi, X.2-, . ' 't Xn suivant les puissances de Û-^, t^--, . . ., Ûr, ce qui donne un ensemble de courbes intégrales passant à l'origine et dépendant de p — i constantes arbitraires. En changeant t en -, et faisant alors G, = Go^ . . . ^ C^ = o, on aura un autre ensemble de courbes intégrales passant à l'origine et dépendant de n — p arbitraires.
Nous nous sommes placé dans les cas les plus simples, de manière à pouvoir faire tendre t vers zéro dans une direction quelconque (l'argument seulement restant fini).
On pourra avoir d'autres intégrales qui correspondent à t tendant vers zéro situant une certaine loi. Ainsi, soit a, == i , ce qui ne diminue en rien la généralité, puisqu'on peut diviser les X
par ).,) et soit
X, = a -I- bi,
a étant négatif. Pour ne pas m'occuper des autres valeurs des a, je
fais
Supposons, pour fixer les idées, b^o. En posant
t = re^i, on a
\t^i\ = pa'°er-69.
Faisons suivre au point (r, 9) la spirale
9 tendant vers l'infini positif. On aura
alogr— 60 = — {am + 6)6.
Si donc jn a été choisi de telle sorte que
ani + 6 > o,
et il suffit pour cela de le prendre assez petit, on est assuré que I ^ I et I t^i I tendent vers zéro.
Si l'on avait eu 6 << o, on aurait pris une spirale
r = e'«9 (m>o), 8 tendant vers l'infini négatif.
On obtient donc ainsi, dans tous les cas, un ensemble de courbes intégrales dépendant d'une constante arbitraire, cjui ne rentrera pas, en général, dans les ensembles de courbes intégrales considérées plus haut.
10. Nous pouvons facilement généraliser les résultats précédents en considérant le système
dXa
~dt ^ ?«(^1'^2, . -',^n, t),
les cp étant des fonctions liolomorphes dans le voisinage de ^^1 = ^2 = - • • = -^/î^ ^= o et s'annulant pour ces valeurs. On voit bien aisément, comme plus haut, qu'en général (*) les termes du premier degré en œ^ , ^o, . . . , Xn, t peuvent être supposés respectivement réduits dans cp,, ..., o,i à \\X^^ X^^ii •••, \iXji : c'est ce à quoi l'on parvient, en gardant la variable t et en effectuant sur les x un changement de la forme
x'i — aiiXi -]-. . .^ aui cc,i-\- bi t,
x'^ = a,! Xi -r . . .-T- flin ^/i-T- ^2 ^
X'n = a,iiXi-{-. . .-^ clnn Xa + bat.
Nous considérons donc le système
dx^ , ,__ =X,ar,+...,
dx-i .
clx ,1 -.
dt ~ ^riOOn-\-...,
(') II y a des cas particuliers où cette réduction est impossible, mais nous ne nous y arrêtons pas pour n quelconque. Nous en ferons l'étude approfondie pour w = 2.
OÙ ici les termes du second degré ou de degré supérieur peuvent renfermer t] c'est ce qui distingue le cas actuel de celui que nous avons examiné dans les deux numéros précédents. Si les n -\- \ quantités
Al, Ao, . . . , A„, I
satisfont aux conditions requises pour l'application de la théorie développée ci-dessus (première Section de ce Chapitre), nous aurons le système d'intégrales
' Yki ' — ^ ^' (t = i,2, ...,/0)
les y étant des fonctions holomorphes en ^, x^, X21 . . ., Xai et le
développement de fi ne renfermant que Xi comme terme du premier degré. On peut étendre à ce système les remarques du numéro précédent : les x se présenteront sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances entières de
et l'on doit ici supprimer ce qui était relatif au changement de t en -> qui n'aurait plus aucune application, puisque les y dépendent de t.
III. — Étude directe de la forme des intégrales des équations différentielles ordinaires.
11. Les développements de x^^ x.^^ . . ., Xn suivant les puissances de ^^1, t^'.^ . . ., ^^", d'où nous venons de tirer (n"*' 8 et 9) des conséquences importantes relativement aux intégrales du système
dxx dx^ dxn
Xi X2 X,i
n'ont été établis que si les \ satisfont aux conditions indiquées dans la première Section de ce Chapitre. Dans le cas contraire, rien ne subsiste de nos résultats. Il y a là une lacune que nous allons, autant que possible, chercher à combler. Reprenons donc les équations du n" 8.
/ X dxx ^^ dx.-, ^, dxn
P. — iir.
l8 CHAPITRE I.
les X ne dépendant que de Xi, x., •-•, ^n et ayant respectivement pour termes du premier degré )M-^i5 ^2-^2? • • •) Xi^n- Supposons que parmi les quantités 1 on puisse en trouver v,
satisfaisant aux conditions suivantes, dont les deux premières rappellent celles de la Section I.
i" On peut tracer une droite passant par l'origine et laissant d'un même côté les points du plan ayant pour affixes )., , ^2, ••-? ^v
2° Aucune des équations
. Xl /?i -1- X-2 (/>2 — l) -^ • • • -" ^'V Pv = O,
ne peut être vérifiée pour des valeurs des p entières et positives satisfaisant à l'inégalité
3° Nous supposons enfin que, pour aucune valeur des entiers positifs/?, on n'air^
Il Pi, — A2/»2 H- . . • -^- '^-v/^ = '^W ( t = V + I , . . . , /l ),
les p satisfaisant à la même inégalité.
