O'IO
Si l'intégrale toujours positive y s'annule aux deux extrémités de l'intervalle, le raisonnement doit être modifié, car on ne peut
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faire les approximations successives en partant de la fonction Ko satisfaisant à l'équation
On suppose que Ton parte de la fonction y^ considérée à la fin du numéro précédent, pour laquelle
t?-/(^,ro)>o.
On peut de plus supposer que j)'o<J" {yo n'étant déterminé qu'à un facteur près).
Nous pouvons affirmer alors que l'expression
reste moindre qu'un nombre q plus petit que l'unité, puisque pour
^ = o et X =z a la limite de — ne peut être nulle. Il n'y a plus
alors qu'à raisonner comme au n° 1 pour voir que jV/ a nécessairement une limite, et cette limite est j^. Cette intégrale y est donc unique.
6. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que a était distinct des valeurs extrêmes a et ,3. Montrons que l'intégrale tend vers zéro quand a tend vers a. Nous allons raisonner comme au n° 4, quoique dans des circonstances un peu différentes. Nous pouvons prendre la constante £ assez petite pour que, ayant posé
l'intervalle a' dans lequel s'applique, pour l'équation
la méthode des approximations successives, soit aussi peu supérieur que l'on voudra à a. Choisissons alors a entre a et a'. D'après le n*" 4, l'intégrale y de notre équation
^SE UBR^^
OPTHE
77^-^/(^.j) = o (UNIVERSITY
CIIAPITHE Vil.
est moindre que l'intégrale, prenant pour x ^= o et ^ = a la valeur £, et obtenue comme limite des approximations convergentes
Or on voit que chacun de ces j^ est de l'ordre de e, c'est-à-dire peut se mettre sous la forme du produit de £ par une fonction restant finie; notre intégrale jk est donc elle-même de l'ordre de £• comme on peut faire tendre £ vers zéro à mesure que a se rapproche de plus en plus de a, il en résulte que l'intégrale j^ tend vers zéro, comme nous l'avons annoncé.
Supposons maintenant que a tende vers fj. Nous aurons recours alors à la seconde partie du raisonnement du n" 4. Puisque a est très voisin de [3, nous pouvons prendre la quantité 'r\ extrêmement grande. Supposons de plus que le maximum de la fonction j'o soit précisément t^, ce que nous pouvons toujours réaliser, puisque jKo n'est déterminé qu'à un facteur près. Dans ces conditions, notre intégrale atteindra certainement une valeur supérieure à 'r\. Gomme r\ est aussi grand que l'on veut, si a est suffisamment rapproché de [îi, on voit qu'il n'y a pas d'intégrale continue (sauf j/ = o) s'annulant pour .r = o et pour x =■ ^. Pour une valeur fixe quelconque de X (distincte de o et a) la valeur de l'intégrale y de l'équation
s'annulant pour o et pour a, augmente indéfiniment quand a tend vers p. Il résulte encore de ces considérations que, pour l'intégrale y correspondant à a, la valeur de la dérivée -j- pour x := o
varie d'une manière continue de zéro à l'infini quand a varie de a à [3.
7. Dans tout ce qui précède, nous n'avons étudié que les intégrales restant toujours positives (ou nulles). Pour étudier d'autres intégrales, il est évidemment nécessaire de faire des hypothèses sur la nature de la fonction /(.r,j^) et de ses dérivées pour y né-
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galif. Supposons encore que cette fonction, qui s'annule' pour y=o, croisse toujours en même temps que y, et que la dérivée
toujours positive, ait un maximum pour y = o, et n'ait ni minimum ni autre maximum. On pourra alors étudier toutes les intégrales de Féquation. Faisons seulement, pour le moment, la remarque que l'intégrale étudiée aux n*^' 4 et o, et qui s'annule pour ^ = o et pour X = a, ne sera pas nécessairement unique si l'on ne la suppose pas toujours positive dans l'intervalle (o, a). D'une manière plus générale, une intégrale n'est pas nécessairement déterminée dhine manière unique dans V intervalle (o, a) par ses valeurs initiale et finale; nous allons toutefois montrer qu'il en sera nécessairement ainsi dans le cas où
Soient, en effet, y et z deux intégrales supposées distinctes satisfaisant aux mêmes conditions. On aura
ou
). étant compris entre y et g. Or on a
Il en résulte que l'intervalle, partant de zéro, dans lequel une intégrale s'annulant aux deux extrémités est identiquement nulle, est plus grand pour l'équation
que pour l'équation
Il est dès lors évident que les deux intégrales coïncident (' ).
