H- VI U = O
dxet ce champ est égal à
Ainsi, dans tout intervalle inférieur au nombre précédent, les approximations convergent pour V équation proposée,
lo. Reprenant l'équation
nous devons maintenant chercher comment nous trouverons l'm-
tégrale s'annulant pour ;r = a et ^ = ^ si l'intervalle {a, b) est
trop grand pour que les approximations successives y convergent.
Nous allons ici faire usage d'un procédé alterné analogue à
celui dont nous avons fait usage avec M. Schwarz pour l'étude de l'équation de Laplace.
Nous commencerons par démontrer deux lemmes :
1" Soient deux fonctions a et v satisfaisant à l'équation
continues, bien entendu, ainsi que leurs dérivées premières de a à b. Si, en a et en ^, on a
je dis qu'il en sera de même à l'intérieur. Si, en effet, u — v devient négatif entre a et h, il y aura entre a et ^ deux valeurs a et ,3 pour lesquelles on aura
Entre a et |3, on devra donc avoir u = r er, par suite, dans tout l'intervalle (a, b); par conséquent, on a toujours, soit u — r, soit ii'> v\ c'est ce que nous voulions montrer.
2'* Considérant toujours la même équation
l'intégrale u de cette équation s'annulant en a cl b sera évidemment négative de a à 6; on envisage de plus la fonction p s'annulant en a et ^ et vérifiant la relation
on aura manifestement
Si donc M désigne la valeur absolue maxiraa de v^ on aura
Ceci posé, prenons une intégrale de l'équalion
ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS >0N LINÉAIRES. 1 53
qui s'annule en h et prenne en a une valeur négalive dont la valeur absolue ne dépasse pas N; nous voulons trouver une limite de la valeur absolue de u en un point a compris entre a et b. Soit // rintéirrale de
qui prend en a et 6 les valeurs données; on voit de suite que
q étant un nombre compris entre zéro et un. Posons alors ;/ ^ U -h A, nous aurons l'équation
et nous devons considérer Tintégrale U de cette équation s'annulant en a et ^. U sera négatif et, comme h est négatif, on aura
a fortiori
|Ui<M.
Nous en concluons, et c'est là notre second lemme.
inégalité qui va jouer le rôle essentiel.
J6. J'arrive maintenant à la solution du problème proposé. Nous voulons montrer que l'on pourra trouver la solution de l'équation
prenant des valeurs données en ^ et ^ {fig- ^) ^i l'on sait résoudre cette question pour les intervalles j3a et ab.
Fis. 6.
Soit w, la solution déterminée dans {a^ b) et s'annulant en a et b. Nous formons alors la solution v^ s'annulant en ^ et prenant, en a la même valeur que u^. Revenant maintenant au premier
l54 CHAPITRE VII.
intervalle, formons la fonction u^ déterminée dans («, b)^ s'anniilant en b et prenant en a la même valeur que ç^ et continuons ainsi indéfiniment en passant successivement d'un segment à l'autre. Nous obtiendrons de cette manière deux suites
u^, lU, . . ., u,i, . . .,
?/, est négatif dans (a, b)^ donc v^ est négatif en à et, par suite, en a. Donc, si nous revenons à 112^ on aura, d'après le premier lemme,
Ui > Ui
et, en continuant ainsi, il vient de suite
0> Uv> U2>- ' .> Un>' ■ -, O > Pi > P2 > . • . > Vn>..-:
Il faut montrer que Un et Ça tendent vers une limite; il suffira de faire voir que | Un \ et | (^„ | restent inférieurs à un nombre fixe. C'est ce que va nous donner le second lemme.
Désignons toujours par M la valeur absolue maxima des intégrales de l'équation
d^ Il
s'annulant respectivement en a et b, puis en a et ,3. On a
(pour iT = a) I «1 I < M,
(pour X = a) |Pi|<M^H-M,
(pour X =^ y.) I ;^2 |< ^(M^ + iM) 4-M = M(rf--h q -^ i),
(pour X = a) I t'2 I < <7M(^'+ ^ "^ 0 + M = M{q'i-h q^--+- q ^ l)
et, d'une manière générale,
(pour X = Ol) \lln\< M(<72«-2|^2«-3h__ ,+,)^
(pour 37 = a) I t'/i |< M(5r2/i-l| ^2«--2 4. + ,).
