Considérons, au lieu du système (2), le système dx

qui ne diffère de (2) qu'en ce que, dans le second membre, le

coefficient dey est X au lieu de un; X désigne une constante positive inférieure à un.

Avec le système (4), nous rentrons dans le cas général, et nous avons des intégrales développées suivant les puissances de

t et t^.

Nous pouvons aussi considérer ces intégrales comme développées suivant les puissances de

En posant

~t et

on est conduit à former le système d'équations aux dérivées partielles

Idx ^ dx dx

OU ov dv '

^^^ \ ày . dy dy ,

et, ce système correspondant au cas général, nous sommes assuré qu'on peut y satisfaire par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de u el v.

Or la comparaison des systèmes (3) et (5) est très facile; le coefficient de la dérivée

d"^^Px duP dv"-

est, pour le premier système, p ~ n ^ i, tandis qu'il est, pour le

second,

Donc, dans le développement tiré de (5), les coefficients auront des dénominateurs numériques plus grands (À<C i) que dans le développement tiré de (3). La convergence des développements que nous avons déduits des équations (3) est donc assurée.

Les intégrales du système (2) se présentent donc sous forme P. - m. 3

34 ^^ CBAPITRE II.

de séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

t et t\o^t', elles dépendent d'une constante arbitraire.