SUR CERTAINES MÉTHODES D'APPROXIMATIONS SUCCESSIVES
I. — Des approximations successives pour un système d'équations différentielles du premier ordre.
1. Nous avons déjà, au Tome II (p. Soi), indicjué comment on pouvait établir l'existence des intégrales d'un système d'équations différentielles ordinaires en procédant par approximations. Soit considéré le système
(2) rB =/^(^'^^'r2, -..,7.),
-J^ =fm{oc,yuy., ..., Jm)-
On suppose que les fonctions f soient définies, x restant dans l'intervalle {Xq — a, Xq-{- a) ei yi restant dans l'intervalle (yl — ^7 yl + ^) pour i = 1 , 2, . . . , /?z, et soit M la valeur absolue maxima des fonctions dans ces intervalles.
De plus, les fonctions /sont telles que
\fi{^,y'i,y2^ "-y y m)
— fii^^yi^y^, .••j7m)I< Ajj'i— JKiI + B|7'2— JK2!+...-^-Ll7',n — 7/7z!,
A, . . ., L étant des constantes positives.
Dans ces conditions, nous avons vu (/oc. cit.) qu'on avait un
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système d'intégrales prenant pour Xq les valeurs J'J, J^'!^ - » ■ -, y^ et déterminées dans l'intervalle (^o — ^i, XQ-\-h)^ en désignant par h la plus petite des trois quantités
^. Nous voulons d'abord compléter ce résultat, en montrant, comme l'a indiqué M. Ernst Lindelof ('), que les approximations successives convergent nécessairement, /i étant la plus petite des deux quantités
Il suffira, pour démontrer ce point, de modifier légèrement la démonstration donnée précédemment (t. II, p. 802). En gardant les mêmes notations, reprenons les équations de la page 3o3 :
(0 ' I { m = 'JL, . .., y:).
Or on a, tout d'abord,
! «1 — "0 1< M 1 ^ — ^0 1 , . . . , I ti^i — «^0 !< M I X — ^0 !, comme le montrent les relations
-^ =/i(^, î^o, ••., «'0), •••, -^ =/«(-r, Mo, Po, ..., wo)-
Il en résultera alors, d'après les équations (i) pour m = 2, (W2-M1K f ix — Xo)MiX-hB—...-hL)dx =M(A-4-...4-L)^-^— ^, et cette limite convient aussi pour ] ^'o — (^/, . . . , | (P^ — ^^^i |-
(') E. LiNDELOF (Comptes rendus, 26 février 189 '1). Ko//- aussi sur ce point un Mémoire de M. Bendixon (Académie des Sciences de Stockholm, novembre 1898 ).
90 CIIAPITIIE y.
Les équations (i) pour m == 3, donnent alors
Eu continuant ainsi, on a, d'une manière générale,
I Un-Un-X i< M. (A +. . .+ L)-l 1^^^^. ' \ .1 ... Il
Or, la série de terme général
est manifestement convergente. Par suite, la série
Ui)+ (Ui—Uo)-h. . .^{U,i— U/i-l) +.. .
sera uniformément convergente dans l'intervalle (xq — h, Xq -\- h), h étant la plus petite des deux quantités (^)
b a et — • ÎNI
(•) Il est clair que la méthode des approximations successives peut être employée dans le cas des fonctions analytiques. Soit l'équation
la fonction / étant, comme au Tome II (p. 3o5), liolomorphe à l'intérieur des cercles C et G' décrits des points x =^ o etjK = o comme centres avec les rayons a et b, et on la suppose continue sur les circonférences elles-mêmes. Nous désignerons par M le module maximum de /dans ce domaine. Les approximations successives donnent une série
(S) r,H-(r2-rJ-^---- + (r«-r«-)^----
Le terme général de cette série est une fonction liolomorphe dans le cercle de rayon h en désignant par h la plus petite des deux quantités a et — > et, en raisonnant comme plus haut, on a, à l'intérieur de ce cercle,
/: étant le nombre défini (t. II, p. Sog). La série (S), dont chaque terme est holo-
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3. Reprenant le système (2), nous allons considérer une classe particulière d'équations. Admettons que les fonctions / soient finies et bien déterminées quand x reste dans un certain intervalle I et quand y^ y., . . . , ym varient entre — x et -h x. De plus, les dérivés partielles du premier ordre
restent, je le suppose^ toujours moindres en valeur absolue qu'un nombre fixe N, quand x reste dans I et que les y varient entre — x e^ -|- x.
Dans la détermination du nombre h du paragraphe précédent,
nous n'avons pas ici à considérer la quantité i^- Elle s'est introduite seulement dans la méthode des approximations successives par la nécessité que les y ne sortent pas du champ dans lequel les fonctions /sont définies; or ici ce champ est, par hypothèse, illimité. Par suite, tout sj^stème d'intégrales, prenant pour une valeur Xq de l'intervalle I des valeurs finies quelconques y\i y"? •••^ y m-, J^^ste certainement fini et bien déterminé dans tout V intervalle I.
Ce résultat, quoic^ue très simple, présente quelque intérêt, car il est, en général, impossible de savoir ce que deviennent les intégrales en dehors d'un champ très limité.
morphe et satisfait à l'inégalité précédente, représentera une fonction holomorphe dans le cercle de rayon h, comme on le voit immédiatement à l'aide de la formule fondamentale de Cauchy :
L'équation (E) admet donc une intégrale s'annulant pour x = o et holomorphe dans le cercle dont le rayon est la plus petite des deux quantités
b «et-
Nous retrouvons ainsi plus rapidement le résultat que nous avions déjà obtenu (t. II, p. 3i3).
