dy

leurs limites respectives j/ ^t-r^» on aura

et, par suite, en différentiant deux fois, d'^y I dy

Il est évident, d'ailleurs, que y = o pour .^ = o, et j = B pour

La recherche de V intégrale est donc complètement effectuée] on ne doit pas oublier que les inégalités (4), (5) et (6) sont supposées vérifiées.

9. L'analyse précédente peut s'étendre à un nombre quelconque d'équations de la forme

o?2 7i j. [ dy^ dy,n\

6?2;K-, r ( dvx dy,n\

Noire méthode d'approximations successives permettra de déterminer les intégrales ;k<, ^2, • • . , JKm de ce système, telles qu'on ait

JKl=r2 = -.. = 7m=0 (pour 07=0),

ri=Bi, 72= Ba, ..., 7/«=B,„ (poura7 = ^>).

SUR CERTAINES MÉTHODES d'aPPROXIMATIONS SUCCESSIVES. 99

Certaines inégalités analogues aux inégalités (4), (5) et (6) devront être vérifiées. On suppose, d'ailleurs, que

< «1 ijl- -1 ! 4-...-+- ^m \y,n-Z,n \ -^ ?i \ f,- z\ \ +...4- p,„ \ y',,,— z'„, \.

En gardant pour le reste les mêmes notations que plus haut, on devra avoir

et enfin

(ai + ,

ih-^h-

10. Je dis maintenant que V intégrale déterminée par la méthode précédente est unique, c'est-à-dire qu'il n'existe qu'un seul système d'intégrales y^,y^2, • • • , y m prenant les valeurs données au commencement et à la fin de l'intervalle (o, b). Bien entendu, nous ne pouvons considérer que des systèmes d'intégrales telles que

!rn<i>, lrH<L',

puisque c'est seulement dans un tel intervalle que nous supposons les /définies.

D'ailleurs, pour abréger, je supposerai que les fonctions / ont des dérivées partielles du même ordre par rapport auxj^, de telle sorte que a^. sera le maximum de

pareillement ,3^ sera le maximum de

ày'k

quand x varie entre o et 6, les j entre — L et -|- L, et lesj' entre - U et + L'.

Supposons maintenant que nous ayons deux systèmes d'inté-

lOO CHAPITRE V.

grales satisfaisant aux mêmes conditions aux limites Tu JK2, •■, y m et Yi, Yg, ..., Y,„. On aura, en retranchant les équations difTérentielles, puis posant

et appliquant le théorème des accroissements finis

<^2wi , , duy du,n

— - = anUi -i-ai2i«2 +•.•-+- «i, m ^^m -^ ^ii ~dx~"'^ '"' ~dx

\ d-Uni 1 dUi du,n

Nous pouvons considérer les a et ^ comme des fonctions de x^ et nous avons alors un système d'équations linéaires et homogènes, pour lesquelles un système d'intégrales

Ml, 11=1-, • • • 1 U/n

s'annulent pour ^ = o et pour x =^ h.

Nous allons voir que les u doivent être identiquement nulles. De ce que

1 ai^k 1 < ayr. et | bi^,, \<^k ( t = i , 2, . . . , m),

on conclut que, pour le système (E) d'équations hnéaires, la méthode des approximations successives est applicable. Il en résulte que l'on peut trouver im systèmes d'intégrales prenant pour X =^ o et X ^=^ b des valeurs arbitrairement données. Avec ces im systèmes d'intégrales, nous pouvons former l'intégrale générale de (E) et déterminer les constantes de façon à avoir les intégrales s'annulant toutes pour ^ = o et pour x --^b. Or ces constantes seront toutes nulles, puisqu'elles sont données par des équations homogènes du premier degré, dont le déterminant n'est pas nul, toutes les lettres qui forment le déterminant ayant des valeurs arbitraires. Les u sont donc identiquement nulles, et V on a bien

comme nous voulions V établir.

SUR CERTAINES MÉTHODES d'aPPROXIMATIO>S SUCCESSIVES. lOI