II. — Généralisation des équations de Briot et Bouquet
7. Le problème de Briot et Bouquet peut se poser sous une autre forme qui va nous conduire à une généralisation intéressante. Si nous reprenons l'équation
f{u, u') = o, nous aurons
Le premier membre est une intégrale abélienne relative à la courbe/, et l'on a à considérer les cas où l'inversion précédente donne pour u el u' des fonctions uniformes de z. On peut donc d'une manière plus générale prendre une courbe algébrique
fix,y) = o,
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et se demander si l'on peut trouver une intégrale abélienne convenable
telle que l'équation
J/>(.r,y) f R{x,y)dx=u
(•r,y) (Xo,yo)
donne pour x et y des fonctions uniformes de u.
8. C'est la question qui vient d'être posée que nous allons généraliser. Envisageons à cet effet les expressions de la forme
,y)dx
(i) u = f e^ dx,
\{x^y) étant une fonction rationnelle des variables x et j^ liées par la relation
et en supposant de plus que la fonction u n'ait sur la surface de Rieniann que des pôles ou des infinis logarithmiques, de telle sorte que les singularités de u soient absolument de même nature que celles des intégrales abéliennes attachées à la courbe /*(').
Nous allons chercher (=^) dans quels cas l' inversion de l'expression (1) peut donner pour x et y des fonctions uniformes de u et quelle sera la nature de ces fonctions uniformes. La conclusion de notre recherche va être que la courbe f doit être nécessairement de genre zéro ou un et les fonctions uniformes de u se ramènent aux fonctions doublement périodiques ou à leurs dégénérescences.
Je tiens à rappeler que M. Appell faisait, en même temps que moi, une étude approfondie des expressions (i) dans son grand Mémoire sur les fonctions à multiplicateurs {Acta mathematica, t. XIII) sans toutefois se poser le problème qui nous occupe ici.
(') Nous nous placerons au § 16 dans un cas plus général.
(*) J'ai fait pour la première fois cette recherche dans le Chapitre VI (§ 1, 2, 3, 5, 6) de mon Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables; je suis revenu sur ce sujet dans V American Jouriml of Mathematics (Vol. XVI, n« 1).
9, Commençons par faire l'étude des expressions u définies plus haut, en la réduisant à ce qui sera indispensable pour notre démonstration. Nous supposerons, comme d'habitude, que la courbe /n'a que des points doubles et a ses directions asymptotiques distinctes; m désignera son degré.
L'expression u peut avoir des pôles et des infinis logarithmiques. Il est évidemment permis de supposer que ces points ne se trouvent ni à l'infini, ni en un point de ramification de la surface de Riemann correspondant à la fonction algébrique jk de x^ car il est possible d'efi'ectuer préalablement une transformation birationnelle convenable pour éviter ces circonstances.
Gela dit, envisageons les infinis de à(^, jk). Soit d'abord (a, h) un infini qui ne soit pas un point de ramification. Le point a sera un pôle de X(^, y), et son résidu devra être un entier positif ou négatif, pour que le point a soit un point ordinaire, un pôle, ou un infini logarithmique de la fonction u. Ce pôle ne pourra d'ailleurs être qu'un pôle simple, sinon la fonction u aurait en ce point une singularité essentielle. Désignons par k le nombre des points (a, h) et appelons
«1, a,, ..., ayt
les résidus (entiers positifs ou négatifs) correspondant à ces différents points.
Considérons maintenant un point de ramification (^i, jKi) de la surface de Riemann, rendant a infini. On a
r-Ji
Ws/x — x^-A-... (H^o).
Donc \ {x, y) se développera suivant les puissances de {x — x^ )-, et pour que le point [x^^y^) de la surface de Riemann soit un point ordinaire pour u, on doit avoir pour \[x^y) le développement
Al étant de la forme — , ^\ étant un entier au moins égal à — i
(t. II, p. 383).
Il nous reste à parler des points à l'infini qui sont, par hypothèse, comme les précédents, des points ordinaires pour u. Sur
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un quelconque des m feuillets, nous devrons avoir, pour x très grand, un développement de la forme
R étant un entier au plus égal à — 2. Pour chaque feuillet, on aura un nombre R.
Ainsi nous avons trois catégories d'entiers
a, II, R.
Gomme il est bien connu, on a entre eux la relation
(2) 2a4-3:tjL = 2R,]
en écrivant que
\{x,y)dx = o,
l'intégrale étant prise le long du contour fermé rendant la surface simplement connexe, contour classique dans la théorie des surfaces de Riemann (t. TI, p. 385).
10. Les expressions u^ que nous étudions, se partagent naturellement en fonctions de première espèce, de seconde espèce et de troisième espèce. Les fonctions de première espèce restent toujours finies, celles de seconde espèce n'ont sur la surface de Riemann d'autres infinis que des pôles, enfin il j a des infinis logarithmiques pour les fonctions de troisième espèce.
On voit immédiatement à quelles conditions l'expression (i) sera une fonction de première espèce. Tous les entiers a doivent être positifs, afin que le point (a, b) ne soit pas un pôle ou un infini logarithmique.
11. Nous pouvons maintenant aborder la démonstration du théorème énoncé. On va donc supposer que l'inversion de l'expression (i) donne pour ^ etjK des fonctions uniformes de u^ et Von veut démontrer que la courbe sera du genre zéro ou du genre un.
