C-2 Ci Cfi C C C

et, par suite, de ).„, comme nous voulions l'établir. 8. Nous allons montrer que

Un,

a une limite différente de zéro, quand n augmente indéfiniment.

Soit

et posons

w;,= / k{x)u'„dx,

on aura évidemment

Cl c„

p. — III.

Par suite, d'après le paragraphe précédent, on est assuré que WJ, a une limite pour A^ = go.

Ona ^

Puisque 'W',^ tend vers une limite, il est certain que le second membre est inférieur à toute quantité donnée à l'avance, si n est suffisamment grand . Or on a

I AUcc)( n'a — Un^kY dx<M I A{x){ u'„ — u'a+kY dx,

M désignant le maximum de A(j:); par suite, l'intégrale du premier membre est aussi très petite, pour n suffisamment grand. Enfin, de l'inégalité analogue à celle que nous avons déjà considérée

on conclut

/ vV (37) ( u'„ — u'„+k) {b — x)dx\ ' «Ai '

</ k^{x){u'„-u'„+,,Ydx {b — xydx.

Or le premier membre de cette inégalité est supérieur (§ 5) à la valeur absolue de

pour toute valeur de x comprise entre a et b. Par suite, on peut trouver une valeur de n telle qu'à partir de cette valeur, on ait

£ étant une quantité donnée à l'avance aussi petite que l'on voudra. L'existence de la limite de u'„{x) est ainsi établie.

La fonction u„{x) converge, d'après ce qui précède, uniformément vers sa limite u'. Il est essentiel de remarquer que u'{x)

SUR CERTAIKES ÉQUAT10>S L1>ÉAIRES DU SECOND ORDRE. Il5

n'est pas identiquement nulle. On a, en effet,

W;,= ^ k{x)u'„dx.

Or nous avons vu que la limite de la constante W^ était différente de zéro; donc la limite de u'^ ne peut être nulle. La limite z/(^) satisfait à l'équation différentielle

d-u 1 » , , dx- c

et elle s'annule aux deux extrémités de {a, b).

9. Une remarque importante est à faire sur la quantité c, qui a joué un rôle si important dans ce qui précède. Considérons les expressions

5o{u)=f \(x)ii^'dx. i,{ii)= f f~ydx.

OÙ u désigne une fonction quelconque continue, ainsi que -r-r

dans l'intervalle (a, b). et s' annulant aux deux extrémités de l'intervalle. Soit, d'autre part, la série

u^ + Ujv -T- «2 A- -f- ... H- U,i /i« -f- . . . .

ordonnée suivant les puissances de la constante k. Puisque — ^ a

une limite déterminée différente de zéro, le rapport d'un terme au

précédent a pour limite

ck.

et la série précédente sera convergente tant que

Désignons par U la limite de cette série; c'est une fonction de X prenant pour x ^^ a et pour x ^=^ b [es valeurs w/i, et qui satisfait à Téquation

dx \} dx j

Or, partant de l'identité

(du u dVy d fu^ d\3\ \d~^ ~ V dx) '^ dx\V dx J

on aura de suite et, par conséquent,

J, — /Jo>0.

Le quotient ^^^ ^^t donc, quelle que soit la fonction u satisfaisant aux conditions indiquées, supérieure à toute quantité A inférieure à -• Ce quotient ne peut donc prendre une valeur

plus petite que -• Cherchons la valeur de

Jo(m')'

u' étant la fonction du § 8, qui s'annule pour a et b et satisfait à

l'équation

d- a' I 1 / N r dx'^ c

L'identité donne immédiatement

le minimum - du quotient

est donc atteint pour u = u' .

10. On pourrait se poser, au point de vue du calcul des variations, le problème de rechercher la fonction u s'annulant en a

et b et rendant niinima le quotient

Quand on applique la méthode des variations, on suppose toujours que le minimum est atteint, les questions d'existence de fonctions réalisant effectivement le minimum étant toujours laissées de côté. Soit donc une fonction a, s'annulant en a et ^ et rendant minimum le quotient précédent. Soit m ce minimum.

Nous avons à écrire que la variation du quotient est nulle, ce qui nous donne

Jo(m)8Ji(«) — Ji(m)oJo(w) = o ou

oJi(w) — /?ioJo(«) = o.

