Nous allons appliquer à l'équation
dx dy
les résultats généraux qui viennent d'être établis dans le Chapitre précédent.
On suppose que X et Y s'annulent pour x =y = o et sont des fonctions holomorphes de x ety dans le voisinage de ces valeurs.
Soient
X == rt j" -f- 6jK — . • • ,
D'après ce que nous avons dit (Chap. ï, § 2), on pourra faire un changement linéaire de variables sur x el y, si l'équation du
second degré
a ses deux racines distinctes, de telle sorte que l'équation devienne
dxi dxo
les termes non écrits dans les dénominateurs étant au moins du second degré; les deux coefficients A, et )., sont les racines de l'équation (i). On peut évidemment supposer que l'une d'elles se
réduit à J'anité. Nous écrirons alors, comme précédemment, le système d'équations
dxx ^
et nous n'avons qu'à appliquer, dans ce cas particulier, nos conclusions générales.
Reportons-nous au Chapitre précédent; nous avons à considérer les deux points
I et X (on suppose X 7^ o).
Si \ ri est pas une quantité réelle négative, on pourra évidemment mener par l'origine une droite laissant les points d'un même côté. De plus, dans cette même hypothèse, aucune des
égalités
\{pi — i) -\- Pi= o.
ne peut se trouver vérifiée, les p étant des entiers positifs dont la somme est supérieure ou égale à deux. Nous aurons donc des développements de x^ et ^2 suivant les puissances de
G^ et G'^^> (G et G' constantes arbitraires),
développements convergents si G ^ et C'^^ sont de modules suffisamment petits.
Une distinction est manifestement à faire, suivant que la partie réelle de \ est positive ou négative. On pourra, dans le premier cas, faire tendre t vers zéro d'une manière quelconque (son argument restant fini). Dans le second cas, il faut, au contraire, faire tendre t vers zéro d'une manière convenable. Soit
\ =^ a -\- hi (a<o),
et supposons h >> o. En posant t = /-e^'", on a
faisons suivre au point (/', 0) la spirale
6 tendant vers l'infini positif. On aura
a logr— bO = — {am -f- 6)6.
Si donc m a été choisi (il suffit de le prendre assez petit) pour que
ani 4- 6 > o,
I /^ I et I / I tendront tous deux vers zéro.
Si l'on avait eu /; << o, on aurait pris une spirale
8 tendant vers l'infini négatif.
Ainsi, quand A n'est pas une quantité réelle négative, nous pouvons dire que l'équation
dx dy
a une infinité de courbes intégrales, dépendant d'une constante arbitraire, /?«55rtn^/>rt/- V origine ou s'en rapprochant indéfiniment, suivant que la partie réelle de A Qsi positive ou négative.
Je rappelJe, comme je l'ai expliqué (Ghap. I, § 8), que j'entends par courbe intégrale la multiplicité réelle ou imaginaire à une dimension, satisfaisant à l'équation différentielle.
Ajoutons la remarque très importante (\\\ il n'existe pas d'autres courbes intégrales passant par l'origine ou s'en rapprochant indéfiniment que celles que nous venons d'obtenir. Pour le démontrer, il suffit de généraliser le raisonnement fait au Tome II (p. 3i5) pour établir, en dehors des points singuliers, l'existence unique d'un système d'intégrales par les valeurs initiales. Reportons-nous à la forme de l'intégrale générale (Ghap. I,
f\ et /o étant holomorphes dans le voisinage de x = o^ y^= o et s'annulant pour ces valeurs. La première fonction f^ renferme seulement un terme enj^ comme terme du premier degré, et/o un terme en x.
Or on peut poser on aura alors nécessairement
Pour une courbe intégrale passant à l'origine, ou s'en rapprochant indéfiniment, t et Û^ tendront nécessairement vers zéro, et les dé^'eloppements précédents donnent, par suite, toutes les courbes intégrales (').
2. Briot et Bouquet ont, les premiers, entrepris l'étude des courbes intégrales de l'équation
dx dy
passant par x ^=^0., y =^o, dans le cas où X et Y s'annulent pour ces valeurs des variables. Dans leur mémorable Mémoire (-), sur lequel nous reviendrons bientôt, ces éminents géomètres montrent que, en général, cette étude peut se ramener à celle de
l'équation
dy j
x-f- — ax -\- by ■^. . . , dx -^ '
les termes non écrits étant de degré supérieur à un.
Les racines \ sont égales à un et b. On peut ici prendre ^ = ^, et, d'après le § 1, nous aurons, pour y, un développement ordonné suivant les puissances de
X et G'a7*,
la constante que nous avons désignée par G étant égale à l'unité. Cette conclusion suppose que b n^ est pas un entier positif , comme
(') Outre les noies citées (p. 19), je mentionnerai encore sur cette question un article de M. Poincaré {Sur les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles, Cahier XLV) et une Note que j'ai publiée dans le Bulletin de la Société Mathématique en 1884 {Sur la forme des équations différentielles du premier ordre dans le voisinage de certains points critiques).
