Considérons une équation différentielle du premier ordre

f étant un polynôme irréductible en j^ et -7^? les coefficients étant

SDR CERTAINES CLASSES d'ÉQUATIOXS DIFFÉRENTIELLES. 8l

des fonctions quelconques de la variables. Nous savons (Ghap. II, Section IV) que les pôles et les points critiques algébriques sont les seules s'ingularités mobiles, c'est-à-dire variables d'une intégrale à l'autre. Laissons de côté les pôles et proposons-nous l'étude des cas où les points critiques algébriques sont fixes, c^ est-à-dire indépendants de la constante dHntégration.

C'est M. Fuchs (*) qui a le premier appelé Tattention sur les équations algébriques du premier ordre à points critiques fixes, et il a donné les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation jouisse de cette propriété; il a aussi fait l'étude de deux cas particuliers très intéressants. M. Poincaré a repris ensuite la question (-), et la conclusion bien inattendue de ses recherches est que cette classe d'équations est fort limitée, je veux dire que les équations jouissant de la propriété indiquée se ramènent à des équations déjà étudiées ou peuvent être intégrées par des calculs purement algébriques.

Déjà, dans le Tome II de cet Ouvrage (p. 33o), nous avons examiné un cas particulier du problème précédent, celui où l'équation (8) est du premier degré en ~- Les théorèmes généraux démontrés sur les courbes algébriques nous permettent maintenant d'aborder le cas général.

18. Considérons un point.ro et un point x distinct des points singuliers, qui, par hypothèse, sont fixes; joignons-les par un arc de courbe déterminé ne passant pas par les points critiques. Désignons par j'o etj>^Q les valeurs initiales de y et y' pour x=:Xq : on a, bien entendu, la relation

Quand la variable suit le chemin tracé de ^o à x, l'intégrale se trouve déterminée de proche en proche, et, quand on arrive en Xy on a pour l'intégrale et sa dérivée les valeurs y et y'. On peut donc considérer jK et y' comme des fonctions de yo et y'^, et si.

(*) Fuchs, Ueber Differentialgleichungen deren Intégrale feste Ver^zweigungspunkte besitzen {Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin, juin i8S4)- ( = ) H. Poincaré, Sur un théorème de M. Fuchs {Acta mathematica, t. VII). P. — III. 6

écrivant les deux relations algébriques

(9) /(^o,J-o,Jk[,) = o,

nous les considérons comme des relations algébriques, respectivement entre yo et y'^ pour la première et entre y et y' pour la seconde, nous voyons qu'à un point arbitraû'e (jKojJKq) de la première courbe ne correspond qu'un point (j^, jk') de la seconde, et inversement, puisqu'on peut faire en sens inverse le raisonnement précédent. Il y a donc une correspondance biunifoj^me enlre les points des courbes (9) et (10). Pour certains couples de valeurs iya^ JKo)? ^^^^ intégrale de l'équation différentielle peut n'être pas complètement déterminée par les valeurs initiales (jKoî J^o)' i^i^is ces couples de valeurs sont nécessairement eu nombre limité, puisqu'ils correspondent aux valeurs àey^ pour lesquelles l'équation (9), regardée comme une équation en y'^,, a des racines multiples. Donc, d'après une remarque générale faite précédemment, la transformation biuniforme entre les courbes (9) et (10) est nécessairement birationnelle. On a ainsi les relations

/ y = Ri(jKo,yo. ^' ^0),

R et R, étant rationnelles en y^ Qi y'^ et celte transformation est réversible.

19. Il peut sembler au premier abord que nous ne nous sommes pas servi, dans le paragraphe précédent, de l'hypothèse que les points critiques sont fixes, et qu'alors les conclusions précédentes peuvent s'appliquera toute équation algébrique du premier ordre. Si les points critiques de l'équation étaient mobiles, nous ne pourrions pas regarder y et y' comme fonctions de (jKoj JK'o) j ^^ effet, en faisant varier (jKo^JKy), il arriverait un moment où les points critiques variables avec les valeurs initiales (jKojJKo) ^^ trouveraient sur l'arc tracé au début de Xq à Xy et, à ce moment alors, y et y' cesseraient d'être des fonctions bien définies de

(ro,r'o).