Or

r^' du dou ^ r'' d^u ^ ^

— il —, -, — dx = — •>. I -,-— ou dx.

. f dx dx . I dx-

On a donc

/ -y-^ H- m \{x)u ou dx = o,

d'où il résulte que la fonction «, satisfaisant aux conditions indiquées, vérifie l'équation

dr^u . . ^

dx-

Ce résultat est bien d'accord avec ce que nous avons obtenu plus haut.

11. Nous avons, dans ce qui précède, considéré un intervalle fixe (a, b). Supposons maintenant que, a restant fixe, on fasse varier b(b^a). La fonction A(jc) restera, bien entendu, positive pour toute valeur de x à partir de <7, pour laquelle nous aurons à la considérer.

Un premier point à peu près évident est que la limite c croît

I l8 CHAPITRE VI.

avec rintervallc («, b). On peut, en effet, définir c comme la limite de

['après un théorème élémentaire sur les suites. Or

/> W„ = / \{x)u,i dx.

Soit ùi "^ b; on aura

W/j = / A ( ^' ) ujt dx.

Or, de a à ^, on a nécessairement

U}i > Un,

comme on le voit de proche en proche à partir de u^ = «„= i . La limite c^ correspondant à l'intervalle (a, b^ ), est donc supérieure à la limite c, correspondant à l'intervalle (a, b).

Or pour b^ très voisin de «, on a évidemment c très voisin de zéro. Quand b s'éloigne de a, la limite c grandit. Tant que

les approximations successives convergent (§ 6), et une intégrale s'annulant pour a et b est identiquement nulle. Quand, b continuant à s'éloigner de a, on a

nous arrivons au cas limite extrêmement intéressant. Nous avons alors une fonction u', non identiquement nulle, s'annulant aux deux extrémités de l'intervalle (a, b) et satisfaisant à l'équation différentielle proposée

Quand, b continuant à croître, c devient plus grand que un, nous sommes assuré que les approximations successives ne convergent plus, et qu'il n'y a plus d'intégrales restant toujours positives dans (a, b).

Dans le cas particulier très simple où A(^) se réduit à une con-

stante A, on trouve immédiatement la longueur de l'intervalle minimum correspondant à une intégrale s'annulant aux deux extrémités. Soit l'équation

g+Aj^o (A>o):

l'intégrale générale étant

P sin(a7 /a h- 3t), l'intervalle cherché sera

et nous avons, par exemple, lïntégrale sin(j;y/A), restant positive de 0 à -^) et s'annulant pour ces deux valeurs.

ll2. Considérons une intégrale s'annulant pour x = a, et cherchons à la suivre quand x grandit à partir de a. Elle s'annulera la première fois pour la valeur x ■= b dont nous venons de parler (pour laquelle c = i). Arrivé à. x = bj nous nous trouvons dans les mêmes conditions qu'au point de départ. L'origine des intervalles étant maintenant 6, à ce point b correspondra un intervalle bb'^ pour lequel la limite c' sera égale à l'unité (il pourra, d'ailleurs, arriver que b' n'existe pas, la limite c' étant toujours inférieure à iin^ si grand qu'on prenne l'intervalle à partir de b). Notre intégrale aura donc la nouvelle racine k x = b', et l'on continuera ainsi indéfiniment, si la fonction A(j:) est définie pour toute valeur de x. On voit donc comment on pourra, de proche en proche, faire l'étude de l'intégrale.

II. — Introduction d'une constante arbitraire dans Téquation différentielle (0-

13. Nous allons considérer maintenant une équation différentielle linéaire du second ordre dépendant d'un paramètre arbi-

(') J'ai résumé ce Chapitre dans iiiic Note des Comptes rendus : Sur les équations différentielles du second ordre renfermant un paramètre arbitraire (19 février iSg'i).

traire, et, pour nous rapprocher du cas étudié dans la Section précédente, prenons l'équation

où A(^) est une fonction />05i7iVe dans l'intervalle (a, b) el k une constante. Nous pouvons former une intégrale de cette équation,

prenant pour x = a, ainsi que sa dérivée ~, des valeurs numériques arbitrairement données. Soit

cette solution, qui dépend manifestement aussi de k, et qui, d'après un théorème général précédemment établi (Chap. V, §5), est une fonction de k holomorphe pour toute valeur de A\ Envisageons de même une seconde solution

qui correspond à un second système de valeurs numériques initiales de j- et ^. On suppose seulement que les systèmes de valeurs numériques ne soient pas, dans les deux cas, proportionnels, de manière que les deux solutions soient distinctes. Une solution quelconque sera de la forme

