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dans des cas plus compliqués, à celles dont nous nous sommes servi au commencement de la Section précédente. Mais nous renverrons, pour ce point, au Mémoire déjà cité de Briot et Bouquet, et nous terminerons ce Chapitre par quelques remarques sur les singularités des intégrales des équations différentielles du premier ordre, ayant pour objet de compléter ce que nous avons déjà dit à ce sujet (t. II, p. 320 et suiv.).

Ajoutons seulement que la racine multiple Yq a été supposée finie; mais, en regardant x comme fonction de j", la discussion précédente trouvera son application.

13. Supposons que le premier membre de (E) soit un polynôme enjK, -^ et même en x (cette dernière hypothèse ne serait

pas indispensable). Cherchons quelles circonstances pourraient nous arrêter quand nous effectuons le prolongement analytique d'une intégrale. Tant que Y ne cesse pas d'être une fonction bien déterminée ayant une valeur (finie ou infinie) pour le système correspondant de valeurs de x et j^, il n'y a aucune difficulté ; l'intégrale y sera une fonction de x qui ne présentera que des pôles ou des points critiques algébriques. Dans le cas où Y cesse d'être une fonction uniforme de ^ et y pour un certain système de valeurs de ces grandeurs, il en est encore de même en général, comme nous venons de le voir au paragraphe précédent. Ceci peut cesser d'être vrai dans des cas particuliers, mais alors les systèmes de valeurs de ^ Q\y devant satisfaire aux trois équations

sont, sauf des cas très particuliers (^), en nombre limité, et les valeurs de (^), pour lesquelles il peut en être ainsi, sont déterminées.

Changeons, dans (E), jk en — , il y aura certains systèmes de valeurs de (^, jk) où y sera nul, et présentant le caractère singulier de satisfaire à la fois à un système de trois équations : nous se-

(') Nous y reviendrons clans le Chapitre suivant, où nous traiterons des solutions singulières.

rons ainsi conduit à considérer un certain nombre de valeurs parfaitement déterminées de x.

Si maintenant nous écartons les diverses valeurs de x sur lesquelles nous venons d'appeler l'attention et que nous pouvons appeler valeurs singulières, nous sommes assuré que toute intégrale prenant en un point X différent de ces points singuliers une valeur déterminée aura en X un point ordinaire, un pôle, ou un point critique algébrique.

On est donc conduit à cet énoncé que, en dehors de certains points qu on peut marquer à V avance^ toute intégrale dUine équation algébrique du premier ordre ne peut avoir comme singularités que des pôles ou des points critiques algébriques.

Ce théorème est fondamental, et Ton s'est souvent borné, pour l'établir, à des raisonnements équivalents à ceux que nous venons de faire. La démonstration manque cependant de rigueur j car on pourrait se demander si un point X, différent des valeurs singulières que nous avons réservées, ne pourrait pas être pour une intégrale un point d'indétermination où cette intégrale ne prendrait pas une valeur déterminée.

Nous avons déjà examiné cette question dans le cas où l'équation est du premier degré en -j-- Gomme je l'ai dit alors (t. Il,

p. 828), c'est M. Painlevé qui a, le premier, approfondi la difficulté qui subsistait. La marche suivie {loc, cit.) pour établir le théorème de M. Painlevé peut se transporter ici sans modification, comme on le voit immédiatement.

Au point X correspondent certaines valeurs de Y

Yi, Y2, ..., YjjL

(parmi lesquelles peut se trouver l'infini) telles que l'intégrale^, prenant pour ^ ^ X une de ces valeurs, ait en X un pôle ou un point critique algébrique; nous avons vu plus haut comment on pourrait obtenir ces valeurs. Il n'y a qu'à répéter alors ce que nous avons dit (t. II, p. 827 et suiv.).

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