Dans ces inégalités, ^, qui est moindre que an^ désigne le plus grand des deux nombres de même nom correspondant aux intervalles (<7, b), et (a, P) dans le second lemme.
Les inégalités précédentes montrent que Un (pour ^=a) et Vn (pour œ ■= a) tendent vers deux limites. Les fonctions Un et Çn
ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS >'0X LINÉAIRES. l55
tendent donc respectivement vers des limites u et c; la fonction a est définie dans Tintervalle (a, ^), et la fonction v dans Tintervalle (a, ?j). Je dis que u et v prennent respectivement les mêmes valeurs en « et en a; en effet,
Vn= Un (pour X = a ),
i'„= Un^i (pour X = a).
Donc, à la limite, v prend les mêmes valeurs que u pour x = a, et il en est de même pour x = a. Il en résulte que, dans l'intervalle («, a), on a
Nous ai'ons donc l'intégrale de l'équation s' annulant en b et en î^; elle est représentée par u dans l'intervalle («, 6), et par r dans l'intervalle (a, ^3).
17. Nous avons considéré, dans ce qui précède, une seule équation. On pourrait chercher à traiter des problèmes analogues en prenant un système d'équations de la forme
(l-Vi r / \
-^,y =fi (T,yy,j',, ....J',„),
les / étant des fonctions toujours positives et croissant avec les y.
Je ne dirai que quelques mots sur cette extension, en me bornant à renvoj^er au travail que j'ai déjà cité. Les résultats précédents ne s'étendent pas d'eux-mêmes à un tel système. Ainsi soient, en se bornant à ni = 2, les deux équations
y et 'o étant positifs et croissant avec y et z. On ne doit pas chercher à établir qu'il n'existe qu'un seul système d'intégrales continues prenant pour j: = a et ^ = 6 des valeurs données : le fait
l56 CHAPITRE VU. — ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
n'est pas nécessairement exact. Considérons, par exemple, l'équa-
f étant positif et croissant avec y. Il y a une intégrale Y s'annulantaux deux extrémités de l'intervalle («, ^). D'autre part, les approximations successives donnent, en général, deux limites jj/^ et z, différentes, s'annulant en a et b, et satisfaisant, sous la réserve de l'hypothèse faite à la lin du § l^J, aux deux équations
Si donc on envisage ce système, il admet, avec les mêmes conditions aux limites, les deux systèmes de solutions
y ^^ \ i y-^yx.
Ils ne coïncident que si l'intervalle est assez petit,
SOLLTIO-\S DE CEllTAINES ÉQUATIONS DIFFÉUENTIELLES. IDJ
DES SOLUTIONS PÉRIODIQUES ET DES SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉ- RENTIELLES.
I. — Remarques générales sur la continuité des intégrales des équations dépendant d'un paramètre arbitraire.
I. Considérons une équation différentielle dépendant d'un paramètre [A. Soit
Envisageons la solution
qui s'annule pour t = o. Soit, pour >x -= o, la solution
que nous allons supposer être continue de / = o à t ^= t^^. De plus, on admet que
peut, pour t compris entre o et f^^ se développer suivant les puissances de
UL et .r — 0(^, o),
les coefficients du développement étant des fonctions d'ailleurs ([uelconqnes de t. Nous nous proposons de montrer que Vintéqrale
peut se développer suivant les puissances de a, pourvu que ;j. soit suffisamment petit, />of^/- toute valeur de t compris entre o et t^.
J3o CHAPITRE VIII.
Tout d'abord, on ne restreint pas la généralité du lliéorème, en supposant que 9(^, o) est identiquement nul, ce qui revient à faire un changement de fonction de la forme x' = œ —- ^{t, o). Nous plaçant donc dans cette hypothèse, la fonction
sera ordonnée suivant les puissances de x et de \k pour | ^ | et | ij. 1 suffisamment petits, quel que soit l compris entre o et /„, et s'annulera pour :r =: a 1=: o. Écrivons
f{x, [^, ?) =1 Aa-4- B[jL-f-. ..,
les coefficients étant des fonctions de /.