Cf. el ^ étant des constantes arbitraires. Nous pouvons choisir a et ^ de manière que cette solution prenne, pour œ =^ a et x = b, des valeurs déterminées d'ailleurs arbitraires. Il n'y aura d'exception que si le déterminant des deux équations du premier degré est nul, c'est-à-dire si l'on a

(2) ri(«, ^^)72{b, /O -ri{b, k)y,{a, k) = o.

Si k satisfait à celte relation, on pourra choisir a et [3 de telle sorte que la solution

s'annule en « et b. On aura donc, pour les valeurs de k satis-

faisant à V équation (2), une intégrale de V équation (i) s^ annulant en a et h^ et qui n est pas nulle identiquement.

14. Le premier membre de réquation (2) étant une fonction de A', liolomorphe dans tout le plan, les racines ne pourront former qu'une suite discontinue.

Montrons que les racines de Téquation (2) ne peuvent être que des quantités positives. Nous allons voir en effet que, pour une valeur imaginaire ou négative de A", il ne peut y avoir d'intégrale s'annulant aux deux extrémités sans être nulle identiquement. La chose nous est connue pour les valeurs négatives (Chap. V, § 13). Quant à ce qui concerne les valeurs imaginaires, nous aurions, en

posant

y — Uy-\- iu.^. k = k' -{- ik" .

— —^^ H- (A- ^ ik")X(x){ui-{- m,) = o

et, par suite, on aurait

^^ -h k' A{x)ui- k" X{x)u, = o,

d^ II-

——■ -h k' k{x)ui-~- k" k{x)ui= o,

la solution (w,, u-^) s'annulant en a et b. Ceci est impossible; car des deux équations précédentes on tire

/ k" k{x){u\-^ ul)dx = 0]

w, et U2 seraient donc identiquement nuls, si A "^ o.

lo. L'existence d'une suite indéfinie de quantités positives A"i, A"2, . . . , A/j, (A-« augmentant indéfiniment avec /?), pour lesquelles l'équation

^,+AvA(^)^ = o

a une intégrale nulle aux deux extrémités de (a, h) sans être identiquement nulle, peut s'établir simplement comme il suit.

Tout d'abord, le premier terme de la suite que nous désignons par k^ a été déjà considéré dans la Section précédente; il est l'inverse de la quantité c, qui a joué dans cette Section un rôle si important. En effet, tant que l'on a

les approximations successives convergent dans l'intervalle (a, b) pour l'équation

et il n'j a pas d'intégrale nulle aux deux extrémités de l'intervalle [sanï zéro). Nous savons, au contraire, que pour

il y aura une telle intégrale.

Faisons maintenant croître k à partir de /«i {fig. i ); nous au-

Fig. I.

rons une intégrale telle que aQb' s'annulant en a et b' ^ ce dernier point étant à gauche de 6, et une intégrale bC'a' s'annulant en b et en a'. Gomme ces intégrales ne sont déterminées qu'à un facteur près, je puis figurer l'une au-dessus de Ox, l'autre au-dessous. Continuons à faire croître k', a' marche vers la droite et b' vers la gauche. A un certain moment ils coïncideront en un point a, et, comme les intégrales dessinées ne sont déterminées qu'à un facteur près, on peut les choisir de telle sorte qu'elles se raccordent en leur point commun. On aura alors \di fig. 2 et les deux courbes dessinées correspondent à une même intégrale. Nous concevons

SUR CERTAINES ÉQUATIO.XS LINÉAIRES DU SECOND ORDRE. 12cJ

donc ainsi l'existence de la seconde valeur Ao pour laquelle il y aura une intégrale nulle en a et 6; cette intégrale s'annule une fois entre a et h.

Fig. 2.