(») Pour l'extension à un nombre quelconque d'équations des résultats de cette Section, on pourra consulter mon Mémoire de 1898 dans le Journal de Mathématiques.
l40 CHAPITRE VII.
II.— Quelques cas particuliers. Exemples de solutions périodiques. 8. Reprenons l'équation
en faisant les mêmes hypothèses que dans la Section précédente. Ces hypothèses étaient relatives à y positif. Si nous voulons étudier des intégrales devenant négatives, il est indispensable de compléter ces hypothèses. Supposons donc que l'équation obtenue en changeanlj/ en — y, c'est-à-dire l'équation
rentre dans le même type que l'équation (E), pour y positif.
Toutes ces conditions étant remplies, nous sommes assuré de pouvoir suivre une intégrale quelconque pour toute valeur de x^ si, bien entendu, nous supposons /'(.5?, y) définie et continue pour toute valeur réelle de x. L'équation (E) appartient, en effet, au type d'équations au sujet desquelles nous avons démontré (§3) un théorème général.
Toute intégrale de V équation (E) devra nécessairement s'annuler. Supposons, en effet, qu'une intégrale ne s'annule pas à partir de ^2" = o. Désignons encore par a et ^ (n*^ 4) les deux nombres relatifs à .^ = o, qui ont joué un rôle fondamental dans toute la théorie de la Section précédente. Si l'intégrale considérée ne s'annule pas à partir de .r = o, nous aurons une intégrale restant toujours positive et différente de zéro dans un intervalle (o. A), h étant supérieur en [3. On pourra alors obtenir une intégrale, non identiquement nulle, s'annulant pour ^ = o et pour ^ = A, et restant toujours positive dans cet intervalle, ce qui est en contradiction avec les résultats précédemment obtenus, puisque c'est seulement dans l'intervalle (o, a), oi^i
que l'on peut déterminer une intégrale s'annulant aux deux extrémités et toujours positive dans l'intervalle.
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On peut encore démontrer de la manière suivante le théorème précédent, en remarquant que, si a est inférieur à |3, mais en est très voisin, l'intégrale qui s'annule pour ^ = o et pour x ■=^ a devient très grande (n" 6); la courbe intégrale que nous étudions et cette seconde courbe intégrale auront donc au moins deux points communs, et, par suite, nous aurions deux intégrales positives prenant les mêmes valeurs pour deux valeurs de x^ ce qui est impossible.
L'intégrale s'annulant une fois devra s'annuler une infinité de fois, et, comme nous l'avons dit d'une manière générale, on pourra suivre sa valeur de proche en proche.
La courbe représentée par toute intégrale aura donc la forme d'une sinusoïde, et l'on peut dire que le problème de l'intégration pour l'équation (E) est résolu, si l'on entend par là qu'on peut suivre avec précision les valeurs de la fonction quand x augmente indéfiniment.
9. Soient deux valeurs ^o et x, de x{^Xç^<Cx^\ A un intervalle commençant en x^ correspondent pour l'équation (E) une longueur jj et une longueur a, en gardant toujours la même notation générale.