Posons
fx cil
a désignant la fonction de / satisfaisant à la relation
^, =A„H-B, et s'annulant pour / = o.
L'équation proposée se transforme en la suivante dx'
('^) ^^f = Ai.2''2-i-2Bi^';Jl-f-Gi|Jl2-f-...,
qui est de même forme, mais où il n'j a pas de terme du premier degré en x' et li.. Les coefficients du second membre sont des fonctions de t continues de / = o à / == ^y, et ce développement peut être regardé comme absolument convergent pour toute valeur de x' et UL telle que
p et r étant deux constantes fixes, la variable réelle t ayant d'ailleurs une valeur quelconque entre o et Z^.
2. Nous avons à chercher l'intégrale de l'équation (2) s'annulant pour i = o. Représentons l'intégrale par la série que donne la méthode des approximations successives : cette série converge
SOLUTIONS DE CEKTAI.XKS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. lOQ
certainement depuis t = o jusqu'à la valeur de /, correspondant à la plus petite des deux quantités
en désignant par M la valeur absolue maxima de
pour
o^t^tQ et l-^'l^o.
Or nous pouvons prendre comme nombre M le maximum de la série
pour t compris entre o et Cq. Si donc nous considérons le quotient
Al ip^-^'2, Bi I rp ^ i Cl j r
nous pouvons donner à /• et p des valeurs indépendantes suffisamment petites pour que ce quotient soit supérieur à Iq.
La convergence de la série donnée par les approximations successives sera donc assurée depuis t = o jusqu'à t = Iq, sous la condition | a | <C /'.
Nous avons donc lïntégrale de l'équation
dx
s'annulant pour ; ^ o, représentée par la série
a^,-i- (jr, — j-i ) 4-. . .^ (\r„ .r„i) -^. . .
que donnent les approximations successives, et, d'après la théorie générale, on a
\Xn—Xa-^ 1< X",
À étant un nombre fixe inférieur à l'unité. Chaque terme de la série précédente est une fonction holomorphe de a pour | a |</-; il est aisé d'en conclure que la série est une fonction holomorphe de [j. dans les mêmes conditions. C'est ce que montre immédiate-
i6o CHAPIÏRE VllI.
ment la formule de Cauchy,
/ N ï ro(z) ,
prise le long du cercle de rayon /'.
Nous avons donc établi que l'intégrale de l'équation (i), s'annulant pour ^ = o, est une fonction analytique de [i., et peut être développée en série ordonnée suivant les puissances de [7., tant que I ;^ I < /". Ce développement est convergent depuis t := o jusquà i = /()•
3. Nous avons supposé que nous avions une seule équation et un seul paramètre. Le théorème est absolument général : si l'on avait, par exemple, les deux équations
dx . „ ^
-r =A^ -+-B7 +G;jt +...,
dy
— = Al 37 -4- BijK + Cl ;x -+- . . . ,
les coefficients étant des fonctions continues de ^, de ^ = o à
t=^ tff. Nous avons là un système d'équations ayant, pour <x =z o,
la solution ^ = o, jk = o, correspondant à ^ et jk nuls pour / =r o.
Nous poserons
X =^ [xç 4- Pi,r'+ Qij',
et nous allons choisir u, v^ ainsi les P et Q, de façon que les équations différentielles donnant x' ely' ne contiennent plus de terme du premier degré en x',y et a. On s'arrangera de façon que u et V s'annulent pour / = o. Il suffit pour cela de déterminer u et v par les équations
'-^ = \u -f-Bi; +G, dt
-.— = Âi ?i H- l'iC 4- Gi, dt
et Ton a, pour P et P,, les deux équations
dP
-,- =AP +BPi,
dt
-'ilj ^ AiP + BiPi, dt
SOLUTIO>S DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l6l
auxquelles salisferont aussi Q et Q,. On prendra donc, pour P et P,, puis pour Q et Q,, deux systèmes de solutions distinctes, et il est clair que le déterminant
PQi-PiQ, qui s'exprime par une exponentielle, ne s'annulera pas de / = o à
t=tQ.