(^) Briot et Bouquet, Recherches sur les propriétés des fonctions définies par des équations différentielles {Journal de l'École Polytechnique, t. XXI j 1806).
on le voit en se reportant au § 1. Sauf ce cas, l'équation admettra toujours une intégrale holomorphe, qu'on obtiendra en faisant G'= o.
Sans se servir de développements en séries, Briot et Bouquet obtiennent les résultats que nous venons d'indiquer. Je veux seulement faire une remarque sur une contradiction apparente entre un résultat du Mémoire que nous citons et un des résultats du § 1. Ainsi on trouve dans le Mémoire de Briot et Bouquet le théorème suivant :
Quand dans V équation
x-f- ~ ax -\- by -\-. ...
ax
la partie réelle de h est négative ^ V équation rC admet pas d'autre intégrale s' annulant pour j: = o que l'intégrale holomorphe.
Ce résultat suppose implicitement que x tende vers zéro en décrivant un chemin de longueur finie et correspondant à un argument restant fini. Nous avons vu, au contraire (§ 1), qu'il j a (6 étant complexe) une infinité de courbes intégrales se rapprochant indéfiniment de l'origine. Mais, et c'est ce qui explique l'apparente contradiction, elles correspondent à x tendant vers zéro en tournant une infinité de fois autour de l'origine.
Briot et Bouquet démontrent de la manière suivante (/oc. cit.) leur théorème. Ils ont établi précédemment l'existence d'une intégrale holomorphe j*< . En posant
' y=yi^z,
l'équation prend la forme
dz , j n \
que l'on peut encore écrire
x-^ = bz(i^0L'z-i- ''^'z^--i-...)^zx^{z,x),
et, par suite,
dz j dx , . ,7
——, — : ; =b-- ^'h{z,x)dx,
Z{l -i- OL Z — . . .) X
^h{z, x) étant, comme (p(^, ^), holomorphe dans le voisinage de c; = ^ = o. En intégrant le long d'un arc de courbe aboutissant à l'origine et désignant par ^o la valeur de z en un point Xq de
cette courbe, on a
logi- +cp(z) = log(^) +/ ^{z,x)dx,
o(z) étant holomorphe dans le voisinage de ^ = o. Puisque l'arc a, par hypothèse, une longueur finie, l'intégrale qui figure dans le second membre restera inférieure à une limite fixe; d'autre part, l'argument de x restant fini, la partie réelle de
log(
grandit indéfiniment en étant positive. Dans le premier membre, au contraire, la partie réelle grandit indéfiniment en étant négative; il y a donc une contradiction qui établit l'impossibilité que nous voulions mettre en évidence. La même conclusion serait encore applicable si la partie réelle de b était nulle.
3. Nous avons supposé, au § 1, que X n'était pas une constante réelle négative. Nous ne pourrons plus faire usage des mêmes développements, si X est réel et négatif, ou du moins ils ne peuvent être, en général, convergents que si G ou G' est nul.
En faisant d'abord G'= o, on aura pour x et y des développements suivant les puissances de ^, convergents pour t assez petit et qui tendront vers zéro en même temps que t. Nous avons ainsi une première courbe intégrale ne renfermant aucun arbitraire.
Une seconde intégrale nous sera fournie en posant
les développements sont alors convergents pour | 1 1 suffisamment
grand, ei x et y tendent vers zéro en même temps que -•
Nous obtenons donc ici deux courbes intégrales passant à Voj^igine.
Il est facile de voir que, dans l'hypothèse où nous sommes
placé, il n'y a pas d'autre courbe intégrale de l'équation
dy a' X -h b'y — . . .
dx ax -r- h y -h . . .
passant à Porigine, avec une tangente déterminée, c'est-à-dire
avec une limite finie, et déterminée pour — quand le point ( j:, y)
se rapproche de l'origine, et de plus .r, et par suite y^ ne tournant pas indéfiniment autour de l'origine. Soit, en efl'et,
y = tx, l'équation devient
,„. dt^ {a! ^ b't) — t(a -\- bt) -^ x ojx. t)
dx ~ a ^ bt -\- x'i^{x^t) '
t lendanl, par hypothèse, vers une limite quand x tend vers-^f'yo; cette limite ne peut être que Tune ou l'autre racine de l'équation du second degré
a' -h b' t — t(a -\- bt) = 0.
En efî'et, si la limite était une quantité ^o différente d'une racine de cette équation, l'équation précédente pourrait s'écrire
dx
-^ = xy{t,x),
y{tjx) étant holomorphe dans le voisinage de t = i^^ x^=o. Pour cette équation, on aurait une intégrale x tendant vers zéro quand t tend vers ^o ; "^ais ceci est impossible, car l'intégrale de cette équation s'annulant pour t ^ (q est nécessairement x =: o identiquement.
L'équation (E) aura la forme de celle que nous avons considérée au § 2 avec Briot et Bouquet. En désignant par ^, une racine de l'équation du second degré et posant i = /,-^Q,, nous avions
^-7^ = A)a7 -h Biôi-h. . .,
et, pour la seconde racine t.2, nous avons une équation analogue