12. Nous allons démontrer qu'o/? peut trouver pour ^, , ^2, •••, ^n des développements procédant suivant les puissances de
et convergents si les modules de ces quantités sont suffisamment petits.
Soient
On va considérer pour un moment les x comme fonctions des
SINGULARITÉS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. lo
variables indépendantes jk (')• En écrivant que les équations (g) sont vérifiées, nous obtenons le système d'équations aux dérivées partielles ? -
^ âXn ^ â.Tfi uXn
Montrons qu'on peut satisfaire à ces équa lions en prenant pour les X des fonctions holomorphes des y. La démonstration présente une grande analogie avec celle qui nous a occupé au § 5.
Les équations précédentes permettent de calculer de proche en proche les dérivées partielles des x pour les valeurs zéro des vari;ibles jK- Seules les valeurs des dérivées du premier ordre
dxi dxi dxy
restent arbitraires (-).
Le coefficient d'une dérivée d'une quelconque des fonctions x^
dPi-^P2+---+P,jX/, — — — -— — — ( h = î, 2, . . ., n),
est de la forme
Aipi^l.p2-h...-îrlh(ph—i)-^...-hlypy (pour h^v) et de la forme
liPi-h X2/>2-T-. . --î- Xv/>v— ^A (pour A > v).
(') J'ai pour la première fois appliqué cette idée de substituer, pour l'étude de leurs intégrales, à des équations différentielles ordinaires des équations aux dérivées partielles convenables dans deux Notes Sur la forme des équations différentielles du second ordre dans le voisinage de certains points critiques {Comptes rendus, t. LXXXVII, /878). L'analyse qui suit n'est que le développement de cette idée.
(=*) En disant ceci, je suppose tous les X différents; mais le cas où deux ou plusieurs X sont égaux ne présente pas ici plus de difficultés que dans la Section I.
D'après les hypothèses faites au numéro précédent, les modules de ces coefficients sont supérieurs à
£ étant un nombre fixe. On le voit en raisonnant absolument comme au § 4 de ce Chapitre.
Il est facile maintenant de trouver des équations de comparaison permettant d'établir la convergence des développements que nous venons de former. Écrivons d'abord les équations sous la forme
■s dX/i ^ ox fi ^ dx,i ^
Ai7i- hA272l h...-f- Av7vi- ^n^,i= Oai^u^i, ...,a7„),
les o ne renfermant pas de termes du premier degré. Nous formons alors le système
Y ày, -"'dy^ -^Uy^ J
Pour raison de sjmétrie, tous les V sont égaux, et nous avons seulement une seule équation, qui se réduit à une équation à une seule variable V, ne dépendant manifestement que de
On a finalement une équation de la forme
dW ,, M'V2
du a — n\
et cette équation admet une intégrale holomorphe s'annulant pour w = o, et dont la dérivée première prend, pour cette valeur de w, une valeur arbitrairement donnée.
Nous avons donc, pour ^,, x.^^ ..., Xn-, des fonctions holo morphes de )^< , yo, . . . , yv dans le voisinage de
Ji = 72 =^ • • • = 7v = o.
En remplaçant y,, y 2^ . . . , y^j respectivement par
Cl, t J, • • • } ' '>
on oblient, s'il est^possible de faire tendre t vers zéro, de manière que les modules de toutes ces puissances de t tendent en même temps vers zéro, des intégrales du système (9) tendant vers zéro avec Ja variable t. Ces intégrales dépendeot de v constantes arbitraires.
On voit que le résultat que nous venons d'établir est plus étendu, tout en étant de même forme, que celui de la Section précédente. Les hypothèses essentielles portent seulement sur v des constantes X, au lieu de porter sur toutes ces quantités.
13. La généralisation est immédiate pour le cas où les X contiendraient t^ et où nous aurions, comme au § 10, le système
t-^ =?i(a7i,:r2, ...,Xn,t\
y^dx„
Nous pouvons, comme au paragraphe cité, supposer que les termes du premier degré en ^,, X2, . . . , ^/^ et ^ se réduisent respectivement, dans cp, , . , . , cp,^, à )., -^ij • • • , ^vi^«-
Nous cherchons ici un développement ordonné suivant les puissances de
Nous aurons les mêmes hypothèses à faire que plus haut, sauf que nous avons ici v + i quantités
I, Al, A2, . . . , Av
On devra donc pouvoir mener par l'origine une droite laissant d'un même côté les v 4- i points ayant ces affixes. De plus, on supposera qu'il n'existe aucune relation de la forme
/>i^^i — /?2^^2-^.-.^(/>A— O^^A-^----^/^v>>v+/?v^i = o (pour A^v),
les/> étant des entiers positifs dont la somme est au moins égale à deux.
Enfin on n'a pas de relation de la forme
les/? étant assujettis aux mêmes conditions.
Il n'est pas besoin de recommencer Lin nouveau raisonnement. Nous sommes ramené au cas précédent en considérant le système
dXn ,
dXn+\
dt -■^«-^"
et en prenant la constante qui figure dans Xnj^K-, de manière que celle-ci se réduise à t.
Nous trouvons ainsi des séries ordonnées suivant les puissances de
t, Ûr, A., ..., t\
et qui dépendent de v constantes arbitraires.
On pourra toujours tirer parti du théorème précédent, ne fût-ce qu'en se bornant à v = o. On aura alors pour les x des fonctions liolomorphes, qui ne dépendront d'ailleurs d'aucune arbitraire.
DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES DU PREMIER ORDRE A DEUX VARIABLES.
Examen du cas général.
