I. — Équation du premier ordre
1. Considérons, pour plus de netteté, une équation différentielle algébrique entre x, y et j/,
On envisage une fonction y de ^ satisfaisant à cette équation. Si, pour une valeur de x et la valeur correspondante de y, y est une fonction uniforme et continue de ^ et jk dans le voisinage de ces valeurs, la solution qui nous occupe pourra, dans le voisinage au moins de la valeur considérée de x^ être obtenue par l'application du théorème fondamental relatif à l'existence des intégrales. Mais si, pour l'ensemble des valeurs de x ^\, y correspondant à une solution, y n'est jamais une fonction uniforme et continue de X et y, nous ne pourrons, en appliquant le théorème fondamental, faire dans le voisinage d'aucune valeur de x le développement en série de cette solution. Si une telle solution existe, on la dira une solution singulière.
Ces solutions s'obtiendront en écrivant que l'équation (i), considérée comme équation en y', a une racine multiple. On aura
(') Cette Section n'est que la reproduction d'une Leçon faite en i886 sur ce sujet et reproduite dans mon Cours lithographie (Cours d'Analyse de la Faculté des Sciences, 1886-1887).
donc à éliminer y entre les deux équations
df
On est ainsi conduit à la relation
qui peut se décomposer en plusieurs courbes. Les solutions singulières doivent satisfaire à cette équation. Mais celle-ci ne donnera pas nécessairement des fonctions y de œ satisfaisant à l'équation différentielle; il suffit, pour s'en assurer, de prendre le cas particulier de l'équation
où Q(^, J') est un polynôme arbitraire en x et )•; la fonction définie par l'équation Q(jc, y) = o ne satisfait pas, en général, à l'équation (2).
Nous pouvons donc affirmer que r équation (1) n'a pas, en général, de solution singulière.
2. On pourrait en rester là et se borner à dire qu'il n'j a qu'une vérification à faire; mais la question mérite d'être approfondie, même dans le cas où il n y a pas de solution singulière.
Reprenant l'équation (i) et l'équation
obtenue par l'élimination indiquée, et supposant que la courbe Q^=o ne corresponde pas à une intégrale de l'équation différentielle, ce qui, nous l'avons dit, est le cas général.
Soit X = 0L, J = ? un point arbitraire de la courbe Q == o. Nous allons chercher les intégrales de (1) qui pour x = 7. deviennent égales à 3, et telles que la dérivée correspondante y' soit précisément la racine multiple de l'équation en y' pour ^ = a.
En restant dans la généralité, nous supposons que cette racine multiple est double. L'équation
46 CHAPITRE m.
a alors pour ^ r= a, j^ = ^ une racine double, et deux racines de cette équation se permutent autour de ^ =: a, j^ = p.
La somme et le produit de ces deux racines seront des fonctions uniformes de ^ et jk dans le voisinage de (a, P); y' pourra donc être considéré comme racine d'une équation du second degré dont les coefficients sont liolomorphes dans le voisinage de (a, p). Nous pouvons, par suite, écrire
A, G et B étant des séries ordonnées suivant les puissances de X — oLely — p. Déplus, lafonction y de^ définie parQ(^, y) = 0 et prenant pour x = ol la valeur p annulera identiquement B{x,y), puisque, pour les points de la courbe Q, les deux valeurs de y' doivent être égales.
Nous pouvons, pour abréger l'écriture, supposer a=p = o; on aura alors
B {a:, y) — ax -\- by -r-. . .,
A(^, JK) = A-}-ai^-t-6ijK+
Pour;r=y=o, on ay=A. Cette valeur doit être distincte du coefficient angulaire de la courbe Q =z o à l'origine ; car autrement, comme cette origine est un point arbitraire de la courbe Q, celle-ci satisferait à l'équation différentielle, ce qui est contre l'hypothèse.
