Ecrivons de nouveau la relation

Supposons d^ abord que le premier membre soit une fonction de première espèce. Il est immédiat qu'il ne peut y avoir pour A(^,jk) de pôles (a, 6), car le développement de u suivant les puissances croissantes {x — a) est de la forme

u = Uo-\- C (x — a)^-*"i -h. . .

et l'inversion ne peut conduire à une fonction uniforme que si a = o. Tous les nombres a sont donc nuls, et l'on a alors, d'après la relation (2),

(3) S|jL^SR.

Passons maintenant aux points {Xi , y^ ). Commey — jki et jt — x^ doivent être des fonctions uniformes de w, il en sera de même de \jx — Xx, et il en résulte de suite que tous les a doivent être égaux à — I. Ainsi le nombre \k correspondant à chacun des points de ramification doit être égal à — i .

Il ne nous reste plus qu'à considérer les points à l'infini. On voit encore immédiatement que tous les R doivent avoir la valeur — 2.

Ainsi nous avons

S ;j. = — [ni {m — i ) — ici], en désignant par d le nombre des points doubles de /, et de plus

La relation (3) donne donc

La courbe sera par suite du genre un^ comme nous voulions l'établir.

Allons plus loin, en cherchant quelle sera la forme de l'expression u. Soient \{x^y) et X, {x, y) deux fonctions rationnelles, conduisant à une expression u^ qui satisfassent aux conditions que nous venons de trouver. La différence

[l{T,y) — li{x,y)]dx

SUR CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 71

sera une intégrale abélienne n'ayant pas d'infinis; elle se réduira donc à une intégrale de première espèce. Ainsi, quand on aura une fonction \{x.,y) satisfaisant aux conditions requises^ on les obtiendra toutes bien facilement. Or, appelons v l'intégrale de première espèce de la courbe /de genre un] l'intégrale v est une expression ?/, car on peut poser

Une forme particulière de A(x,y) sera donc -, , et sa forme générale sera par suite

a étant une constante, et l'on a comme forme générale de u :

Il en résulte que a se réduit, soit à l'intégrale de première espèce (pour a = o), soit à

abstraction faite d'un facteur constant sans intérêt. Les fonctions inverses sont donc, soit des fonctions doublement périodicjues de u^ soit des fonctions doublement périodiques de la combinaison linéaire

A et B étant des constantes.

13. Nous avons supposé que u était de première espèce. Supposons-la maintenant de seconde espèce. Nous allons montrer d'abord qu'elle ne peut avoir qu'un seul pôle. Supposons en effet que u ait sur la surface de Riemann deux pôles A et A'. Quand {x. y) s'approche de A, u augmente indéfiniment et inversement; aux valeurs de u, d'un module suffisamment grand, correspond uniformément un certain domaine autour de A. Allons de A en A' par un chemin déterminé, d'ailleurs quelconque; u augmentera indéfiniment quand {x^y) se rapprochera de A', et aux valeurs de u d'un module suffisamment grand correspondra uniformément

un certain domaine autour de A'. A une même valeur de u suffisamment grande correspondront ainsi deux valeurs de (^, j^), l'une dans le voisinage de A, l'autre dans le voisinage de A', et il est clair qu'on pourra passer de l'une à l'autre en faisant décrire à u un chemin convenable dans son plan, chemin qui correspondra au déplacement de (^, y) depuis la première valeur jusqu'à la seconde sans s'éloigner du chemin déterminé tracé plus haut entre A et A'. L'inversion ne donnera donc pas, pour x et jk, des fonctions uniformes de u si l'expression (i) a plus d'un pôle.

Le pôle unique est nécessairement compris parmi les points (a, 6), et l'inversion ne peut être uniforme que si la valeur de a correspondante est égale à — 2. L'inversion uniforme exige aussi qu'il n'y ait pas d'autres points (a, h\ pour la raison donnée au paragraphe précédent. Pareillement, tous les nombres a sont égaux à — I et les nombres R à — 2. La relation (2) nous donne

alors

— 2 — [ /?z ( /?i — I ) — icC\ = — '2 m,

d'où l'on conclut

c'est-à-dire que la courbe est unicursale (^).

