Nous n'avons plus maintenant qu'à poser

X=X'-, JKl=)^l^'^ J'2=X2^'2, ..., y„, = l„iX'^.

Le système d'équations différentielles devient

X —i— = — 2 A -^ 2 Aj -f- . . ,

-+-G/(a:'2,Xi^'2,...,X,„rr'2).22:VA--r-/MXi-T-... + A-,„X,„-h^'( ) (i = i,2,...,m).

Il y aura un système d'intégrales holomorphes prenant respectivement les valeurs A,, Ao, . . ., A;„. Il en résulte les intégrales

A JKl = Al X-\-pi X^-r-...,

ym= ^m^-^Pm^^-^

On voit donc que Von obtient une courbe intégrale présentant un rebroussenient au point considéré de la surface Q. C'est le résultat que nous avions obtenu clans le cas d'une seule équation.

11. Supposons maintenant qu'il y ait une solution singulière. Nous transformerons d'abord les équations en posant

d'oii l'on tirera jKm en fonction holomorphe de x^ y^^y.2, . . .^ y„i^ et z^ dans le voisinage des valeurs zéi'o. Les équations deviennent

-^ = D/ (^,7i,...,jKm-i,-) + E/(^,jKi, ...,7,„-i,^)v/^, {i=i,i,...,ni—\), — = D,n{x,yu ...,jK,„-i, z)-{-E,n{a;,yu ...,y,„i, z) ^,

les D et E étant des fonctions holomorphes de œ, y^^ . . ., ym-\^ z dans le voisinage des valeurs zéro de ces grandeurs.

Différents cas peuvent se présenter; si la fonction T)ni s'annule identiquement pour i; = o, on voit que l'on pourra satisfaire aux équations en faisant ^ == o et en prenant pour les y des intégrales du système

-^ =D/(a7,jKi,...,7,«-i,o), (ir= 1,2, ..., 7n — \).

Nous sommes alors dans le cas où l'intégrale singulière dépend àe m — I constantes arbitraires. Considérons une de ces intégrales singulières, celle, par exemple, qui correspond pour ^ =:r o à

Nous allons chercher s'il y a une autre intégrale de (9) prenant pour X =^ o ces mêmes valeurs. Ecrivons de nouveau les équations

Or, il suffît de poser z =^ z'- pour avoir un système qui se pré-

sente sous la forme ordinaire. Nous obtenons donc un système d'intégrales autre que le système considéré d'intégrales singulières, prenant les mêmes valeurs initiales, et il est manifeste que, pour l'un et l'autre de ces systèmes, les dérivées de premier ordre ont les mêmes valeurs initiales : nous pouvons donc dire que l'on a une courbe intés'rale tangente à la solution sins^ulière.

12. Nous avons supposé, dans le paragraphe précédent, que T>„iix,yi, ...,^,„i,o) était identiquement nul. S'il n'en est pas ainsi, nous poserons

On pourra tirer de là, en général, j^„j, en fonction holomorphe de ^, j^,, . . ., jKw 2j if-, et le système prendra la forme

'^ = Ai(a7,jKi,...,JKm-2, u,z)-^Zi{x,yi, ...,y,n-2, u,z)s/z, (t=i,2, . ..,m — 2),

^ = ^m-i{x,y^, . ..,y,n-2, If, z)-{- £,„i(^,7,, . . . ,7m-2, u, -) /^,

les 'l étant holomorphes en ^, jj^o • • • )JKm-2- Supposons que Ton ait

A,,,i(a7,JKl' ...,7,„2, o, o)

identiquement nul. Les deux dernières équations seront vérifiées pour u^=zo, 3 = 0; quant aux j', ils seront déterminés par le système

-^ = \i(x,yi,...,y,n-2,o,o) (î 3= 1,2,..., m — 2),

et l'on aura, dans ce cas, des solutions singulières dépendant de 7n — 2 constantes arbitraires. Prenons l'une de ces solutions; on peut toujours supposer que c'est la solution correspondant aux valeurs initiales zéro. Posons

z = Z'\ Il = ixz',

et considérons x, jKi « • • -, JKm 2j [^ comme £»g§ÇÇ^

UNIVER

aura

I dx I

2 dz' 4^1 z' 4- ^|;2l^ -+-•••+ e/«(^,. .-, !J-s',-'^)

dz' ^1^'+ ^2 !-«•+•.•-+-£//:( 37, ..., [JLZ', ^'2) '

dz' ~ ^"

les yj étant holomorphes dans le voisinage de

^^ =yi = .. . = y,n-2 =z ix = z'=o.