Les équations donnant x' et y' seront alors de même forme que celles qui donnent x et y, sauf que les seconds membres ne renferment pas de termes du premier de «^ré dans leur développement. On peut alors raisonner comme au paragraphe précédent.
Il est évident aussi qu'on pourrait avoir un nombre quelconque de paramètres; V intégrale sera une fonction holomorphe de ces paramètres, dans le voisinage des valeurs zéro de ces paramètres (').
4. Nous avons considéré, dans ce qui précède, l'intégrale de l'équation
dx .,
s'annulant pour t ^-^ o. Conservant l'hypothèse /(o, o, ^) = o qui, comme nous l'avons dit, ne diminue en rien la généralité, nous allons envisager l'intégrale de cette équation prenant pour t = o la valeur JTo. Or posons x~-^x^-~x'\ nous aurons l'équation
avec les deux paramètres x,, et j^. Pour x^,^ y, = o, on a l'équation
et, d'après l'hypothèse faite, l'intégrale de cette dernière équation, s'annulant pour ^ == o, sera identiquement nulle. Elle sera donc
(•) Le théorème précédent a été indiqué pour la première fois par M. Poincaré (/.e* nouvelles méthodes de la Mécanique céleste, p. 48 et suiv.). M. Poincaré le démontre en se servant des considérations habituelles au Calcul des limites de Cauchy.
déterminée et conlinue depuis ^ = o jusqu'à / -- ^0 (^0 étant arbitraire, mais restant (ixe une fois choisi).
D'après le théorème précédent, l'intégrale de l'équation (3), s'annulant pour l = o, sera continue de t ^= o à t = t^, pourvu que 1^0 I et : [^. | soient suffisamment petits, et elle pourra être développée suivani les puissances de Xq et \x.
Nous avons donc le théorème suivant, que j'énonce dans sa généralité.
Soit le système d'équations
On suppose que, pour a = o, on ait l'intégrale
continue de t -- o k t = tç^. De plus, les X sont supposées développables en séries ordonnées suivant les puissances de
[j. et xi—çi{t)
pour toute valeur de t entre o et t^, les coefficients de ces développements étant, bien entendu, des fonctions continues de /.
Dans ces conditions, les intégrales de (S) prenant respectivement, pour t = o, les valeurs
seront continues de o à t^, et développables suivant les puissances de
x\, x\, ..., x% et \x,
pourvu que ces grandeurs aient des modules suffisamment petits.
5. Cherchons si l'on peut obtenir des résultats analogues avec d'autres déterminations initiales des intégrales. Prenons d'abord l'équation
dy où /est supposée une fonction analytique dey, ^ et ]x.
SOLLTIO>S DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l63
Nous avons, pour a = o, l'équation
d^y J dv \
Soit une intégrale de cette équation continue de a k b. prenant pour X ^= a\di valeur A, et pour .r = 6 la valeur B.
Existe-t-il une intégrale de l'équation (4) prenant les mêmes valeurs initiale et finale, et très peu différente de la précédente, si a est lui-même très voisin de zéro?
Au lieu de (4), nous considérons le système de deux équations du premier ordre
dx -^
Pour jjL =^ o, ce système admet une intégrale {r-ty') continue de a à 6, et prenant pour ^ = « les valeurs
en désignant par A' la valeur initiale de )'. Pour ui voisin de zéro^ nous aurons une intégrale de (5) continue de a à b telle que l'on ait, pour x z= a^
pourvu que 1"'^ soit suffisamment voisin de A'. Cette intégrale y sera une fonction
développable suivant les puissances de ;jl et rj, — V. L'équation
s'annule pour u. = o, y'^ = A'. Diverses circonstances pourront se présenter. Il arrivera, en général, que cette relation sera vérifiée pour une suite continue de valeurs de r^ et de ;jl voisines respectivement de A' et de zéro, et que y'^ sera une fonction liolomorphe de a dans le voisinage de ;jl = o : l'équation (4) aura alors une intégrale prenant en a et b les valeurs A et B, et qui sera une fonction holomorphe de a dans le voisinage de a = o.
