L'équation linéaire

mérite une étude spéciale. D'après ce que nous venons de voir (§ 12), si B est positif de a à 6, il existera une seule intégrale continue de a à 6 et prenant pour ces valeurs de x des valeurs données.

Le cas oii B est négatif de a à h est beaucoup plus difficile à étudier; nous l'approfondirons dans le Chapitre suivant. L'ana- Ivse du § 11 va nous conduire à un premier résultat. Soit

I B i < A {x variant de « à 6),

h étant une constante positive. Nous serons assuré de l'existence unique d'une intégrale par ses valeurs pour ;r = a et pour x ^= b, si l'on peut déterminer 1, fonction continue de x dans cet intervalle, et telle que

Or, si Ton peut déterminer A de telle sorte que

cette dernière inégalité entraînera la première. Soit /;, > h, l'e-

iOn CHAPITRE V. — SUR CERTAINES MÉTHODES d'aPPROXIMATIOIVS.

quation

— l'-=hi

dx donne

\ = /Â;'t;mg(iPv//r;-h c),

C étant une constante. Si l'intervalle {ah) est inférieur à -4=,

on pourra choisir évidemment la constante C de manière que A soit continue dans l'intervalle. Gomme, d'autre part, A, est aussi rapproché que l'on veut de A, on peut dire que, si Vintei veille

[a, h) a une longueur inférieure à -^^, // existera une seule

V A intégrale de V équation

prenant pour a et b des valeurs données.

SUR CERTAINES ÉQUATIONS LINÉAIRES DU SECOND ORDRE. Io5

I. — Définition d'une constante fondamentale. Étude progressive de l'intégrale.

1. Nous ferons, dans ce Chapitre, une étude approfondie de l'équation

la fonction A(x) él^wl positive de a à b. Quoique cette équation soit de forme bien particulière, nous allons trouver dans son étude un tjpe de problèmes, qui se poseront d'une manière analogue dans des équations plus générales, et que nous pourrons ici approfondir complètement.

Nous démontrerons d'abord le théorème suivant :

S'il existe une intégrale y de V équation précédente , toujours positive et différente de zéro de a à b^ et continue ainsi que sa dérivée première, cette intégrale pourra être obtenue par la méthode des approximations successives.

Faisons d'abord une remarque préliminaire. L'intégrale de l'équation

s'annulant pour x = a el x =^ b^ est donnée par la formule

On voit que, si o{x) est ^lositif de a à b^ la fonclion y sera positive, el croîtra, si l'on remplace o{x) par une fonction plus grande.

Ceci posé, nous partirons, pour les approximations successives, de la fonction y^ vérifiant l'équation

et prenant les mêmes valeurs que y aux deux extrémités de l'intervalle (a, b). On aura ensuite la succession des équations

y^ ? y 11 ' ' • ^ y/i prenant les mêmes valeurs initiale et finale que y, et étant positives, comme j, dans l'intervalle (a, b). De l'équation

on conclut que

^^^ J' — yo a des valeurs initiale et finale nulles, par suite, y — j',, est positif, d'après la remarque faite plus haut. Écrivons donc

r >jKo- Il résulte aussi de la même remarque que

yo<yi<.--<y,i<.--<y-

Nous voulons établir quejK« ajK pour limite. A cet effet, considérons le quotient

il restera moindre, dans l'intervalle {a, b), qu'un nombre fixe q

inférieur à V unité. Les deux équations

dx'^ montrent de suite que

y —yo

En continuant ainsi, on a, d'une manière générale,

, y—yn-i

et, par conséquent, en multipliant toutes ces inégalités membre à membre,

y—ynKy-q"^^-

Il est donc établi que yn converge uniformément vers y. On voit, de plus, qu'il ne peut y avoir deux intégrales positives prenant les mêmes valeurs en a et b.

2. En supposant, comme au paragraphe précédent, qu'// existe une intégrale y de l'équation, toujours positive et différente de zéro dans U intervalle (a, 6), on peut montrer qu'il n'existe pas d'autre intégrale, s'annulant en a et 6, que jk = o. Supposons, en effet, qu'il existe une telle intégrale; nous pouvons supposer qu'elle garde un signe invariable dans l'intervalle, sinon elle s'annulerait au moins une fois entre a et b, et l'on raisonnerait sur un intervalle compris dans («, b). Soit donc une intégrale Y s'annulant en a et ^ et positive toujours dans l'intervalle. On peut choisir la constante k de manière que les deux intégrales

ky et Y

soient égales en un point choisi arbitrairement entre a et b. Puisque Y s'annule en a et 6, il faudra qu'il y ait une seconde valeur de X pour laquelle on ait encore

ky = Y,

et nous aurions un intervalle moindre que («, b) pour lequel il

existerait deux intégrales positives et répondant aux mêmes valeurs initiale et finale, ce qui est impossible. Il faut donc que Y soit identiquement nul.

On conclut de là qu'w/ze intégrale est nécessairement déterminée d'une manière unique par ses valeurs initiale et finale dans l'intervalle {a, b) ou dans tout intervalle compris dans celui-ci.

3. Introduisons maintenant une succession de constantes qui vont jouer dans la suite un rôle très important. Nous reprenons les approximations successives en faisant

On aura une suite de fonctions

Yu ^2, ..-, J'/o •••,

prenant pour œ z= a ei x =- b\di valeur un. Posons

JKo=Wo=I, JKi— JKo="l, ..., yn—yn~i=Un, ...:

les u, sauf Uq, s'annulent aux deux extrémités de («, b). J'envisage les deux séries de constantes (*)

^ Il ^ n

du,n dUn

dx dx

Ces deux expressions ne changent pas si l'on remplace u,yi et u, par d'autres lettres ;/, la somme m -\- n restant constante. On a, en effet.

d'^ If, „ 4-1 , f" du,n^] du,,

u,,dx=i ^-';i±i '-1^ dx

dx dx

lhn+1 -J^ dx = + / -^ {^)Um+l Ifn-l dx l

par conséquent, VJ^^n ne dépend que de /n + n.

(•) Ces deux séries de constantes ont été considérées par M. Sch^^a^z dans une question analogue relative à certaines équations aux dérivées partielles {Afatheniatische Abhandlungen, t. I, p. l'ji).

Si nous posons

nous aurons

et, par suite,

» m ,n=- ^^ m-hn—l-