Mais nous avons dit qu'on avait B(x, y) ■= o pour tout point de la courbe Q; donc le coefficient angulaire de la tangente à l'origine est donné par — j; nous devons donc supposer
Ceci étant bien compris, posons
y = Xa?'2, X = x'^,
on aura
^'-7-, = — aX -i- 2A -+-2^'2(ai4- ^iX)
( H- G(^'2, lx'^)2x' \/a-T- bX -i-x\.. .). On peut trouver une intégrale de cette équation différentielle
qui, pour ^'= G, prend la valeur A; car le second membre est une fonction holomorphe de x' et À dans le voisinage de ^'= o, À = A (puisque a-h^A^^o); de plus, il s'annule pour ces valeurs. L'équation (3) rentre donc dans le type de celles que nous avons étudiées (Chap. II, § 2); le coefficient h^ qui jouait le rôle essentiel, est ici égal à — 2. Nous avons donc une intégrale holomorphe de cette équation prenant pour ^'=0 la valeur A, soit
X = A ^ /) a?' -f- qx'^-r-. . -.
Donc on aura
J' = \x -r-px^ -h^ . ..
En employant le langage géométrique, on voit que le point ^ = o, j' = o est un point de rebroussement pour cette intégrale ; d'où cet important théorème :
La courbe Q = o {qui est supposée ne pas satisfaire à U équation différentielle) est, en général, le lieu des points de re~
broussement des courbes intégrales (*).
3. Attachons-nous maintenant au cas où il v aurait des solutions singulières. Ces solutions proviennent de l'élimination àe y' entre les équations
Lagrange a remarqué qu'à ces deux équations on doit en adjoindre une troisième, obtenue en différentiant la première et tenant compte de la seconde
àf àf ,
Ox dy "^
Ainsi, la solution singulière devra satisfaire aux trois équations
r/ 'X àf df df ,
(') On trouvera une démonstration géométrique de ce théorème dans un Mémoire tout à fait fondamental de M. Darboux sur cette théorie des solutions singulières des équations différentielles du premier ordre {Bulletin des Sciences mathématiques, 1878).
Ces trois équations, considérées comme équations en y'^ ne pourront pas, en général, être vérifiées pour une succession de valeurs de œ et y correspondant à une courbe. Une condition nécessaire pour l'existence des solutions singulières est donc qu'il y ait une succession de valeurs de œ et y correspondant à une courbe V{x,y) =■ o, pour lesquelles les trois équations aient une solution commune. Cette courbe pourra constituer une partie de la courbe Q(^,jk) = o précédemment considérée. D'ailleurs, l'équation P(^, y) = o donnera certainement une solution singulière, si — - n'est pas identiquement nul pour la valeur y de x tirée de l'équation P =: o. Soient, en effet, les trois équations
qui ont une solution commune en A, si V{x,y) = o. Cette solution commune peut être considérée comme fonction de ^; en différentiant la première, on aura
dx dy dx et, par suite,
ôy \ dx) ~ ^'
On a donc, si j- n'est pas nul identiquement quand on remplace y et A par leur valeur en fonction de jt,
dx
ce qui montre que lafonctiony de ^ tirée de l'équation V{x^y) = o satisfait à l'équation différentielle
4. Nous avons tout à l'heure cherché les solutions de (i) qui, pour x = oL, devenaient égales à [3 quand (a, p) était sur la courbe Q, cette courbe n'étant pas une courb'e intégrale.
Proposons-nous maintenant la même question en supposant, au contraire, qu'il existe une solution singulière P(^,j^)= o. Soit
(a, ^) un point arbitraire de celte courbe. Nous allons chercher les intégrales de l'équation différentielle proposée qui, pour :c = a, prennent la valeur |3.
Parmi ces intégrales, il y a, bien entendu, la fonction algébrique y^ , définie par l'équation
et pouvant être développée suivant les puissances de ^ — a. Nous allons voir qu'outre cette solution il y a une seconde solution. Reprenons, à cet effet, l'équation différentielle sous la forme
^=A(^,j.)-i-G(.r,j)v/BÛTy).