Considérons ensuite l'équation transformée de E
Pour cette équation en x\ nous aurons, pour un intervalle commençant à j;'=: o, une longueur jj' et une longueur a'. Supposons maintenant que les quantités
Xo, ^1— 3', 370 H- ?, ^1
soient rangées par ordre croissant de grandeur et que, de plus,
Nous allons montrer qu'«7 existe au moins une intégrale de Véquation s^ annulant pour x ^^ Xq et pou?' x^= x^. Désignons par \ une arbitraire comprise entre
Xi— '^' et 370+ ^.
Il y aura une intégrale toujours positive de l'équation (E) s'annulant pour œo et X; de même l'équation (E') admettra une intégrale toujours positive s'annulant pour x' =^ o et x' = x^ — ). et, par suite, l'équation (E) admettra une intégrale toujours négative s'annulant pour ^ = .t^ el x =^\. Les deux intégrales que nous venons de trouver peuvent-elles être la continuation l'une de l'autre? Il faut et il suffît que leur dérivée première ait la même valeur
pour X =^\. Désignons par 0 et 9' les angles compris entre o et -'
que font les tangentes aux deux courbes au point ^ = A, y =z o avec l'axe des x. L'équation
est une équation en )., puisque 0 et 9' dépendent de \. Il faut montrer que cette équation a une racine entre Xi — [i' et Xq-{- ^.
Or, quand x est très voisin de Xi — P', 9' est voisin de -, tandis que 9 a une valeur différente de ^j donc 9 — 9' est négatif pour cette valeur de x; au contraire, pour ^ voisin de ^0+ P? 9 est voisin de - tandis crue 9' a une valeur différente de - : la différence
9 — 9' sera alors positive. L'équation écrite ci-dessus aura donc au moins une racine correspondant à une valeur X, telle que
^1— P'<Xi<^o+p.
Est-on assuré que l'intégrale correspondante ne sera pas nulle identiquement? Oui, puisque autrement il faudrait que l'on eût à la fois
ce qui est incompatible avec nos hypothèses. Nous avons donc bien une intégrale non nulle identiquement et s'annulant pour X = Xq et X =z Xi] cette intégrale ne garde pas un signe invariable entre les deux valeurs extrêmes.
10. Occupons-nous maintenant d'un cas particulièrement intéressant : celui où la fonction y*(^,j>/) serait périodique par rapport à ^ et de période to. Considérons un intervalle (xq, ^0+ ^)- En supposant remplies les hypothèses du n^ 9, nous avons une
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intégrale s'annulant pour Xq et jCo-{- co. Cette intégrale ne sera pas en général périodique, car pour Xq et ^o+ ^'^ les dérivées n'auront pas la même valeur. En écrivant cette condition, on aura une
équation en Xq
A chaque racine réelle de cette équation correspondra une solution périodique.
L'étude des racines de cette équation sera, en général, extrêmement difficile. Je veux indiquer cependant un cas simple où l'on pourra établir l'existence d'une solution périodique. Reprenons l'équation
satisfaisant aux conditions des paragraphes précédents. La fonction f[œ^y) est périodique par rapport à .r et de période co. Supposons que
et que, de plus,
Partons de Xq = o. Si, comme nous l'admettons, les nombres a et j3 relatifs à l'origine comprennent entre eux - {fig- 5), il 3^ aura
Fis:. 5.
une intégrale de l'équation s'annulant pour j:: = o et ^ = — et qui
ne sera pas identiquemenl nulle. Je dis que cette solution sera une solution périodique.
Prenons, en effet, la courbe symétrique par rapport à .r == - ? j' = o, de la branche de courbe dont nous venons de parler. Il est aisé de voir qu'elle satisfera à l'équation différentielle.
En désignant par y = cp(^) l'équation de la première branche, on aura pour équation de la symétrique
Donc
el nous devons montrer que l'équation
— f{^ — ^)^f[x, - cp(w — :r)J = o est vérifiée. Or elle pourra s'écrire
Ç"(C0 — a7)-+-/[.r, cp(tO — ^)] zzzo,
et enfin, puisque /(^, y) =/(w — x, y),
cp"(w — X) +/[co — x,^{m — x)\ = (),
qui est manifestement vérifiée.