On continuera à raisonner de la sorte. On aura, k étant un peu supérieur à Ao, le dessin suivant d'intégrales {fi g. 3) : le point y

Fis:. 3.

marchera vers la droite et ô vers la gauche à mesure que A grandira, et pour une certaine valeur de A', soit A3, on aura \^fig. 4,

Fis

et l'on peut choisir la constante dans l'intégrale partant de h (de b en s) et dans l'intégrale partant de a (de a en e) de manière à avoir, par l'ensemble des deux, une seule intégrale. Nous arrivons donc ainsi à une valeur k^ pour laquelle il y a une intégrale nulle en <7 et ^; cette intégrale s'annule deux fois entre a et h. On continuera ainsi indéfiniment, et l'on démontre ainsi l'existence d'une suite

de nombres grandissant indéfiniment, et correspondant aux valeurs de A pour lesquelles l'équation

a une intégrale nulle en a et h. Il est clair que kn augmente indéfiniment avec /i, caries intervalles aa, as, . . . vont en diminuant

indéfiniment. D'ailleurs, ces nombres étant les racines de l'équation transcendante (2) dont le premier membre est une fonction entière de k ne peuvent avoir pour point limite un point à distance finie.

16. Ceci posé, envisageons rinlégrale u de l'équation (i) prenant en a et ^ des valeurs numéi'iques A et B données d'ailleurs arbitrairement. Nous regarderons l'intégrale u comme fonction de k; cette fonction de k sera évidemment uniforme dans le plan de la variable complexe k et elle aura pour pôles les termes de la suite (S).

Nous allons montrer que ces pôles sont des pôles simples.

Ecrivons l'équation

Elle admet une intégrale jTq s'annulant en a et ^, et soit Yq une seconde intégrale distincte de la première et, par suite, ne s'annulant pas pour X ^= a. Soit maintenant l'équation

Cette équation admet deux intégrales y et Y prenant respectivement, pour X = a^ ainsi que leurs dérivées premières, les mêmes valeurs queyo et Yo, et leurs dérivées premières. D'après le théorème général, déjà plusieurs fois appliqué, ces intégrales seront des fonctions entières de [jl, et l'on aura le développement

(4) r=7o+7i;-^+--., Y = Yo-f- Yi[a+...,

y^^ y-i^ •••?Y^,Y2, ... s'annulant nécessairement pour jt = a. Une intégrale u de (3) est de la forme

Cherchons à déterminer les constantes a et [B de manière que cette intégrale prenne pour a el b les valeurs A et B. On a les deux équations

pYo(a)=.A, a[7i(^>)iJL-K...] + fJ[Yo(^.)+...] = B.

On voit donc que ^ est une constante par rapport à u. et que 7. admet le pôle ui = o. Ce pôle sera simple si l'on a

Nous allons établir qu'il en est bien ainsi. On a les deux équations

-^ kik{x)y\ = o,

-^ + A-/ A(.r)jKi 4- A(^)jo = O,

obtenus en substituant dans (3) les développements (4)- Or, des deux équations précédentes, on conclut

La première intégrale s'effectue immédiatement; elle serait nulle, si l'on avait y, (6) = o, et l'on serait alors conduit à une absurdité. Nous arrivons donc à la conclusion que ki est un pâle simple de u.

17. Nous arrivons maintenant au calcul des quantités A\. Tant que k sera inférieur à A", , on aura pour u le développement

u = Ua-i- iiik -i- . . .-{- Un /c" -h ,

Uq prenant en a et 6 les valeurs A et B et les autres u s'annulant aux deux extrémités de l'intervalle . Ces divers coefficients sont des fonctions de x déterminés de proche en proche par les équations

d-ii^ d-iii , , ,

d^Un

•' dx^

Formons les constantes

Vn= f Uoix) Un(x) \{X) dx,

qui présentent la plus grande analogie avec les quantités W/^ con-

sidérées au § 3 de ce Chapitre. Dans ce cas Uq se réduisait à l'unité, tandis qu'ici Uq dépend de x et peut être de signe variable. Quoique Uq et u,i ne soient pas nécessairement d'un signe invariable dans («, 6), toutes les constantes U,/ sont positives; on le voit de suite en remarquant que

U2« = / A(a;)uldx et U.2«-+-i = /

et 1 on a aussi

dx dx ' '

Um-f-,i= / u„iU,iA{^) dx ~ I

la dernière égalité supposant m ^ o.