Gomme nous supposons que y, est une solution singulière, on aura à la fois
Posons l'équation deviendra
-^ = z o^{x) -t- ^2 cp2(.r) -^. ..^C{x,yi -^ z)\/z <h^{x) -^ z'- ^i{x)^. . . :
les fonctions 'j et -l sont des séries ordonnées suivant les puissances de X — a, et ^i(^), en général, ne s'annule pas pour x^ a. Nous avons à étudier les intégrales de cette équation en :;, s'annulant pour a) = a. Il y a évidemment la solution ^ = o. Posant alors
z = z'-^, on aura l'équation
^ d^ = - '^^('^)-^ ^''?^'(^) -^- - -^ ^ (^. ri + -') v/^i(^)4-^'2.].2(^)-+-....
Dans le voisinage de ^ = a, z' = o, le second membre est holomorphe, puisque t!;, (a) ^ o; on fixera d'ailleurs arbitrairement le signe du radical. Cette équation donnera, d'après le théorème fondamental, ^' en série ordonnée suivant les puissances de JC — a, et l'on aura
z = a{x — ay^-h b{x — oLy -h
5o CHAPITRE III.
Il est clair que les deux déterminations du radical donnent, pour 5', des valeurs égales et de signes contraires, par suite, une même valeur pour z. Nous avons donc la solution non singulière
et il est évident que la courbe P^x^y) = o est tangente au point (a, P) à la courbe représentée par la dernière équation; d'où ce théorème :
Quand il existe une solution singulière, elle est tangente en chacun de ses points à une solution non singulière.
Ce théorème peut encore s'énoncer, sous forme géométrique, de la manière suivante :
La solution singulière, quand elle existe, est V enveloppe des courbes intégrales.
0. Dans cette question des solutions singulières, on s'est longtemps placé, a priori, au point de vue de la théorie des enveloppes. Partant de la conception de l'intégrale générale
F(a7, jK, G) = o,
Lagrange remarque que cette famille de courbes, dépendant d'un paramètre arbitraire a une enveloppe, et puisque l'enveloppe est tangente à chacune des enveloppées, cette enveloppe satisfera, comme les enveloppées, à l'équation différentielle
Il semblerait donc, à ce point de vue, et c'était l'opinion de Lagrange, que les équations du premier ordre ont, en général, des solutions singulières; ce résultat est tout à fait opposé à ce que nous avons dit plus haut.
L'explication de cette contradiction est facile. A une équation différentielle arbitraire/(^, y, y) = o ne correspond pas, comme intégrale générale, une famille de courbes
¥{x,y,C) = o à laquelle on puisse appliquer la théorie des enveloppes; je veux
SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Oï
dire que Fenveloppe donnée par la théorie classique ne sera pas en chacun de ses points tangente à une enveloppée, mais sera un lieu de points singuliers. Il peut paraître étrange au premier abord qu'à une équation différentielle arbitraire corresponde une famille de courbes jouissant, au point de vue de la théorie des enveloppes, de propriétés spéciales, tandis qu'à une famille arbitraire de courbes, pour laquelle on pourra appliquer la théorie des enveloppes, correspondra une équation différentielle spéciale, qui aura une solution singulière. Mais, comme le remarque Glebsch, ceci n'est pas plus étonnant que le fait auquel nous sommes si habitués relativement aux coordonnées ponctuelles et tangentielles. Nous savons en effet qu'une courbe générale en coordonnées ponctuelles a des singularités tangentielles, et inversement une courbe générale en coordonnées tangentielles a des singularités ponctuelles.
6. Indiquons un exemple des théorèmes généraux démontrés plus haut. Soit l'équation
y — ixy—y^-= o :
les trois équations du § 3 sont ici
Ces trois équations n'ont de solution commune en y' que pour X =y = o. Il n'y a donc pas de solution singulière. En éliminant r^ entre les deux premières, il vient
Q(cr, y) =y -{- x^- = o.
La théorie générale (§ 2) nous apprend que la courbe
est le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales. Dans le cas actuel, l'intégration complète est facile à effectuer, l'équation étant de celles qui s'intègrent par différentiation. On trouve ainsi pour intégrale générale
{3xy^2x^-~Cy-—fi{y-^x^-y = o,
et l'on voit bien que jk + «^" = ^ est le lieu des points de rebroussement des courbes intéerrales.
