Pour citer quelques exemples, prenons l'équation
Si les fonctions P(^), Q(^) et R(^) sont finies et continues dans un intervalle I, on peut affirmer que toutes les intégrales de cette équation seront déterminées et resteront finies dans I. L^équation précédente est, en effet, équivalente au système
et les dérivés partielles du premier ordre des seconds membres de ces équations par rapport à jk et à jk' restent moindres qu'un nombre fixe. Si P (^) et Q(^) restent finies et continues pour toute valeur finie de la variable réelle x^ les intégrales de l'équation précédente resteront finies et continues pour toute valeur finie de x^ et chacune d'elles pourra être représentée^ par un développement en série valable pour toute valeur de x. Considérons encore une équation linéaire quelconque
OÙ les P sont des fonctions continues de la variable réelle x. Nous sommes dans les conditions d'application du théorème du paragraphe précédent, en remplaçant l'équation d'ordre m par un système d'équations du premier ordre. Toute intégrale de cette équation peut être représentée par un développement en série valable pour toute valeur finie de la variable dans le champ oit les P sont continues.
5. J'emploierai encore la méthode des approximations successives à la démonstration d'un théorème sur les équations linéaires. Soit une équation linéaire
dont les coefficients dépendent d'un paramètre k et sont des polynômes en k. Les fonctions P sont continues dans un certain intervalle I.
SUR CERTAINES MÉTHODES d'aPPROXIMATIONS SUCCESSIVES. qS
Il est utile de savoir quelle sera la nature d'une intégrale quelconque par rapport à k\ nous allons voir immédiatement que, pour X compris dans l'intervalle I, toute intégrale est une fonction entière de A", c'est-à-dire holomorphe dans tout le plan de la variable k. Si, en effet, on représente, comme nous venons de le faire au paragraphe précédent, l'intégrale par une série
JKo -^ ( J'I — JKo) + . . ■ -^ {ya — yn-i )-!-...,
chaque terme de cette série est une fonction entière de k. Restons dans le plan de la variable k à l'intérieur d'un cercle C d'ailleurs arbitraire; nous savons que, pour x quelconque dans I et pour k quelconque dans ce cercle, on peut trouver un nombre fixe ). tel qu3
\yn—yn-\\ < — -•
Nous avons donc, en définitive, une série
Uq^ Ui-^. . .-r- 11,1-^. ..
dont chaque terme est une fonction holomorphe de k dans le cercle G, et où l'on a de plus
11 est bien facile de voir que la série des u sera elle-même une fonction holomorphe de k dans C. C'est ce que montre la formule de Gauchj,
la série de terme général Un{z) étant uniformément convergente sur G, on aura
Uo{k)-h...-^Ua{k)-h... = -^. f
d'où se déduit de suite que la série des u est une fonction holomorphe de k dans G, et par suite dans tout le plan.
II. — Cas d'un système d'équations différentielles du second ordre (0-
G. Prenons d'abord l'unique équation
cny
Nous voulons trouver l'intégrale de cette équation, qui prend pour x^a la valeur A et pour ^ = 6 la valeur B. On suppose que la fonction
est définie et continue quand x varie dans un certain intervalle de longueur li comprenant a et b, et que |7 | et |y | varient respectivement entre — L et + L d'une part, et — 17 et + L' d'autre part; nous désignerons par M le module maximum de/ dans ces conditions. On admet, de plus, que
\f{^.yuy\)-f{^,y,y')\< « !j-ri i + ? Ij'-r'i l
a et [^ étant deux constantes positives fixes, les y et j' restant entre les limites indiquées.
On part d'une fonction quelconque y^ satisfaisant aux conditions précédentes, et l'on forme les équations successives
/ ^-n - f(r y ^V \ d'-Y^ __ I dyÇ\
(2) \ 'd^ -J\^'^'''dxj'
On intègre chaque fois par la condition que jKi , J'2, • • -, Vu prennent les valeurs initiale et finale données.
(') Pour ce qui concerne les approximations successives, on pourra consulter, dans le Journal de Mathématiques, mes Mémoires de 1890 (Cliap. V) et de
SUR CERTAINES MÉTHODES d'aPPROXIMATIOXS SUCCESSIVES. QO
Pour simplifier l'écriture, nous supposerons, comme il est évidemment permis, que
<7 = A = o et 6 > o.
Il s'agit d'abord de savoir si les y successifs restent, ainsi que leurs dérivées premières, entre les limites indiquées.