On établira, comme au § 4 de ce Chapitre, les inégalités

mais, arrivé à ce point, nous devons modifier un peu les raisonnements. Il est clair que ^^^^ doit tendre vers une limite; sinon ce quotient grandirait indéfiniment avec /i, et la série

U 0 + Ui A- -+- . . . H- U„ /c'^ + . . .

ne serait convergente pour aucune valeur de k] or, cette série est égale à

iio(iio-^ iiik^. . .4- Unk"-h. ..) k{x)dx,

qui a un sens déterminé pour k < A,. La limite de ---- est doncau plus égale à -.-'

D'autre part, nous pouvons, comme au § 5, comparer

\lin\ à v/U2«.

La relation

donne pour u,i une somme de deux intégrales et, si l'on écrit l'équation

on aura

les conditions aux limites étant zéro pour A. Il en résulte, d'après le § o, que

\UA^)\< f k{z)\Un-,{z)\{b-z)dz.

Le reste de l'analyse de ce paragraphe est alors applicable, et l'on aura

\Ua{0c)\<K.^\hn.

K étant un nombre fixe. Il résulte de là et de ce qui précède, que les deux séries

lia -h ?<i /v -h . . . -h u,i k'^ -f- . . . ,

ont même cercle de convergence; donc

lim = j- (pour n = x).

18. Nous allons maintenant'calculer Ao. Puisque A", est un pôle simple de u, nous pouvons écrire

u = j- H- To H- (^1 A- -i- , . . H- f „ A« -h . . . ,

la série du second membre étant convergente jusqu'à /i=A\2. La comparaison de ce développement avec

u = «j-j- z/jA -f-. . .4- w„A»-h. . .

donne

et, par suite,

ii'= \im(iink'l),

car \im(i^,ik") est nécessairement nulle. Nous pouvons donc re-

garder u' comme connu et, par suite, les i>. Ces dernières fonctions satisfont au système d'équations, résultant immédiatement du système auquel satisfont les ii^ et de l'équation

a savoir :

-^- —kik{x)u =o,

Tous les p, sauf Cq, sont nuls en « et ^, et Vq prend en a et b les valeurs A et B.

Nous formerons alors la suite des quantités

V/i= / VQ{x)v,i{x)k{x)

dx^

et, sans rien changer à l'ensemble des raisonnements, on démontre que

Il m

Nous calculons donc ainsi la seconde valeur singulière /%. 19. On peut continuer ainsi indéfiniment. On aura

^'o + t^i A" 4- . . . H- v,i k'^ + . . . = -\- Wq-\- Wi A- H- ... + w,i k" 4- . .

la série du second membre étant convergente jusqu'à A' = A3. On obtiendra v' par la formule

ç'=\im{vnk1),

et les constantes

conduiront à la troisième valeur A'3, et ainsi de suite.

Nous avons donc obtenu le résultat que nous avions en vue. Les valeurs singulières kt peuvent être obtenues de proche en proche par un calcul régulier, ainsi cjue les intégrales nulles aux deux extrémités de {a, b) correspondant à ces valeurs singulières.

20. Nous nous sommes borné, dans ce Chapitre, à une équation particulière pour avoir des résultats très simples. On pourrait, d'une manière plus générale, considérer une équation

(^^ ^ + [A-A(^) + Ai(x)]g+[A-B(^)H-B,(:r)]j..o,

les A. et B étant continues dans un intervalle («, b).

Il n'y a, pour cette équation, d'intégrale s'annulant aux deux extrémités de l'intervalle, sans être identiquement nulle, que pour une suite discontinue de valeurs de A, racines d'une équation

G(Â:) désignant une fonction entière.

L'intégrale de l'équation (5), prenant en « et 6 des valeurs données, est une fonction uniforme de k dans tout le plan de cette variable et ayant pour pôles les racines de l'équation (6). La démonstration de cette proposition peut se faire par la même voie que pour l'équation spéciale sur laquelle nous venons de nous arrêter. Nous aurons d'ailleurs à revenir sur des questions de cette nature qui se rencontrent fréquemment en Physique mathématique.

