Indiquons un exemple. Soit l'équation
Nous regardons la fonction f{x, y) correspondante comme admettant la période 27r, c'est-à-dire que w = 271; on a bien en plus
L'équation rentre d'ailleurs dans la classe qui nous occupe actuellement. Il nous faut chercher les deux nombres a et j3 pour reconnaître si l'on a
Or a est le nombre relatif à l'équation linéaire et p correspond à l'équation linéaire
Nous aurons donc ici, pour la première équation,
dx^
iy = o,
ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES. i^o
et, pour la seconde,
Pour la première équation, nous avons de suite a= ~; dans un intervalle moindre que -^ une intégrale s^annulant aux deux
extrémités est identiquement nulle. Pour la seconde équation nous ne pouvons trouver la valeur exacte de 3 (si ce n'est sous forme de série), mais nous pouvons avoir une limite inférieure de |â et cela nous suffira. Si, en effet, au lieu de la seconde équation, on envisage l'équation
cl\y ^
le nombre ?> correspondant à l'équation ^ -| 1 j^-sin^j:- — o
sera plus grand que celui qui correspond à cette dernière équation. Par suite
Puisque a— '"^ et ,j>-y 2, nous sommes assuré que les ^/.> 1
inégalités a < - < 3 sont vérifiées.
Il existe donc une intégrale de période 1- pour V équation proposée, et nous pouvons l'obtenir sous forme de série convergente, par notre méthode d'approximations successives.
m» — Sur une classe d'équations à laquelle s'appliquent les procédés alternés.
12. Considérons maintenant des équations différentielles d'un type différent au point de vue des hypothèses relatives aux fonctions qui y figurent. Soit l'équation
où nous supposons, la fonction f(jc, y) toujours positive et croissant en même temps que y. On est assuré (Chap. V) qu'il P. - lir.
l46 CHAPITRE VII.
ne peut exister qu'une seule intégrale de cette équation prenant des valeurs données pour ^ = « et pour x =^ b.
On peut supposer que ces valeurs données sont nulles, ce qui revient à remplacer j^ pary + ax+ [i en désignant par a et p des constantes convenables.
Appliquons alors les approximations successives, en partant de y^z=z o] on aura ainsi
tous les j^ s'annulant pour ^ = a et pour x^= b. On voit d'abord immédiatement que tous \.Qs y sont négatifs; on aura de plus
0>J.>JKi,
puisque /(.r,j^i ) <Cf{^, o). De même
Jl<r3<r2, r2>74>JK3,
et ainsi de suite, le sens des inégalités entre trois y consécutifs variant d'une ligne à la suivante. Les, y à indices impairs forment donc une suite croissante et les y à indices pairs une suite décroissante; d'autre part, tout terme de la première suite est inférieur à un terme quelconque de la seconde. Les y à indices impairs auront donc une limite u^ et il en sera de même des y à indices pairs qui auront une limite ç. Ces deux limites sont des fonctions de œ^ s'annulant en a et 6, et l'on aura
et comme on a
on aura
ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUÀTIOXS NON LINÉAIRES. l47
si toutefois on admet que les y d'indices pairs et les y d'indices impairs tendent uniformément vers leurs limites r et u.
13. C'est une question intéressante de savoir si w = r. La réponse est certainement affirmative d'après un théorème général étudié au Chapitre Y (Section II), si V intervalle {a, b) est suffisamment petit. Mais en est-il ainsi en général? Pour répondre à cette question prenons l'équation très simple
qui rentre dans le type précédent. Considérons une intégrale s'annulant pour œ ^ o et négative pour a: positif et assez rapproché
de l'origine. On aura
y. étant une quantité positive inférieure à un. L'intégrale y ira en décroissant depuis j- = o jusqu'à la valeur loga qui sera son minimum; cette valeur minima sera atteinte pour
La seconde racine de Tintégrale y (après l'origine) correspondra donc à
ou. en posant loga = 3 < o,
dv
L'intégrale considérée y s'annule donc pour .r = o et œ ^ b'^ elle est négative et son minimum est loga.