Puisqu'il n'y a pas de cycles, la fonction de w, qui est de seconde espèce, est une fonction rationnelle de ^ et j^ et, par suite, du paramètre 8 en fonction rationnelle duquel on peut exprimer x etj^. Il est donc évident que x eX, y seront des fonctions rcuionnelles de u.

\ i. Supposons enfin que u soit une fonction de troisième

(') On pourrait arriver à ce résultat, d'une manière plus rapide, sans commencer par établir qu'il n'y a qu'un seul pôle. Supposons, en effet, qu'il y ait X pôles, on aurait

— i\ — [m (m — i) — 2 d] = — 2/?i, c'est-à-dire

\ s'il n'est pas nul, ne peut donc être égal qu'à l'unité, puisque d ne peut sur-

m (m — 3) passer — ^^ -h i .

SUR CERTAINES CLASSES d'éQL'ATIONS DIFFÉRENTIELLES. ^3

espèce. Tout d'abord, dans le voisinage d'un point «, la partie de u devenant infinie ne peut avoir une partie polaire et une partie logarithmique, car l'inversion ne pourrait, dans ce cas, être uniforme.

Supposons, en effet, que l'on ait une partie polaire et une partie logarithmique. On aurait

A cp ( jT ) H- A log { X — a ) -h . . . = w, la partie o(^x^ étant une somme de termes de la forme ' '

, . {x-ai)^^

Cette équation peut s écrire

Le premier membre aura en a un point singulier essentiel isolé.

Donc, pour une valeur arbitraire de <?-^, nous aurons une infinité de racines de cette équation dans le voisinage de a (t. II, p. 121). Donc, pour une infinité de valeurs de x autour de a, l'expression

A o(:r) -4- A log(:r — a) -1- . . .

a la même valeur, à des multiples près de 2 -/A. On peut faire disparaître ce multiple de 2"z A en faisant tournera? autour de «, et nous pouvons, par conséquent, dire qu'à une valeur de u correspond un nombre infini de valeurs de x. Dans l'hypothèse faite, l'inversion ne se ferait donc pas d'une manière uniforme. Donc, dans le voisinage d'un point (a, 6), nous aurons

(4) Alog(j7— rt)-T-...= «,

la partie non écrite étant holomorphe en ^ — a. Posons

u^=u-\-iu', X — a = p (cosô -r- t sinô), A=a-i-i3,

on aura

u' — a log p — ^ô -f- . . . ,

u"= ;ilogp-f-aO + ...,

les parties non écrites tendant vers des valeurs finies déterminées quand x tend vers a. On tire des deux égalités précédentes

a a' -i- ^M" = (a2^ 1^2) logp 4-. . . .

Donc, quand x est suffisamment voisin de a, on a

au' ■+■ j3z*"< o.

Reprenons alors l'équation

A log(^ — a) +. . .= M, que nous écrirons

{x — a)e¥^^ = eÂ,

'\{x) étant holomorphe dans le voisinage de a. La partie réelle

de -r est A

Par suite, en désignant par y une quantité positive suffisamment grande, on voit qu'il y a, par la relation précédente, une correspondance uniforme entre un cercle d'un rayon suffisamment petit décrit autour de a et le demi-plan défini dans le plan de II par l'inégalité

Ceci posé, on voit d'abord, en raisonnant comme au paragraphe précédent, que u ne peut avoir à la fois un pôle et un infini logarithmique, car au voisinage de ce dernier correspond un certain demi-plan, tandis qu'au voisinage du pôle correspond tout le domaine du plan u où le module est suffisamment grand; ces deux régions ont une partie commune et, par suite, à une même valeur de u correspondraient deux valeurs de {jc^r).

