Arrêtons-nous un moment sur l'équation

on aura l'intégrale s'annulant pour ^ ^ o,

Choisissons la constante P de telle sorte que cette expression prenne la valeur B pour x =: b\ on a ainsi

r=l o(z){x-z)dz-^-^----^ I o{z)ib-z)dz,

qui représente l'intégrale de (3) s'annulant pour ^ = o et prenant la valeur B pour œ =^ b. On peut trouver une limite supérieure de

i J"| el S^ i quand x varie entre o et b. Écrivons j>^ sous la forme

La valeur absolue de la première intégrale, en désignant par M la valeur absolue maxima de 'f (^), est moindre que

La valeur absolue de la seconde est moindre que

X Mib — xyb 1

On a donc, par conséquent,

lrl< h-r -T- -^,T +1^1= +1BI,

d'où, enfin.

Passons maintenant h~; on a

égalité qu'on peut écrire sous la forme

dy dx

on aura, par suite,

ay dx

Mx^ M (b — xyib b 1

et, par suite.

dy\ Ub dx -1

8. Revenons maintenant au système (2). Nous devons évidemment supposer

Nous admettrons, de plus, que

Mè2

ce qui a lieu si b est assez petit. De plus, pour que ^ soit certainement compris entre — L' et + L', nous faisons l'hjpothèse que

Mb

Moyennant les inégalités (4) et (5), nous sommes assuré que

les fonctions y\yy-ii • • -. fa sont toutes comprises entre — L et

-j-L. On doit remarquer que ces inégalités seront certainement

R vérifiées si ^, B et ^ sont suffisamment petits.

Il nous faut maintenant montrer que yn tend vers une limite

SLR CERTAINES MÉTHODES DAPPROXIMATIONS SUCCESSIVES.

quand n augmente indéflniment. On a

Or, soit M le maxiniuni de

nous aurons, d'après le numéro précédent, puisque jo —j-, s'an nule pour x = ^,

dy-i dvx dx dx

La relation

d'-( y^ — 7-2) dx-^

nous montre que

fl?j:' dx

et, de proche en proche, on arrive aux inégalités