Reprenons les équations relatives aux approximations successives
Si l'on suppose que^/^ converge uniformément vers j^, il arrivera.
à partir d'une certaine valeur de /z, que - ey'n^x différera très peu de 7 ey et sera, par suite, supérieure à
LZ%i<>sa ou -(i — £),
en désignant par s une cpiantité positive fixe aussi petite qu'on voudra.
Considérons alors les équations
dx^
dX' 2
rt-Hiî
en prenant «/,^, = j /^^^ — y^-^ et les autres a étant déterminés par la condition de s'annuler en o et h. On aura
I "«+/' i < I yii+p — fn+p-i i , (/? = 2. . . . , x)
et la série de ternie général
{yn^p — yn^p-\) est, par hypothèse, convergente.
Or prenons la suite des équations
rZ2 ('„+=> , a
dx-
(l— z)Va^i = O,
les ç s'annulant comme les ii aux deux limites, et en ayant ('/2+I = ^^«+1- l-iGs V seront tous de même signe, tandis que les u sont alternativement positifs et négatifs; les u et v de même indice ont même valeur absolue. Par suite, nous pouvons écrire
\^n+p\<\yn+p — yn+p-ï\\
la série de terme général
sera donc convergente tant que | A | << i , puisque la série de terme général {fn^p — y„+p^\) k'^'^P est convergente dans ces conditions, étant convergente pour /r = i . Ceci revient à dire que la
ÉÏLDE DE QUELQUES ÉQUATIONS >0X LINÉAIRES. 149
série des approximations successives converge pour l'équation
dx- 2 "
dans tout intervalle (o, 6'), y étant inférieur à b^ mais en étant aussi rapproché que Ton veut.
Or le champ correspondant à cette dernière équation est
Si donc cette expression est inférieure à h^ il en résultera que les approximations ne pourront converger vers y. Nous devons donc, par suite, voir si l'inégalité
peut être vérifiée. Nous allons montrer que l'inégalité est bien vérifiée si a est assez rapproché de zéro. Écrivons en efl'et
et dans le développement du binôme qui est sous le signe d'intégration, bornons-nous aux deux premiers termes, les termes négligés étant positifs comme les termes conservés; on a alors dans le second membre
OU, en remplaçant ^3 par loga,
Si donc riné2:alité
100 CHAPITRE Vil.
est vérifiée, il en sera de même de l'inégalité (6) puisque £ peut être pris aussi petit qu'on veut. Or, en prenant a assez petit, nous
n'avons à comparer que les termes en —--, ce qui nous conduit à
inégalité qui est exacte.
Donc, pour a assez petit et, par suite, pour b assez grand, les approximations successives ne convergent pas vers V intégrale y.
Les deux limites u et ç du paragraphe précédent ne coïncident donc pas, en général^ comme nous le voyons par le cas particulier qui précède (').
il. Nous avons dit que les approximations successives convergent quand l'intervalle est suffisamment petit. N'ajantà considérer que des valeurs négatives dejK, su])posons que la dérivée toujours positive
reste, pour j/ négatif, quel que soit x dans un certain intervalle, inférieure à un nombre fixe INI. 11 est facile alors de fixer une limite pour la longueur de l'intervalle dans lequel les approximations successives convergeront. Nous allons comparer les approximations successives pour l'équation
et pour l'équation
On a, d'une manière générale, en appliquant les équations à un intervalle (a, P),
(') Je m'étais borné, dans mon Mémoire de 1890 (Chap. V), à l'assertion que u était, en général, difTérent de v\ j'ai donné l'exemple précédent dans les Comptes rendus (avril 189^).
ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES. ^^^J
et l'on peut écrire
Y étant compris entre )•«, eiyn-i- Or considérons les équations
dx'-
d^ Ui
dx-
les u s'annulant aux extrémités de rintervalle. On aura évidemment
\yn — yn-i\<\Un\-
Or la série des valeurs
est convergente certainement, si l'intervalle (a, ^) est inférieur au champ fondamental (Chap. V, § 13) relatif à l'équation
