I. — Equations de Briot et Bouquet

1. Dans un de leurs Mémoires sur les équations différentielles ('), Briot et Bouquet ont considéré les équations de la forme

y* étant un polynôme, et ont cherché dans quels cas l'intégrale de cette équation est une fonction uniforme de z.

Nous allons suivre une tout autre voie que Briot et Bouquet et nous allons démontrer a priori le théorème suivant, déduit par M. Hermite (-) des recherches de Briot et Bouquet.

Quand V intégrale de V équation précédente est uniforme^ le genre de la courbe

est nécessairement égal à zéro ou à l'unité.

J'ai déjà indiqué la méthode que je vais suivre, dans mon Mémoire : Sur les fonctions algébricjues de deux variables indépendantes {^)^ en l'appliquant aux équations différentielles du

(') Briot et Bouquet, Intégrations des équations différentielles au moyen des fonctions elliptiques {Journal de l'École Polytechnique, t. XXI). (^) Hermite, Cours lithographie de l'École Polytechnique, 1873. (^) Journal de Mathématiques, 1889.

second ordre qui ne renferment pas explicitement la variable indépendante. JNous allons nous appuyer sur les théorèmes généraux relatifs aux courbes algébriques démontrés dans le tome II; j'ai seulement une remarque à ajouter.

2. Nous avons étudié les transformations birationnelles d'une courbe en une autre ou d'une courbe en elle-même. Soient deux courbes algébriques

On peut concevoir qu'il existe, entre les points {œ^ y) et (X, Y) de ces deux courbes ou des surfaces de Riemann correspondantes, une transformation hiuniforme, c'est-à-dire telle qu'à un point arbitraire (^, y) de la première ne corresponde qu'un point (X, Y) de la seconde et inversement. On suppose que cette transformation biuniforme n'ait d'autres singularités possibles que des points essentiels isolés. Il est facile de voir que, dans ces conditions, la transformation biuniforme sera nécessairement birationnelle.

Supposons, en effet, que la transformation ait un point singulier essentiel ; soit x ^=a^ y ^ b muIqX point, qu'on peut toujours supposer un point ordinaire de la surface de Riemann. Alors X et Y seront des fonctions uniformes de x dans le voisinage de X ^= <7, ce point étant un point singulier essentiel pour ces fonctions : soient

A une valeur arbitraire de X correspond, dans le voisinage de X ^= a^ une infinité de racines de l'équation

d'après un théorème que nous avons énoncé (t. II, p. 121); pour ces racines la fonction 'h{x) ne pourra avoir qu'un nombre limité de valeurs, celles qui correspondent à l'équation

Donc, à un point arbitraire (X, Y) de la courbe F se trouve correspondre une infinité de points {x^y) de la première dans le voisinage àe x ^^a, y = b\ la substitution ne serait donc pas biuniforme, et le théorème est par suite démontré.

SUR CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIOXS DIFFÉRENTIELLES. 63

Nous pouvons remarquer que le théorème précédent ne subsiste pas pouj^ deux surfaces algébriques. Entre les points de deux surfaces on peut avoir une correspondance biuniforme qui ne soit pas biralionnelle. Il suffît pour s'en assurer de prendre la correspondance

qui est biuniforme, mais non birationnelle.