Les conclusions précédentes peuvent cesser d'être exactes. Il
l64 CHAPITRE VIII.
peut arriver que la relation (6), considérée comme représentant une courbe lieu de points (m., Jo)' ^^^ ^^ point |j. = o, y^^=z A! comme point isolé, auquel cas il n'j aurait pas d'intégrale réelle satisfaisant aux conditions initiale et finale pour a =^ o.
11 peut encore arriver que le premier membre de l'équation (()) contienne \k en facteur, le second facteur ne s'annulant pas dans le voisinage de [jl = o, y'^^ = A'. Dans ce cas, l'équation
sera telle que toute intégrale passant par le point {a, A) passera par le point (^,B). Cette circonstance peut se présenter. Les équations linéaires dont nous avons fait l'étude dans un Chapitre précédent nous en offrent un exemple. Soit ht une constante telle que l'équation
-z--^ -^ kiV( x)y = o dx-
ait une intégrale, non nulle identiquement, s'annulant pour x ^=z a et pour X :=b. Toute intégrale de cette équation, s'annulant pour x=^a, s'annule pour x = h : c'est la circonstance dont nous parlions ci-dessus. L'équation
^ -r-{ki-r- \i.) P(.r)7 -= O
n'admet pas, pour [jl suffisamment petit mais différent de zéro, d'intégrale s'annulant pour ^ -- a et pour ^ === ^.
6. Les cas d'exception que nous venons d'indiquer ne se rencontreront pas, si la méthode des approximations successives (Chap. V, § 8) est applicable, pour l'équation
à rinlégrale qui nous occupe.
Nous supposons que, \l étant dans le voisinage de zéro, \g> diverses hypothèses nécessaires pour Fapphcation de ia méthode des approximations successives soient vérifiées {loc. cit.). On aura
SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l65
alors l'intégrale cherchée sous forme de série dont chaque terme est une fonction analytique de a, et, en raisonnant comme plus haut, on voit que l'intégrale elle-même est une fonction holoniorphe de u. dans le voisinage de u. ^^ o.
II. — Des solutions périodiques des équations difiFérentielles ordinaires dépendant d'un paramètre arbitraire, d'après M. Poincaré {^).
7. Considérons un système d'équations différentielles ordinaires
-^ =Xi{Xi.T.2. ....Xn,t) (t= I, 2, ..., Jl),
et supposons que Jes X soient des fonctions périodiques du temps t avec la période co. Si l'on a, pour une telle équation, une solution
continue de ^ = o à / = to, et telle que
cette solution sera manifestement périodique, car on se retrouvera identiquement dans les mêmes conditions à l'époque co qu'à Tépoque o.
Nous allons supposer que dans les équations précédentes figure un certain paramètre a. Supposons que, pour |jl = o, on ait reconnu l'existence d'une solution périodique; nous voulons chercher si le système aura des solutions périodiques pour les petites valeurs de |jl. Ecrivons donc les équations
avec le paramètre |Ji, où les X sont périodiques par rapport à t. Pour p. ^ o, nous avons, par hypothèse, la solution périodique
<'t les conditions admises dans la démonstration du théorème général du § 4 sont supposées vérifiées.
Ceci posé, d'après le théorème du § 4, les intégrales du sys-
(•) H. PoixcARÉ, Les nouvelles méthodes de la Mécanique céleste (t. I, p. 79 et siiiv.).
l66 CHAPITRE VIII.
Lème, prenant respectivement, pour ^ = o, les valeurs
Oi{o)^x1 (i = 1, ■>., . ..,n), sont continues de ^ = o à ^= w, si | ^î* 1 et 1 u. 1 sont suffisamment
petits, et ces intégrales peuvent être développées en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de
x\, x^,^ . . . , x% et ;jL.
Représentons cette solution par
^i = fi{t, '^1 , ^^ . . . , ^0 , [^) ( i --- 1,2, . . . , 11),
et écrivons les ii équations
( 8 ) //(w, 07», ... , x%, ij.) — y;-(o, X\, .... X%, IX) = O.
Ces équations sont vérifiées pour
.rjj = .r^ — . . . = xfi = jjL — o,
puisque alors les équations (8) se réduisent à
Oi(M) — 0i{0) = O,
relation vérifiée, puisque ^i{t) admet la période w.
