III I

/il ' h, ' /?3 ' h-^ ~~

Les solutions de ces équations en entiers positifs sont en nombre très limité; il est sans intérêt de les transcrire, car nous verrons

8o CHAPITRE IV

dans un moment que leur discussion a été faite sous une autre forme par Briot et Bouquet.

Passons au cas où u deviendrait infini. Nous avons toujours

Il est un entier qui peut être négatif. Le cas de /^ = ao correspond à l'infini logarithmique, le cas de A = — i au pôle, de telle sorte que tous les cas sont compris dans la formule précédente. Nous aurons encore

La courbe sera donc encore unicursale.

Quant à la nature de x et y, nous l'obtiendrons de suite, en remarquant que, la courbe étant unicursale, on a, pour w,

w= re/R(0'^9Ri(G)^6,

R et R, étant rationnelles en ô. Gomme il n'y a pas de singularités essentielles, nous aurons nécessairement

(6 ei)«. (0 - G2 )«.' ... (6 - Ox)«7. ^0,

et nous avons donc à chercher les cas où cette relation donne pour 9 une fonction uniforme de w, problème traité par Briot et Bouquet dans le Mémoire cité plus haut et auquel nous renverrons. On en déduit encore que x et y seront des fonctions doublement périodiques, des fonctions rationnelles de u ou des fonctions rationnelles de e^".

Des équations différentielles algébriques du premier ordre à points critiques fixes.