II . — Systèmes d'équations simultanées

7. L'analyse développée dans la Section précédente s'étend d'elle-même à un système d'équations simultanées du premier ordre. Considérons le système de m équations

les / étant des polynômes. Les dérivées -^j •••j -y^ "^o^^t des

fonctions algébriques de x^ j< , j'2, ..., ym\ elles peuvent donc, d'après un théorème élémentaire d'Algèbre, se mettre sous la forme

-^ = R,„(^,JKi, ..., J-„o-)»

les R étant rationnelles en ^, j,, . . ., y m et ^. Quant à ^, il représente une irrationnelle, fonction algébrique de ^, /,, y^, • • -, yjn^ définie par une équation algébrique

(()) /(^, 71,^2. .... JK ,„,-) = o-

8. Envisageons ce que nous avons appelé précédemment une courbe intégrale, c'est-à-dire un ensemble de valeurs de x^y^^ y-i^ '"^ym satisfaisant aux équations différentielles. Si pour tout point {x^ y^^y^^ " '^ ym) de cette courbe intégrale, la valeur correspondante de z tirée de l'équation (6) est une racine multiple de cette équation, de telle sorte que z cesse d'être une fonc-

tion uniforme des m -h i lettres, dont il est fonction algébrique, dans le voisinage de ce point, la solution considérée ne pourra pas être obtenue par l'application du théorème fondamental relatif à l'existence des intégrales; nous la dirons une solution singulière,

11 est clair qu'ici, comme dans le cas d'une seule équation, il n'y aura pas en général de solution singulière. Pour avoir une solution singulière, on devra d'abord évidemment éliminera entre les deux équations

on obtient ainsi une relation

C'est une certaine surface sur laquelle doit se trouver la courbe intégrale singulière. On aura alors à chercher si l'on peut satisfaire simultanément aux équations (4) et (7). Plusieurs circonstances pourront se présenter. L'élimination d'une des fonctions, y m par exemple, entre (4) et (7) conduira à un système de ni équations km — i fonctions jj', , . . ., ym-\

dvi dym^i \

dx dx )

?i \x, Yu

et ces m équations seront en général incompatibles. De simples dérivations et éliminations permettront de reconnaître si ces équations sont ou non compatibles, et quel est le degré de généralité des solutions communes. Celles-ci pourront, suivant les cas, être complètement déterminées ou dépendre d'une, deux, ... ou m — I constantes arbitraires. Si les solutions ne sont pas complètement déterminées, elles seront données par un système d'équations différentielles.

9. Examinons d'abord le cas où il n'y aurait pas de solution singulière; nous prenons un point arbitraire (a, a,, . . . , a^j) sur la surface

et nous allons chercher les courbes intégrales passant par ce point. Nous n'avons qu'à raisonner comme dans la Section précédente. En supposant, pour rester dans la généralité, que la racine correspondante z soit une racine double, nous aurons pour z une expression de la forme

et nous aurons par suite

-^ = A2(a7,jKi, . . •,JKm)-f- C^ix.yi, ...,y,n)\/B{x,yi, ...,y,n), dy

dx

= A,;,(^,7i, . .., j,„) + G,„(a^,7i, .. ., j^„0/B(a7, jK), ...,7;«j,

les A, les G et B étant des fonctions holomorphes de ^, j^i, . . ., y m dans le voisinage de a, ai, . . ., a,,^. De plus, on a nécessairement B(^, j)/,, . . ., ym) = o pour tout point de la surface Q =; o voisin de (a, a,, ..., ol„i). Nous pouvons, pour simplifier l'écriture, supposer y.z=:y.^=...=: cLfu = o ; on aura alors

AK^, 7i, •••,7/«) = ^i-\- àix -{- auyi-h a.2iy2-^. ' --\- amiym-^- ■ • {1 = 1, 2, ..., m),

B{x,yi, .... j,/0 = kx-h /mJ^i + . . • + /o«r/« + - • •• Pour œ =^y\ = . . . =^ym = o, on a

On devra avoir

A^ + /il Al -F /C2 A2 + . . . -f- k,n k,n 9^ O ;

dans le cas contraire, en effet, le point considéré étant un point arbitraire de Q := o, on aurait l'identité

vérifiée pour tout système de valeurs de x^ y^^ -", ym satisfaisant à l'équation Q = o ou, ce qui revient au même, à l'équation

B = o. Les équations différentielles

en prenant pour système de valeurs initiales un point de la surface Q, donneraient alors une courbe intégrale située sur cette surface; pour le voir bien nettement, il suffit de prendre les m équations

-^ =\i{x,yi. ...,7m),

B(^, ji, ...,7;„) = o.

Une intégrale est complètement déterminée par le système indiqué de valeurs initiales, et l'identité (8) montre que l'on aura

dVm K / \

-j- = km{0C,yu -"^ym)-