Nous concluons de là que, en général, les équations (8) auront, pour |Ji assez petit, une solution où les x\ seront voisins de zéro.
Il y aiiia donc, en général, une solution périodique pour y. suffisamment petit.
8. Nous sommes resté, au paragraphe précédent, dans les généralités. Diverses circonstances particulières peuvent se présenter pour les équations (8). Le cas général, où l'existence de la solution périodique cherchée sera certaine, est celui où le déterminant fonctionnel par rapport à
des premiers membres des équations (8) sera, différent de zéro pour ^" = ^^ = ...=: ^Jl = ijL = o. Sera-t-il possible de faire cette constatation? Pour abréger l'écriture, supposons pour un
moment, comme il est permis au moyen d'un changement linéaire de fonctions, que cp,(^) soit identiquement nul. Notre système (7) prendrait alors la forme
— -i = an Xi -^ atiXo ^. . .— Gin Xa-^biix—... ( t = I , •>., n ),
dt
les a et b étant des fonctions périodiques de £ à la période co. Les intégrales de cette équation, prenant les valeurs x^ pour / = o, sont développables, comme nous le savons, suivant les puissances de x% . . . , ^,^ et u.; nous pouvons écrire
Xi = A/1 jp» ~ . . . — \fn ^rj» — B/ ta -T- . . . , les A et B étant des fonctions de i, et Ton a évidemment
En substituant les Xi dans les équations ci-dessus, on aura, en égalant dans les deux membres les coefficients de x^^, . . . , ^^^ , un système d'équations différentielles linéaires à coefficients périodiques déterminant, avec les conditions initiales ci-dessus, les fonctions A.
Si l'on peut intégrer ce système d'équations donnant les A, on obtiendra immédiatement les coefficients de j:^, . . . , x^ dans les premiers membres des équations (8), et il sera possible alors de former le déterminant de ces coefficients. S'il n'est pas nul, on sera assuré de l'existence de solutions périodiques.
9. Nous avons seulement supposé, au paragraphe précédent, que l'on connaissait, pour iji = o, une solution périodique du système d'équations proposées (cette solution était Xi = a:2=^-- = ^n = o). Nous venons de voir que la formation du déterminant jouant un rôle important dans la discussion des équations (8) exigeait une intégration préalable d'équations linéaires.
On se trouvera dans des circonstances plus favorables, si l'on suppose que Von sache intégrer complètement le système des équations ('^) pour |jl ==:: o. On pourra alors reconnaître immédiatement si le déterminant fonctionnel qui nous occupe est différent de zéro. On aura, en effet, explicitement par hypothèse les fonc-
l68 CHAPITRE yiii.
lions
ft{t,x\,x\ ...,^«,o).
Donc, dans les premiers membres des équations (8) développées suivant les puissances de ^", x", . . ., ^/^ et jjl, on aura les coefficients des premières puissances de x^\^ x^, . . . , x\.
10. Quelques remarques importantes sont à faire sur le système des équations (8). Supposons que les équations (^) admettent une intégrale première
F(a?i, iP2» • • ■ , ^n-, t-i H"-) — const.,
dont le premier membre soit une fonction périodique de ^, admettant la période co. Nous désignerons la fonction F par F[^/, ^]. sans mettre ^ en évidence, et en n'écrivant qu'une des lettres x\ nous écrirons aussi, à la place de/'/(^, ^J, . . . , ^J), |jl), simplementy/(^).
Nous allons voir que, dans ce cas, les équations (8) ne sont pas, en général, distinctes. On aura, en effet,
F[/.(o), o] = F[/,H, co] ^ F[/Ka)), o].
Considérons donc l'équation
(9) F[y;(o),oJ--Fr/Kto),o] = o.
