II. — Étude d'un cas particulier remarquable
4. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que l'équation (i) en \ avait ses deux racines distinctes. Reprenons donc l'équation différentielle
dx
dy
ax -^ bj' -t-. . . a'x^b'y-^..
en supposant que l'équation en A
ait une racine double. On peut alors effectuer sur x et y une substitution linéaire de telle sorte que les équations prennent la
ÉQUATIONS DIFEÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES. 3l
forme
dx dy
Xa7-h .. \J.x -^\y -\- . , .'
Considérons, en effet, Féquation
Faisons le changement de variables
Xi=!xx-}-^y,
nous avons
On détermine a et j3 par la condition que
(x{ax-i- by)-h ^{a'x-+- b'y) = A(a^-|- ^j),
ce qui donne pour à la racine de l'équation du second degré écrite plus haut. Posons ensuite
^{ax + by) -~o{a'x ^ b'y) = ^i^xx + '^y) -^l{^(x + o^),
c'est-à-dire
Y(rt — X) -+- 8a'= fxa, Y6-f-o(6'— X) = fx^,
et ces deux équations se réduisent à une seule, comme on le vérifie aisément, en s'appujant sur ce que l'équation du second degré a une racine double.
On a, par suite, à considérer les deux équations (en divisant les dénominateurs par A, ce qui revient à faire A = i) :
/ dx (a) i
rf = ^^-^->^--
5. Nous allons chercher si l'on peut obtenir des intégrales de cette équation ordonnées suivant les puissances de
Il = — t, ç = t logt.
Nous formons ainsi le système d'équations aux dérivées partielles
àx dx dx
dv ày dy
du ôi^ âi^ ^ '^
en substituant dans les équations, pour x et jr, des fonctions de u et ç^ que nous allons pour un moment considérer comme des variables indépendantes.
Les équations (3) admettent-elles un système d'intégrales liolomorphes dans le voisinage de z^ = o, ^ =^ o? Nous remarquons d'abord qu'elles permettent de calculer les dérivées partielles successives de X et y pour ?^ = o, ^ = o.
En différentiant, en effet, p fois par rapport à u el n fois par rapport à p, la première équation nous donne l'expression
. d"'-^Px ôfi^Px (n-{-p — i)-7 ^ p- (\)our u = o, V = o),
exprimée en valeur des dérivées partielles de ^ et jk d'ordre inférieur à n-\-p. Donc, on pourra calculer toutes les dérivées partielles de X d'un ordre déterminé en fonction des dérivées d'ordre inférieur de x et y; la seconde équation donnera alors les dérivées partielles du même ordre de y en fonction des mêmes dérivées.
La seule dérivée partielle restant arbitraire est la dérivée -t-*
^ OlL
Nous pourrons donc fornver des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de u et v^ et il reste à démontrer que ces séries convergent pour des valeurs suffisamment petites de u et t\ Nous nous trouvons ici dans des circonstances assez différentes de celles que nous avons précédemment rencontrées.
