Reprenons maintenant l'équation
dont l'intégrale, par hypothèse, est une fonction uniforme de z. Désignons par U et U' ce que deviennent u et u' quand on remplace z par z -h A, h étant une constante quelconque.
Il est facile de voir qu'à une valeur (;/, u') ne correspond qu'une valeur de (U, U') et inversement. En effet, une intégrale est complètement déterminée si l'on se donne sa valeur et celle de sa dérivée en un point ^, valeurs liées nécessairement par la relation fz= o; cette intégrale sera donc déterminée au point z -+- A, et il est manifeste, d'après la formule de Tajlor, que U et U' ne dépendent que de u et u' et h et nullement de z. Nous pouvons donc dire que la courbe
admet une transformation biuniforme en elle-même, dépendant d'un paramètre arbitraire h. Les seuls couples (z^, u!\ auxquels pourraient correspondre plus d'un point (U, U'), sont les valeurs de (w, u!) qui donnent les points de ramification ou les points singuliers de/*; ce sont des points isolés qui pourraient être des singularités essentielles pour la transformation biuniforme ; mais nous venons de voir au paragraphe précédent que cette circonstance ne peut se présenter. Nous arrivons donc à la conclusion suivante : la courbe f admet une transformation birationnelle en elle-même dépendant d^ un paramètre arbitraire h. Il en résulte, d'après le théorème de M. Schwarz (t. II, p. 43"), que la courbe f est du genre zéro ou du genre un.
4. Le résultat que nous venons d'établir a priori permet de se rendre compte bien facilement de la nature des fonctions uniformes de z satisfaisant à l'équation différentielle
Supposons d'abord que cette relation algébrique soit de genre zéro. Nous pourrons poser
Il et R, étant rationnelles, et de telle sorte que ô soit une fonction rationnelle de u et -7^ (t. II, p. 499)7 et, par suite, fonction uniforme de :;.
En dérivant la valeur de u et l'égalant à la valeur donnée par la seconde ligne, nous sommes amené à l'équation
cp(8) étant une fonction rationnelle de 0, et nous avons à chercher dans quels cas une telle équation peut donner pour Q une fonction uniforme de ;:;.
11 est d'abord évident que cp(9) devra être un polynôme; sinon Q deviendrait inhuie pour une certaine valeur a et l'intégrale de l'équation devenant, pour une valeur arbitraire d'ailleurs ^oj égale à a, aurait en z^ un point critique algébrique (t. II, p. 824) et, par suite, ne serait pas uniforme. Pour la même raison, en changeant 8 en ^j on voit que le degré du polynôme cp(9) ne peut surpasser deux; sinon, dans l'équation en 6', l'intégrale devenant nulle pour ^0 aurait en ce point un point critique algébrique. On a donc
dz
ce qui donne immédiatement pour 8, soit une fonction linéaire de e^^, k étant une constante, soit une fonction linéaire de z. Nous arrivons donc à la conclusion suivante : quand la courbe f est
SLR CERTALNES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 65
du genre zéro, la fonction u supposée uniforme ne peut être qu^ une fonction rationnelle de z ou une fonction rationnelle de e''--.
o. Examinons maintenant le cas où la courbe
f{u,u') = est de genre un. Soit
R(m, u') du
rintégrale de première espèce relative à cette courbe. Nous avons dit qu'une certaine transformation birationnelle contenant un paramètre arbitraire h transforme en elle-même la courbe /. On a ainsi la transformation
U'='l'i(u,u'Ji),
U et U' étant ce que deviennent u et a' quand remplace z par 3 + h. On aura nécessairement
B.(u, u') du = \.R{\J,l]' d
la transformation birationnelle devant nécessairement transformer une intégrale de première espèce en elle-même un facteur près. A priori K peut dépendre de A; mais, comme nous l'avons vu d'une manière plus générale (t. Il, p. 43;), il n'en dépend pas, et, puisque, pour h = o,
A est nécessairement égal à un. Nous avons donc R{u, u ) du = K{\] ,\j') d\] ,
et, par suite,
dz "^ ' ^ ' d^z-i- h
Il résulte de cette égalité que la fonction de z
r. / , du R{u, u') —
ne change pas quand on change ^ en ^ + h^ h étant une constante arbitraire; il faut donc qu'elle ne dépende pas de z et nous
avons
^ . ,^ du
a étant une constante. Ainsi
R(w, u) du = az.
La fonction u s'obtient donc par l'inversion d'une intégrale de première espèce relative à une courbe de genre un. Elle est une fonction doublement périodique de z.
6. En résumé, nous avons étudié tous les cas qui peuvent se présenter pour l'équation de Briot et Bouquet
J du\
Quand V intégrale de cette équation est uniforme, cette fonction uniforme ne peut être qu' une fonction doublement périodique de 5, ou une fonction rationnelle de e^^ {k étant une constante), ou une fonction rationnelle de z.