Le premier membre de cette équation est développable suivant les puissances de
Supposons que l'on ait
dF
dx„ ^
pour [J. = o, ^ = o, Xi^=-'^i(p)\ le coefficient de /«(œ) — fnip) dans le développement du premier membre de (9) ne sera pas nul pour u, x\^ ..., x\ suffisamment petits, et il est clair alors que les /? — I équations
//(w,^?, • • .,^«, V-) —fi{o,x\, ...,xl, \x) r-^o (t^ 2, .... n — I),
qui sont les n — ii^'»es premières équations du système (8) entrai-
nent, d'après la relation (9), la /z^''™'' équation
Les n équations (8) ne sont donc pas distinctes, comme nous voulions rétablir.
Nous avons supposé que -^ — n'était pas nul; si cette dérivée
était nulle, onprendrait une autre des dérivées du premier ordre, et il n'y aurait que dans le cas où l'on aurait
àxi ~ dXi ' ' ' dxn
pour jjL = o, ^ = 0, a:/=cp/(o), que la conclusion précédente deviendrait douteuse.
fïV
Soit, comme tout à l'heure, -^ — 7^ ^'i il }' aura alors une infinité de solutions périodiques de période co pour chaque valeur de ;j. (suffisamment petite). On supprimera la dernière des équations (8) et Ton pourra la remplacer par
F(j"i,a72, Xn, t, fx) ^ G,
C étant une constante arbitraire que l'on prendra peu différente de
F[çi(o), .... cp„(o),o,o].
Pour une valeur donnée à C, il n'y aura plus, en général, qu'une solution périodique correspondante; elle sera déterminée par les n — i premières des équations (8) et l'équation F = C, où l'on remplacera t par zéro, et qui alors s'écrira
Si on laisse C arbitraire, on aura une infinité de solutions périodiques dépendant d'une constante arbitraire.
Si, au lieu d'une intégrale uniforme, on en avait deux,
F (ari, x^, Xn, t) = const.,
^{Xi, Xi, .... Xn, t) = const.,
on voit immédiatement, par des raisonnements analogues, que les n équations (8) se réduisent à /« — 2, si tous les déterminants
UNIVERSITT
170 CHAPITHI-: VlII.
fonctionnels
D(F,4>) nl^
ne s'annulent pas pour a = 0, /= o, ^/= 'fi(o)'
IJ. On a supposé, dans ce qui précède, que les fonctions X|, X2, . . ., X,j dépendent du temps t. Il est important d'examiner le cas où t n'entre pas dans les équations. Tout à l'heure, la période était nécessairement déterminée : c'était la période to de t dans les X. Maintenant, au contraire, la période pourra être quelconque. D'autre part, si les équations admettent une solution périodique, elles en admettront une infinité; d'une solution on en déduit, en effet, une autre en changeant t en t -\~ li^ h étant une constante arbitraire. Il ne peut donc pas arriver, dans le cas actuel, que les équations (8) déterminent une seule solution périodique.
Ces remarques faites, écrivons le système d'équations
(10) ^^' ^ X/(a7i, iP2, • ..,^«, î-t) (t = I, 2, .. .. 7l),
et supposons qu'on ait, pour jji = o, la solution périodique de période 0)
Ici les cp seront des fonctions analytiques de t; si donc, pour le système (10), nous désignons, comme plus haut, par
la valeur de Xi pour ^ = o, nous sommes assuré que la valeur
de Xi pour ^ ^^ o) -h t sera une fonction holomorphe de
x\, x9^, . . . , x'^i, fjL et T
pour des petites valeurs de ces grandeurs. Si nous écrivons alors les équations
(11) /i{M -r-T, X-J, .. .,X%, IX) -/,(o, ^',', ...,X%, II) - O (l -^ l, l, .... /l),
nous aurons ii équations analogues aux équations (8). et ces équations seront vérifiées pour
x\, = x\ =^ . . . = a7j', = iJL = -: = o, puisque alors les équations (i i) se réduisent à
cpj(co) — 9/(0) = o.
Les équations (11) renferment 11 4- i Inconnues x\y x\. . . - , x" et T, tandis que les équations (8) ne renfermaient que 11 inconnues et correspondaient à t = o. Or ici, si l'on faisait t = o, on aurait des équations dont le déterminant fonctionnel par rapport à ^^, . . ., x^^^ serait certainement nul, d'après ce que nous avons dit plus haut sur la multiplicité nécessaire des solutions périodiques, quand elles existent. Au contraire, en se donnant arbitrairement un des jp, soit par exemple x\ = o, les équations (11) détermineront, en général,
en fonction holomorphe de a.
