Revenons à l'équation

du , ^ , ^

^ -%- = Cp(M, /), o(o. 0) = 0.

Son élude complète se trouve faite dans les deux. Sections précédentes, pour le cas général où, posant

o{u, t) = at -h bu -^ . . . ,

le coefficient b n est pas nul.

Nos théories générales ne s'appliquent pas à ce cas particulier. Nous savons seulement qu'il j a, dans ce cas, une intégrale holomorphe dans le voisinage de ^ ^ o et s'annulant pour ^^ o; son existence se trouve établie par la même analyse que celle qui a été employée dans l'étude des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de t et t^, au cas où b n'était pas nul (on ne considère ici qu'un développement suivant les puissances de t). En désignant par Uq l'intégrale liolomorphe, et posant

Il =± Wo -T- P,

on aura une intégrale de la forme

le terme Ap'"(m^i) étant le terme de moindre degré en ç se rencontrant dans la parenthèse. Pour avoir quelque renseignement sur les intégrales de cette équation, posons

on aura une équation de la forme

. dl ^ , , av ^

6(X, t') étant holomorphe dans le voisinage de ). = o, ç = o, et étant différente de zéro pour ces valeurs de A et v. Ecrivons l'équation précédente

et considérons d'abord l'équation

ç,m-Hi ^ = X ( A + B P -^ . . . + H (;'« )•

L'intégration est immédiate.

Nous aurons

en posant

cp(p) =

Si l'on fait tendre v vers zéro, dans une direction con^^enable, 1. tendra vers zéro. Prenons alors

l'équation à laquelle satisfera (v sera

On aura pour cette équation une intégrale tendant vers une valeur arbitraire Wq^ quand v tend vers zéro dans une direction telle que e~?^^^ tende vers zéro en même temps que ç', ce qui est évidemment possible. Mais on a

Donc t tendra aussi vers zéro, en tournant d'ailleurs, en général, une infinité de fois autour de l'origine. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

L'équation

dt

^-Jl = ?(^'0 [?(o, o) = o],

'sp(?^, t) étant holoniorplie dans le voisinage de u = o, t = o et ne renfermant pas de terme du premier degré en u^ admet une infinité de courbes intégrales se rapprochant indéfiniment de V origine.

10. En faisant la réduction du § 7, nous avons supposé que Pq n'annulait pas à la fois deux polynômes en v. S'il en était ainsi, l'équation entre u et t prendrait, en général, la forme

du au -\-ht -\-. . .

dt a' u -\- b' t -{^

En posant

au -+- bt = wt.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES. Sg

elle devient

C'est là un type d'équations pour lequel se présentent des circonstances toutes différentes de celles que nous avons rencontrées jusqu'ici. Le point f = o est ici, en général, une singularité essentielle, comme le montre l'exemple simple de l'équation

dt

L'équation (6) n admettra pas, en général, dHntégrale holoniorphe ; c'est une circonstance qui mérite d'être signalée, car le calcul des coefficients du développement peut se faire de proche en proche, et cependant le développement n'est pas convergent. 11 suffira, pour prouver cette assertion, de considérer l'équation

» dw

t^—r = aw H- 3;.

dt

Soit

w = Al ^ -f- Ao r2 -4- . . . -h A„ ^« 4- . . . ,

on aura

aAi-}-P = o. A,a = A,, ..., A„a = (/i — i)A„,,

donc

A„a«-i = i.2...(/i — t)Ai;

on a donc la série de terme général

qui ne converge manifestement que pour x ^ o.

Nous n'avons rien à dire de général sur l'équation (6); la singularité ^ = o est, en général, pour cette équation une singularité de nature essentielle , et il y aurait là un important et difficile sujet de recherches.

y désignant un polynôme en -^ - Soit un système de valeurs (^oj^o)

4o CHAPITRE II.

IV. — Équations différentielles du premier ordre non résolues par rapport au coefficient différentiel.

11. Nous avons considéré jusqu'ici des équations différentielles pour lesquelles la dérivée -~ était une fonction uniforme

de X et jK, tout au moins dans le voisinage d'un certain système de valeurs de x et y. Considérons maintenant une équation non résolue

f désignant un polynôme de (^x^y). Si l'équation

admet, pour ^ = ^07 J^ =JKo> une racine simple Yo , on pourra regarder Y comme une fonction uniforme de x et y dans le voisinage de .2" = ^oj JK =JKo7 Gt nous nous trouverons, pour l'étude de l'équation

dy Y

dx ~ '

dans un cas simple : l'intégrale y devenant égale à y^^ pour ^ = ^^ sera une fonction liolomorphe de x dans le voisinage de Xç^ (si Yq est fini); si Yq est infini (simple), pour ^ = 0:0, y ^/o^ l'intégrale devenant égale à y^ pour ^ = jcq a, en ce point, un point critique algébrique.

Supposons, au contraire, que Yq soit une racine multiple d'ordre m de l'équation

/(rro,rojY) = o, les circonstances seront tout autres. Soit

Y = YoH-Y', X^Xq-\-x\ y=y^^y''^

nous avons d'une manière générale, en développant,

ùxç, dy^-^ d\^

toutes les dérivées -^j • • •? ,^,,,^ étant nulles.

Posons

y=YQx'-\-y",

ce qui conduit à la relation Nous avons alors

équation différentielle entre x\ y" et Y'=^- Nous poserons enfin

y" = tx' , x' = X""^,

et, par conséquent, en supposant que

on aura

x" -r-r, = — nit -f- x" o(x", t), dx '

C5(^'', t) étant holomorphe dans le voisinage de ^"= o, ^ = o. Or nous savons que cette équation en t admet une intégrale holomorphe s'annulant pour x^' ■=^ o.

Donc, V intégrale de l'équation (E), prenant pour Xq la valeur y ç^^ sera, en général, une jonction ayant m valeurs autour du point Xq.