Nous devons donc seulement examiner le cas où u aurait un ou plusieurs infinis logarithmiques; ces infinis seront des points (a, h) et la valeur correspondante de a sera égale à — i. D'adleurs il n'y aura pas d'autres points (a, 6), car si un point (a, b) était un point ordinaire pour u^ l'inversion ne se ferait pas d'une manière uniforme (déjà dit plus haut). On voit d'abord qu'il ne peut y avoir un seul point logarithmique : on devrait avoir en effet, d'après la relation (2),

— i — [m{m — \)—'id]^—im,

SUR CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 76

égalité impossible, puisqu'elle donne pour cl un nombre qui n'est pas entier.

Peut-il y avoir pour u deux inQnis logarithmiques? En désignant par des lettres accentuées les constantes se rapportant au second infini, on fera correspondre, comuie il a été dit plus haut, au voisinage de ce second point un certain demi-plan

Pour que l'inversion se fasse d'une manière uniforme, les demiplans (5) et (6) ne doivent pas avoir de partie commune. Cette circonstance se présentera si l'on a

c'est-à-dire si les deux droites limitant les demi-plans sont parallèles, et si de plus a et j3 sont respectivement de signes contraires à a' et ^', les constantes positives y et y' étant d'ailleurs suffisamment grandes. Rien ne s'oppose donc à ce qu'il y ait deux infinis logarithmiques, mais notre raisonnement va nous montrer qu'// ne peut y en avoir trois. En eilet, le demi-plan correspondant à ce troisième point aurait nécessairement une partie commune avec l'un ou l'autre des demi-plans précédents, et, par suite, l'inversion ne se ferait pas d'une manière uniforme. Pour abréger, nous ne montrons pas, comme plus haut, que les diverses valeurs de {x, y) se permuteraient bien entre elles, car il n'y a rien à changer à cette partie du raisonnement.

Il y a donc deux a égaux à — i, et nous avons donc

— I — I — [m {m — i) — 2^] = — im,

d'où l'on conclut encore que la courbe est unicursale (').

(■) On pourrait encore ici se dispenser de prouver a pi-iori que le nombre des infinis logarithmiques est deux. En le désignant par >., on aura

— \ — [ m { ni — i) — 2 d] =^ — 1 m ou

Si donc X n'est pas nul, on a

Cette démonstration est beaucoup plus rapide que celle du texte.

Si l'on exprime a^ et y en fonctions rationnelles d'un paramètre B, l'expression (i) sera alors ici une fonction de Q, holomorphe dans le voisinage de tout point du plan, sauf de deux points Oo et ^^ qui sont des infinis logarithmiques; on aura donc

et, par suite, x et jaseront des fonctions rationnelles de e^", a étant une constante. La démonstration est achevée. La courbe f est du genre zéro ou du genre un^ et nous avons indiqué les formes très simples des fonctions x et y de u [^).

15. Comme nous l'avons remarqué au début, l'étude du cas où l'inversion d'une intégrale abélienne

\\{x,y)dx = u, [f(^,r) = o]

donne pour ^ etj^ des fonctions uniformes de u, est un cas particulier de la proposition que nous venons d'établir. Mais ici la démonstration est encore plus simple, et l'on arrive ainsi de la manière la plus rapide et la plus rigoureuse aux résultats obtenus par Briot et Bouquet dans leur Mémoire classique sur les équations de la forme

Aussi ne sera-t-il pas inutile de reprendre dans ce cas particulier la démonstration.

Si l'intégrale (7) est de première espèce, la courbey* est nécessairement de genre un^ si ^ et y sont fonctions uniformes de u. C'est le cas le plus facile, oiî la démonstration ne présente aucune

(* ) Le résultat général que nous venons d'obtenir est en définitive un résultat négatif. En considérant les expressions (i), mon but avait été d'obtenir des transcendantes uniformes ne changeant pas quand on y remplace la variable u par certaines expressions de la forme au-\- b (les a et b étant des constantes, et les expressions formant nécessairement un groupe). On voit en effet immédiatement que u se change en au + b quand {x, y) décrit un cycle sur la surface de Rie mann. On vient de voir que les fonctions cherchées se ramènent à des fonctions connues.