Nous pouvons encore faire une remarque relativement au cas où il y aurait, pour le système (10), une intégrale première
F(a7i, ^2, .... Xn^ [A ) = const.
On verra, en raisonnant comme au § 10, que les équations (11) ne sont pas distinctes, et l'on peut, si - — n'est pas nulle pour |jL = o, Xi = 'f <(o), considérer le système
F = G, /•(cu-^T,.rO,...,^î>,{x)-//(o,xî,...,.r«,u) = o (i = i,-2, ..., « -i). G étant une constante peu différente de
F[o,(o), 9,(0), ...,'Xo).o].
Dans l'équation F = G, on a remplacé xi par fi{o,x\,x\. ..,.^o,îjl).
Au lieu de remplacer les équations (1 i) par le système qui vient d'être indiqué, on peut encore le remplacer par le suivant, en fai-
sant toujours ^" = o et en faisant, de plus, t = o,
fi{iù,x\,x\, ...,x%, ^)—fi{o,x\,xl,...,x%, [x)--^o {i= 1,2, ..., Ai — l),
qui détermineront ^,, ^", . . ., ^",. D'où se tire la conséquence importante que, dans le cas où il y a une intégrale première, on pourra trouver généralement, pour |jl petit, une solution périodique ayant la période to, ce qui n'a pas lieu, en général, quand les équations ne renferment pas le temps.
12. Nous avons établi, dans des cas généraux, sous la condition qu'un certain déterminant fonctionnel ne soit pas nul, l'existence de solution périodique. Terminons ces généralités en montrant quelles opérations on devra faire pour calculer ces intégrales. C est une question à laquelle nous avons indirectement touché au § 8. Reprenons le système tel que nous l'avions écrit dans ce paragraphe
dxi j
les coefficients de ces développements étant des fonctions de t de période to.
Nous avons, pour [jl ^ o, la solution périodique
% Xj — X2 = . . '= OC,i= o.
D'après ce que nous avons dit, il y aura, en général, une solution périodique pour pi suffisamment petit. Cette solution peut être développée suivant les puissances de pi. Ecrivons donc
^iilJ-
les coefficients des diverses puissances de u doivent être des fonctions périodiques de t avec la période o). Nous aurons d'abord, pour déterminer les xi^, les équations
dxii j
Peut-on satisfaire à ces équations en prenant pour
des fonctions périodiques de t. On voit qu'il en sera certainement ainsi en général, et précisément quand un déterminant, qui n'est autre que celui que nous avions à considérer au § 8, ne sera pas nul. Les coefficients des diverses puissances de jjl dans les xi se calculent de proche en proche sans qu'on soit jamais arrêté, si on ne l'a pas été au début, et l'on aura ainsi la solution périodique cherchée dont l'existence a été antérieurement démontrée.
13. Remarquons, en terminant, que les considérations précédentes trouveront leur application dans un cas un peu plus compliqué. Ecrivons lesyj -\- q équations
[ -^j =Yi{xi,x^, ...,Xp,y^,y. y^) {i^- r,2, ...,q),
OÙ nous supposons que les X et Y soient des fonctions périodiques des j^ admettant la période 2 7w, c'est-à dire ne changeant pas quand on change yi en yi-\- itz. On pourra appeler solution périodique de cette équation avec la période co une solution
yt^^At) {i= 1,2, ...,^),
satisfaisant aux conditions
cp/(f — to) = ç,-(0,
les ki étant des entiers. Il est clair, d'après la forme des équations différentielles (12), qu'une solution sera périodique, si l'on a
o,(œ) = 0/(0), 6j(a>) = t^,(o) — iki-.
La théorie développée dans les paragraphes précédents pourra encore s'appliquer aux équations (12) et à leurs solutions périodiques. On formera les équations analogues aux équations (i i) ; les ^ dernières d'entre elles auront seulement, dans le second membre 2ki7z, les entiers A'^ correspondant à la solution périodique initiale des équations pour a =: o.