3o CHAPITRE \lï

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES

I. — Discussion des intégrales passant par deux points pour une classe d'équations du second ordre.

1. Les conditions d'application de la méthode des approximations successives sont très diverses suivant les classes particulières d'équation qu'on étudie. Considérons ici l'équation

et supposons que, œ étant dans un certain intervalle, la fonction /{a',y), définie pour toute valeur de j, croisse constamment avec y et que Von ait identiquement

Il est clair que, dans ces conditions, fi^oc^y) sera positif quand y sera lui-même positif. Nous allons supposer, de plus, que la dérivée toujours positive

décroît quand y augmente.

Ces hypothèses faites, admettons qu'il existe une intégrale jk de l'équation (i), restant toujours positive (et non nulle) lorsque x varie entre o et ^, et ne s'annulant pas pour les valeurs extrêmes. Nous allons montrer que cette intégrale peut certainement être obtenue par la méthode des approximations successives.

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS N0.\ LINÉAIRES. l3l

Partons à cet effet de la fonction jKo satisfaisant à l'équation

et prenant aux limites les mêmes valeurs que y. Les équations -successives

d-vy

dx-^

fi^^yù)

{yn prenant les mêmes valeurs que j^ aux deux limites) montrent que

Jo<J'i<...<J'«.

11 faut montrer que y^ a y pour limite. Or considérons le quotient

y — vo y

D'après l'équation

y est plus grand que ro, et, par suite, le rapport précédent est plus petit que l'unité et n'atteint pas ce nombre : soit q son maximum ; on a

Ceci posé, l'équation

d-{y—yi) , r, . ^,

— 5^i ^f(^,y) -fi^o'o) = o

donne

y-y^= f ^U{^,y)-f{^-,yo)-\U-j'\dz (2) <; ^- » ^J

-^l [f(-,y)-fi^,yo)]{b-z)dz,

en remplaçant, sous les signes d'intégration, dansj etj),,, x par z.

l32 CHAPITRE VII.

Mais nous pouvons écrire l'inégalité

f(z.y)-f{z,y,) ^ /;(^, ^i)(.r-.ri) ^ .r-.ri^

car ^, > io- Or, de l'égalité

r-yo = f^f{z,y) (i - f ) ^-- + -^ j^ f{z,y) {b - z) dz,

rapprochée de l'égalité (2) et de l'inégalité

f(^^y)—f{z^yo) ^ fy(^-ti)(y — yo) y - yo J\^,y) fyi^.'^^Jy ^ y ^^'

on conclut

On aura de la même manière

y—yi

't ainsi indéfiniment

y—yn

y—yn-i De ces inégalités, on déduit

y~yn<yq"^^'

Cette inégalité établit bien que yn converge uniformément vers y. C'est ce que nous voulions établir.

2. Nous avons maintenant à rechercher les intervalles dans lesquels on peut être assuré d'avoir une intégrale toujours positive, et chercher en particulier s'il est possible d'avoir une intégrale s'annulant aux extrémités d'un intervalle sans être identiquement nulle. Nous avons dit que la dérivée toujours positive

fy{^,y)

allait constamment en décroissant quand y augmente, lorsque x a une valeur fixe quelconque dans un certain intervalle. Pour

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIO'S NON LINÉAIRES. 1 33

y = Dc, cette fonction aura une valeur déterminée; posons

on aura donc

Q(j:) pouvant être identiquement nulle.

3. Avant d'aller plus loin, rappelons un théorème, obtenu au Chapitre précédent, sur les équations différentielles linéaires. Etant donnée l'équation linéaire

(3) ^-i-Fix)y = o,

où la fonction P(^) est positive et définie pour un champ suffisamment grand de valeurs de ^, il existe une quantité a, telle que, dans tout intervalle (o, a') où a'< a, une intégrale nulle aux deux extrémités est identiquement nulle. Pour l'intégrale (o, a), au contraire, il existe une intégrale s'annulant aux deux extrémités et qui n'est pas nulle identiquement. Dans l'intervalle (o, a') la méthode des approximations successives conduit à une série convergente.

Si Ton considère une seconde équation de même forme

à cette équation correspondra un intervalle (o, ,3). Si Ton a

on aura nécessairement

i. Ceci posé, revenons à l'équation

Proposons-nous de montrer qu'^Y existe une intégrale (ne s'annulant pas identiquement) s'annulant

pour X = o et pour x = a,

a étant compris entre a et ^3.

l34 CHAPITRE VII.

