Du théorème démontré au § 18 se tirent d'importantes

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conséquences. Les courbes (9) et (10) se correspondant point par point sont du même genre. Désignons ce genre par /? ; sa valeur joue un rôle essentiel dans la discussion qui va suivre.

Soit d'abord /> > i . Il ne peut y avoir alors qu un nombre limité de transformations birationnelles transformant les deux courbes l'une dans l'autre, car, dans le cas contraire, il y aurait nécessairement une infinité de transformations birationnelles transformant chacune de ces courbes en elle-même, et ceci est impossible, puisque le genre est supérieur à l'unité (t. 11, p. 439).

On pourra, par des calculs purement algébriques, déterminer toute transformation birationnelle transformant les courbes (9) et (10) l'une dans l'autre. Considérons, en effet, les P intégrales distinctes de première espèce

j >^i(^, y. y') dy, I liix, y, y) dy, ..., j X,,(^, .7, /) dy,

relatives à la courbe (10); x figure comme simple paramètre dans les A. On aura

>^i(^, y, y')dy = AiX,(j7o, yo, y'o)dyo h-. ..-^Aplp{xo,yo, yo)dyo, ^^2(^, y, y') dy = B,>, (^0, Jo, y'o ) dyo -i-. . . + B/,X/,(a7o, rc y'o) d/o,

les A et les B dépendant seulement du paramètre x. On aura donc, en divisant,

1^(0-, y. y') ^ Al A, r.ro, jko, y'o ) -f- . . . -f- A;, l,Axo, y,u y'o ) l.{x. y. y') Bj X, ^Xq. yo, ^o ) "^ • • •— ^h^ ^(-3:^0, Jo, y'o )

Telle est la forme nécessaire de la correspondance entre les deux points (y-, y') et (j'cj^'o)- ^^ ^^^^^ ^ rechercher si l'on peut déterminer les A et B de manière que cette correspondance soit birationnelle; ceci entraînera un certain nombre de relations entre les A, les B et x^ relations qui, en général, seront trop nombreuses pour être compatibles, mais qui, dans tous les cas, ne pourront déterminer qu'un nombre fini de systèmes des A et B en fonction de x.

En définitive, les relations (11), quand elles existent, se déterminent par des calculs algébriques (pour/? > i); on aura de plus encore à vérifier si y' est la dérivée de y par rapport à x. Quand toutes ces conditions sont remplies, on a une équation à points

critiques fixes dont l'intégrale générale est donnée parla première des équations (i i). On voit que cette intégrale se détermine algébriquement. L! intégrale générale est une fonction algébrique des coefficients de y et y' dans l'équation différentielle proposée. En particulier, si x entre algébriquement dans /, l'intégrale sera une fonction algébrique de x.

21. Nous venons d'examiner le cas où p est supérieur à l'unité. Soit maintenant/? =: o ; on peut alors exprimer y ei y rationnellement en fonction d'u n paramètre 9; on a ainsi

R et R< étant rationnelles en 9, et inversement 0 est une fonction rationnelle de y Ql y' . La fonction B de ^ dépend d'une constante arbitraire connue y, et, comme cette dernière fonction, ses points critiques seront fixes. En écrivant que j/-' est la dérivée àey, nous aurons une équation

/étant rationnelle en 9; nous sommes donc ramené au problème proposé, mais dans le cas où la dérivée entre au premier degré. Il est inutile de répéter ici ce que nous avons déjà dit (t. II, p. 33o) \ l'équation précédente a nécessairement la forme

^ =P02+Q0 + R, dx

P, Q, R ne dépendant que de x. Nous sommes donc ramené à l'équation de Riccati.

22. Le cas où /? = i est plus délicat, nous le traiterons de la manière suivante.

La courbe

correspond p oint par point à une certaine courbe normale de genre un

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le module k étant indépendant de x^ puisque la courbe (12) correspond point par point à la courbe /(^o? J^o? To) indépendante de X. Écrivons la substitution birationnelle, que nous pouvons regarder comme connue, entre ces deux courbes :

Nous aurons nécessairement par cette transformation

/ u: = l ^{^.y.y)dy,

(X, |jl) et (L, M) étant, pour le moment, deux points arbitraires de la courbe (i3), et {y^ y') et (Y, Y') étant les points correspondants de (12). L'intégrale qui figure dans le second membre est manifestement une intégrale de première espèce relative à (12); ses deux périodes ne dépendent pas de x^ puisque les périodes de l'intégrale du premier membre n'en dépendent pas.

D'autre part, nous avons entre la courbe (12) et la courbe

une certaine correspondance birationnelle inconnue : la correspondance (i i). Cette correspondance nous donnera

/ P(^,jK,7')c(/ = A / ^{xQ,yQ,y'o)dy.

A pourrait, a priori, dépendre de x^ mais il n'en dépend pas; sinon, la période de la première intégrale dépendrait de x, ce qui n'a pas lieu, d'après ce que nous avons vu plus haut. On voit alors de suite que A = i en faisant x =:^ Xq.

On conclut de là que, si Ton prend deux intégrales, j^ et Y, de l'équation différentielle, correspondant respectivement aux valeurs initiales ( l'o: r^ ) et ( Yq, Y^ ), et qu'on désigne par (a, u.) et (L, M) les valeurs correspondantes données par la substitution birationnelle (i4)- on aura

a étant une constante indépendante de x. Soit maintenant (a, [3) un point arbitraire de la courbe (i3) qui va rester fixe, et consi-

dérons rinté2:rale

(à, a) correspondant toujours à l'intégrale (y, y')- Cette intégrale est une fonction de œ que nous désignerons par g {oc). Posons donc

Si, à la place de l'intégrale {y.,}'')^ nous considérons une autre intégrale (Y, Y'), nous aurons

(L, M) correspondant à (Y, Y'), comme (X, ijl) correspond à(jK,JK')- La dépendance entre les fonctions Cj[x) et g{x) est facile à trouver; on aura

a étant une constante indépendante de ^, d'après ce que nous avons dit plus haut. Ainsi la fonction g{x) est déterminée à une constante près. On a

,, , 1 ctk

\x dx

Or \ et ij. sont des fonctions connues de j^, y^ et ^, d'après (i4)' La fonction g{x) étant déterminée à une constante près, il faudra que g' {x) se réduise à une fonction de x en tenant compte àe f{x^ y, y')=z o. Lorsque cette condition se trouvera réalisée, on déterminera g{x) par une quadrature, et Ton aura, d'après la relation (i 5),

X = sn[^(^)4- a],

sn désignant la fonction elliptique; iji sera aussi une fonction doublement périodique de g{x) + a, et l'on a alors la forme de l'intégrale qui s'exprime à l'aide de fonctions doublement périodiques. La constante arbitraire est a, et les points critiques de

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l'intégrale ne peuvent être autres que ceux de la fonction g{x), qui, comme nous l'avons dit, s'obtient par une quadrature.

23. La discussion de la nature des intégrales d'une équation différentielle du premier ordre, algébrique en y et y', à points critiques fixes, est complète.

Suivant la nature du genre p de la relation algébrique entre y

et y,

pour une valeur arbitraire de x, r intégrale s'obtiendra par des calculs algébriques {p > i), ou elle s'obtiendra par une quadrature [p — i), ou enfin on sera ramené à une équation de Riccati {p = o).