Nous supposons, pour prendre le cas le plus général, que e,n ne s'annule pas pour les valeurs zéro des lettres dont il dépend. L'étude des équations précédentes ne présente alors aucune difficulté ; le coefficient de [jl dans la seconde équation, étant égal à — i , est négatif ; nous aurons un système d'intégrales^, V-iXi^y^, •••? ym-2-, fonctions homolorplies de z' et s'annulant pour z' = o. En revenant aux équations primitives, nous aurons donc une intégrale tangente à la solution singulière. Le contact des deux solutions est évident, puisque les dérivées du premier ordre ont les mêmes valeurs initiales pour l'une et pour l'autre.

13. On peut continuer de la même façon dans le cas où les solutions singulières dépendraient àe m — 2, m — 3, ... ou zéro constantes arbitraires. La conclusion est toujours la même :

Si Von prend un point arbitraire sur une courbe intégrale singulière, on pourra., en général, faire passer par ce point une seconde courbe intégrale non singulière et tangente à la, première.

Le cas extrême où il j aurait une seule solution singulière ne dépendant pas d'une constante arbitraire sera celui des équations (en nous bornant à deux équations)

du dx "

..-^zi{x, u,v) s/v,

es a, ,3, a', ^3', . . • étant des singulière est ici donnée par

les a, ,3, a', '^'^ ... étant des fonctions de x] la seule solution

14. Nous avons vu que, dans le cas du plan, la théorie des solutions singulières se rattache à la théorie des enveloppes. Il en est de même pour un espace à un nombre quelconque de dimensions. Nous nous contenterons de considérer le cas de trois dimensions. M. Goursat(^) a montré, comme il suit, comment la théorie des solutions singulières se rattachait à la théorie des congruences de courbes. Prenons la famille de courbes

dépendant des deux constantes arbitraires a et b. En considérant y et ^ comme des fonctions de x, on définit ainsi un système de fonctions jK et ^ de ^ satisfaisant à deux équations différentielles

Rappelons les points fondamentaux de la théorie des congruences de courbes. On cherche d'abord à déterminer b en fonction de cij soit

de façon que la famille de courbes

f[T,y,z,a,lia)] = o,

ait une enveloppe. On sait qu'il faut et suffit pour cela que les quatre équations (lo) et (i i)

do ào ^

da Ob ^ ^

(») E. GouRSAT, Sur la théorie des solutions singulières des équations différentielles simultanées {American Journal of Mathematics, t. XI).

6o CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES.

aient une solution commune en x^ y et z^ quel que soit a. L'élimination de x^ y, z entre ces quatre équations conduit à une

relation

y [a, X(rt), V{a)] = o;

la fonction X (a) est donc donnée par une équation différentielle du premier ordre. Chaque courbe de la congruence appartient donc à une ou plusieurs familles de courbes de cette même congruence qui dépendent d'un paramètre arbitraire et ont une enveloppe. Désignons, d'une manière générale, par F ces courbes enveloppes. Celles-ci seront nécessairement situées sur la surface définie par les trois équations

f{x,y,z,a, b) = o, ? (37,7, ^, a, 6) = o, df do âf do ôa Ob ôb da '

comme on le voit, en éliminant V (a) entre les équations (ii). Cette surface s'appelle la surface focale de la congruence^ et toute courbe de la congruence est tangente aux différentes nappes de cette surface focale.

L'ensemble des courbes F est évidemment donné par une équation différentielle du premier ordre, puisque ces courbes sont données par les équations (lo) et (i i), et l'équation y= o. Or, considérons une courbe F et un point arbitraire sur cette courbe ; par ce point, passe une courbe de la congruence C tangente à F. En considérant doncjK et ^ comme fonctions de x^ pour l'une et l'autre de ces deux courbes, on peut dire que pour elles

dy dz ' dx dx

ont les mêmes valeurs aux points considérés. Nous en concluons que les courbes F satisfont aux équations différentielles E.

En général, les courbes F n'appartiendront pas à la congruence; elles seront les solutions singulières du système (E).

SUR CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIOS DIFFÉRENTIELLES. 6f