Partons de l'inégalité

j. et ,3 désignant deux constantes arbitraires. Cette inégalité peut

s'écrire ^

a2W2«+ 2a3W2„+i-+- ?nV2„+2> o.

On aura, par suite,

( W2„-t-i )- Wo/i Wo/i-ho > O

OU

>V 2rt W2/t-i-i

On a, de la même manière,

ou

3t- W2„-i -h 2 a,3 \Y2„ H- ?^ W-iu+i > o,

d'où l'on conclut

> ' in ^ " 2 « — 1

Les inégalités précédentes montrent que l'on a W, . W2 ^ W,

Je dis que le quotient vtt-— > croissant avec /?, tend vers une limite pour /z == x. Soit, en effet, g la plus grande valeur que

l iO CHAPITRE VI.

prend la fonction ?/, dans l'intervalle (a, b). Les différences seront toutes négatives dans l'intervalle (a, b). Or on a

donc

par suite, ^^^ ne dépasse pas «•. Ainsi, en posant

c - ^^'^ nous sommes assuré que les quantités croissantes

Cl, C2, ..., C„, ...

tendent vers une limite quand n augmente indéfiniment. Nous désignerons cette limite par c.

D'après un théorème élémentaire sur Jes suites, on peut encore définir c comme la limite de

et nous pouvons de suite faire la remarque, qui nous sera plus tard utile, que, pour une équation correspondant à une fonction A'(^) plus grande que A(.^), on aura une limite d qui sera plus grande c|ue c.

o. Cherchons à comparer Ua{x) à y/W^. On a

d'^ Ufi . , .

et, par suite,

Un{0C)=—J A{z)Un-i(z){x — z)dz

x — ar^, .

"^2nr^ / ^'K^)Un-x{z){h-Z)dz.

On en conclut

\Un{x)\< \ k{z)u„.,{z){b-z)dz.

Or de l'inégalité

a et 3 étant deux constantes quelconques, on déduit

et, par suite,

H étant un nombre fixe. Or „'/'~"^ a -^ pour limite (pour /? = x)). On peut donc écrire

K étant un nombre fixe.

6. Nous allons, des résultats précédents, déduire des conséquences extrêmement importantes. D'après l'inégalité du paragraphe précédent, la série

convergera uniformément dans l'intervalle (a, 6), si la série de

terme général

est convergente. Or, dans cette série, le rapport d'un terme au précédent a pour limite c; par conséquent, 5/ c < i , les approximations successives convergeront^ et il j aura dans l'intervalle (a, h) des intégrales de l'équation restant toujours positives. Si c est supérieur à l'unité, la série

Wo -f- ?<1 ^ . . . -i- U,i^.. .

ne peut converger uniformément dans l'intervalle (a, b). Car autrement, puisque

\\,i=j A(x)un(x)dx,

Ih série

serait convergente, ce qui n'est pas, puisque le rapport -^ij^ a c pour limite.