SUR CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 77

difficulté, puisqu'on a alors

Q (^, j') désignant un polynôme adjoint d'ordre m — 3. Eu dehors des points doubles, il y aurait des points de rencontre de Q = o avec/, si le genre de / dépassait l'unité, et. par suite, x cesserait d'être fonction uniforme de a. Le genre de f est donc égal à un. Les deux fonctions x el y sont doublement périodiques.

Si l'intégrale (7) est de seconde espèce, on peut supposer (§ 1) que ses pôles sont à distance finie et sont distincts des points de ramification. Raisonnant alors comme au § o, nous montrons que u ne peut avoir qu'w/2 seul pôle. Ce pôle simple de u sera pour R(^,jk) un pôle double. A l'infini, sur chacun des feuillets, on doit avoir un développement de la forme

Ensuite R(.r,y) deviendra infinie aux points de ramification et en ces points seulement, de telle sorte que, pour un point de ramification (jc, y), on aura

Dans toute autre hypothèse, en effet, ^ et y ne pourraient être fonctions uniformes de u. Enfin K{x,y) ne s'annulera que pour les points à Tinfini.

Ceci posé, considérons l'intégrale

(8) y^^logR,

étendue à un contour rendant la surface simplement connexe. Cette intégrale est nulle, et, comme on connaît les racines et les pôles de R, elle se calcule immédiatement, ce qui donne

— 1 — [m {m — \) — id] = — 1 m.

C'est la relation du § o; on en conclut que la courbe est unicursale.

Il ne reste plus à examiner que le cas où u serait de troisième espèce. Le raisonnement du § 6 montre que u a deux infinis logarithmiques ; pour les points à l'infini, et pour les points de ramification, la forme de R(^,jk) est la même que ci-dessus. En prenant encore l'intégrale (8) le long du même contour, on a

— I — ! — Y m {m — 1 ) — icl\ = — 2 /?i ,

d'où se tire encore la même conclusion.

Quant à la forme des valeurs de x et jk, elle s'obtient non moins facilement. Dans le cas où u est de seconde espèce, x ety sont fonctions rationnelles de w, et, dans le cas où u est de troisième espèce, x et y sont fonctions rationnelles de e^

,au

16. Nous allons compléter, pour terminer, le théorème général démontré plus haut. Nous avons supposé que l'expression considérée

/{oc, y) I > eJ ' \{x,y)dxclx

n'avait sur la surface de Riemann que des pôles ou des infinis logarithmiques, de telle sorte que les singularités de u étaient absolument de même nature que celles des intégrales abéliennes attachées à la courbe /. Si l'on prend a priori une expression de cette forme, en supposant seulement qu'elle n'ait pas de singularités essentielles, on pourra avoir certains points (a, b) pour lesquels le résidu correspondant a [voir § 1) n'est pas un entier. La fonction u n'est pas alors uniforme dans le voisinage de [a, b) et la singularité n'est pas de nature logarithmique. Dans quels cas l'inversion pourra-t-elle conduire pour x ei y k des fonctions uniformes? Il faut évidemment que

a -hi = -,

Il étant un entier positif ou négatif.

Si nous voulons faire la discussion, nous distinguerons le cas où la fonction u reste toujours finie et celui où elle devient infinie.

Dans le premier cas, les nombres h seront positifs et finis (A = i

SUR CERTAINES CLASSES d'éQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 79

étant évidemment exclu). Toutes les autres conditions restant les mêmes, nous obtiendrons, en écrivant l'égalité

la relation suivante

21 (~ ^ "^ 7i) ~ i"^^'^ - I) — '2d] = — 2m. Ceci nous conduit à

Oj mi m — 3) ^ ■ j ,

n voit que a surpasse -et, par suite, la courbe sera

unicLirsale. Il faudra de plus que

Désignons par X le nombre des termes de la somme, on aura

/il II 2 li\

les h étant des entiers supérieurs à un. On a manifestement

h y //2 Aà 2

donc ). — 2 < - j c'est-à-dire X ^ 4 •

On doi t par suite avoir soit X =^ 3, soit A = 4- Pour A = 3, on a la relation

Pour A -^ 4? on

/il /io /is