III. — Quelques cas particuliers
11. Nous avons vu que l'intégrale déterminée parla méthode des approximations successives, quand les conditions nécessaires pour l'application de la méthode sont vérifiées, est unique.
Etudions en elle-même, autant qu'il est possible, cette question de la détermination unique d'une intégrale d'une équation du second ordre par des valeurs initiale et finale.
Prenons d'abord l'équation linéaire
d-y . dv
dx-^ dx -^
A et B ne dépendant que de x. Supposons qu'il j ait une intégrale j>', s'annulant pour x ^= a e\. pour x = ^, et continue de a à b. On a évidemment la relation
qui se transforme de suite, en intégrant par partie, et devient
Si donc on a, pour toute valeur de x comprise entre a et 6,
on est assuré que l'intégrale considérée j>^ ne peut qu'être identiquement nulle.
On peut aller plus loin en employant un artifice dont je me suis servi déjà antérieurement pour certaines équations aux dérivées partielles (t. II, p. 28). Si X désigne une fonction continue quelconque de x entre a et ^, on aura
dx = o.
En additionnant (a) et ([^), il vient
X [(©-^a--)-S-('^-âH-=o-
Si donc X est tel que
g(X + A).-HB>o,
y devra être identiquement nul. Nous verrons dans un instant une application de cette transformation du problème.
1^. Si nous reprenons maintenant l'équation non linéaire
ax
il est facile de signaler un cas où cette équation ne pourra avoir deux intégrales prenant les mêmes valeurs pour ^ = a et jc = ^, et continues de a à 6. Soient, en effet, j, et jo deux telles intégrales; on a
Si nous supposons maintenant que /ait des dérivées partielles du premier ordre elles-mêmes continues, nous pourrons écrire, en posant
la relation précédente sous la forme
d^u du
où l'on a
Je désigne, pour marquer les dérivations, la fonction / par f{x,y^z). A et B peuvent être regardées comme des fonctions de X. Or si l'on a, quels que soient j^ et z^ pour x compris entre a
SUR CERTAINES MÉTHODES d'aPPROXIMATIO>-S SUCCESSIVES. Io3
il est manifeste que V équation
dx-^ -J\^'^' dx]
n'aura qu'une seule intégrale prenant des valeurs données pour x = a ei œ = b, et continue dans cet intervalle. En particulier, l'équation
OÙ /croît en même temps que j, rentre dans la catégorie précédente.