Cette intégrale va nous être fournie par la méthode des approximations successives. Nous partons d'une fonction arbitraire, toujours positive, s'annulant pour o et pour a j nous allons montrer d'abord que la série des approximations successives est convergente. Considérons à cet effet une quantité positive s assez grande pour qu'en posant

la quantité, analogue à la lettre a du numéro précédent et relative à l'équation

soit supérieure à a\ ceci est possible puisque pour s = :/d la fonction R(^) se réduit à Q(^).

Ceci posé, cherchons l'intégrale de l'équation (E) prenant pour ^ = o et pour ^ = a la valeur £. La méthode des approximations successives nous fournira une suite de fonctions croissantes

Jo = £, y\. y^, ..., y,n •.••

Il est aisé de voir que cette suite a une limite. On a, en effet,

d'H.r>,— Vn-}) ., N /./ N

-j^^ — - +/(-^. rn-i) -/(^,.r«-2) = o.

Or

puisque j^/i, eiyn-2 sont supérieurs à £. Or la série des approximations successives converge pour l'équation linéaire

Il en est donc a fortiori de même pour l'équation (E).

Nous venons de trouver l'intégrale de l'équation (E) prenant pour .r = o et ^ = « la valeur s, s étant une constante suffisamment grande. Nous voulons avoir l'intégrale de l'équation prenant la valeur zéro aux deux extrémités. Or partons d'une fonction s'annulant aux deux extrémités et inférieure à s ; puisque les approximations convergent dans le cas qui vient d'être examiné ci-dessus, elles convergent nécessairement encore dans le cas actuel.

ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES. l35

jVous obtenons donc, par la méthode des approximations successives, une intégrale s'annulant pour x=^o et pour x = a. Une objection importante se présente toutefois immédiatement: l'intégrale que nous venons de trouver n'est-elle pas identiquement nulle?

Nous allons établir qu'il n'en est pas ainsi.

Montrons d'abord qu'on peut trouver une fonction continue j>'o de X, s'annulant pour ^ = o et pour ^ = a, et telle que dans l'in-

lervalle (o, a)

d'-Vo j., .^

-j^ +/(^,ro)>o.

Soit r, une quantité positive, et posons

Nous pouvons prendre r, de telle sorte que la quantité a,, correspondant à l'équation linéaire

soit égale à a. Désignons alors par yo la fonction continue satisfaisant à cette dernière équation entre o et a et s'annulant pour ces deux valeurs; de plus, comme elle n'est déterminée qu'à un facteur près, nous la prenons telle qu'elle ne dépasse pas t,. Nous avons ainsi une fonction continue parfaitement définie, telle que

nous allons la prendre pour commencer les approximations successives. La seconde fonction y, est déterminée par l'équation

et par la condition de s'annuler pour ^ = o et pour x = a. Il est facile de voir que

y i> ro-

si nous écrivons, en effet, Vi = i'o^ ^^? nous aurons

d-n d-\vo

dx-^ dx'^

l36 CHAPITRE VII.

La somme des deux derniers termes est positive; X s'annulant aux deux extrémités de l'intervalle (o, a) sera donc positif dans cet intervalle. Nous aurons donc bien l'inégalité annoncée. Du moment que y, >jro7 on awra

et ainsi de suite. L'intégrale cherchée y sera donc supérieure à y^ ; elle ne sera pas identiquement nulle.

En définitive, nous avons démontré dans ce paragraphe qu'^V existait une intégrale de V équation

S annulant pour x^=^o et pour x ^ a^ et toujours positive dans cet intervalle.

5. L intégrale dont il vient d^être question est unique. Ceci est une conséquence de l'analyse du n° 1. A la vérité, l'intégrale toujours positive y^ que nous avons considérée dans ce numéro, ne s'annulait pas aux deux extrémités; le raisonnement subsiste sans modification si l'intégrale s'annule seulement à une des extrémités, soit pour ^ = o, et si l'on suppose, de plus, que

-^- ne soit pas infinie pour ^ = o. Il est évident d'ailleurs que — - ne

sera pas nulle pour ^ = o, car autrement y serait identiquement nulle. Si nous prenons alors le rapport

du n° 1, ce rapport sera plus petit que l'unité même pour ^ = o,

car

( yo\ tann^O' x:^o\y J tangO

9 et 9' désignant deux angles aigus différents de zéro et de - et l'on a