III. — Réduction de l'équation à des formes simples

7. Nous avons dit (§ 3) que Briot et Bouquet (') réduisent, en général, l'équation à une forme plus simple, moyennant, il est vrai, quelques hypothèses complémentaires. Reprenons l'équation

dx dy

que nous écrirons

Les quantités x et y s'annulent en même temps. Supposons que y soit d'un degré déterminé [x par rapport à x^ et de telle

sorte que -~ soit de degré \k — i . Il devra, dans ces conditions, y

avoir dans les deux membres de l'équation précédente des termes de même degré, à savoir les termes de moindre degré. On aura alors une relation de la forme

a' [JL H- P' -h [Jt. — I = a [JL -f- {î, ce qui donne

Le degré [x est donc alors un nombre commensurable (-).

(') Journal de l'École Polytechnique, t. XXI, p. iGi.

(*) Nous supposons que l'équalion donnant [x ne se réduise pas à une identité. Cette circonstance peut se présenter; c'est ce qui arrive, par exemple, pour l'équation

où k représente une constante. Le degré de y par rapport à x, qui est A", n'est pas, en général, commensurable.

^oit u.=^ ~; posons

X = ti,

il viendra

y = vtp,

{k'v'^-tp^-^q'^-^...) fptp-

'r + ^p-^j — (A^•3c^pa+7?-^

mais on a

Oll

\)}i.-\- P'= a;jL + p -M

qtl-

La variable t entre donc au même degré dans tous les termes du premier groupe, et à un degré plus élevé dans les autres termes. Après division par la puissance de t en facteur dans chaque terme, on aura

Considérons alors l'équation Soit Vq une racine de cette équation; eu posant nous avons pour u l'équation

cp étant holomorphe dans le voisinage de w = o, ^= o et s'annulant pour ces valeurs. Ceci suppose que To n'annule pas séparément les deux polynômes

kv^-\-... et A'pa'u

8. Pour trouver l'ensemble des termes correspondant au moindre degré, Briot et Bouquet procèdent comme dans l'étude des fonctions algébriques. Dans un plan, traçons deux axes rectangulaires O^ et OjK, et marquons les points qui ont pour coordonnées (a, p + i), (a'4-i,.3'), .... Nous voyons d'abord qu'à des termes de même degré infinitésimal correspondent des points

placés en ligne droite; et, en efî'et, la valeur de [jl trouvée précédemment montre que la droite qui joint les points correspondant à deux termes de même degré a une direction constante; cette droite fait avec l'axe des x un an^le obtus dont la tan^^ente en valeur absolue est égale à !jl. Si, par un point quelconque, (a"+ i , jii'') ou (a", p''+ i), on fait passer une droite parallèle à la direction constante, cette droite ayant pour équation

y— ^■'-— I-t(^-a"— I) ou

jK— P"— I --— 1^(37— a"),

son ordonnée à l'origine [3''+ p.(a"+ i) ou ^'^4- » H- J^^c" surpasse d'une unité le degré du terme correspondant. 11 en résulte que les droites parallèles sur lesquelles sont placés les points qui correspondent aux divers groupes de termes s'éloignent de l'origine à mesure que le degré de ces termes augmente; par conséquent, la droite qui passe par des points d'un groupe de moindre degré laisse à sa droite tous les autres.

Nous sommes donc conduits, comme dans l'étude des courbes algébriques, à former une ligne polygonale, aux différents côtés de laquelle correspondront des termes de même degré. Que l'on imagine une droite coïncidant d'abord avec Oy et se mouvant parallèlement à elle-même jusqu'à ce qu'elle rencontre un premier point; qu'on la fasse alors tourner autour de ce premier point en diminuant son ordonnée à l'origine jusqu'à ce qu'elle rencontre un deuxième point; qu'on la fasse tourner autour de ce deuxième point dans le même sens jusqu'à ce qu'elle en rencontre un troisième, et ainsi de suite jusqu'à ce que la droite devienne parallèle à O^. On formera ainsi une ligne polygonale dont chaque côté passe par deux ou plusieurs points et laisse tous les autres à sa droite. Chacun des côtés de cette ligne convexe donnera une manière d'établir un groupe de termes permettant de faire la transformation du paragraphe précédent, et l'on aura ainsi les diverses intégrales répondant aux conditions initiales.