III. — Application au problème des trois corps

14. Une des plus importantes applications que M. Poincaré ait

faite des généralités qui précèdent est relative au problème des

trois corps. Prenons trois points, Mo, M<, Mo, de masse /tîq, in^^

m2', nous allons considérer les deux dernières comme petites, et

nous poserons

nii = ai [ji, /«2 = «2 [j.,

a, et a.y étant des constantes fixes. Concevons que l'on ait écrit les équations différentielles du mouvement de ces trois points s'atlirant suivant la loi de Newton. Que deviendra ce système, si l'on y fait [JL = o? Si (?o) '''loi Ço) désignent les coordonnées du point Mq par rapport à des axes fixes, les équations du mouveuient du point Mo se réduiront évidemment à

dt^ ~ ' dp- ~ ' dt^ ~ '

et l'on aura, pour le point M< (;,,•/],, Ç, ),

et les deux équations analogues, / désignant le coefficient d'attraction. On aura de même, pour le point Mo,

d'il ^"?o \-i~h i jvnvr") ~dï^-~JT\ -~Fr W2-M0M2;.

Une solution du problème des trois corps, pour |ji =:: o, sera donc obtenue en prenant le point Mq fixe, les deux autres points se mouvant séparément autour de Mo suivant les lois de Kepler. Ce cas particulier se ramène donc au problème des deux corps. Si les temps de révolution de M, et de Mo autour de M„ sont commensurables entre eux, il est clair qu'au bout d'un certain temps tout le système se retrouvera dans sa situation initiale.

Le problème des trois corps, pour \x = o, admettra donc des solutions périodirjues.

En restant toujours dans le même cas (a = o), le problème des

trois corps admet d'autres solutions que l'on doit aussi regarder comme périodiques. Bornons-nous au cas oiî les trois points resteraient dans un même plan. Le point Mq restant toujours fixe, rapportons le mouvement des deux autres points à deux axes tournant d'un mouvement uniforme autour de M^. Nous allons voir immédiatement qu'il peut arriver que les mouvements de M, et Mo par rapport à ces axes soient périodiques. Au bout d'un temps égal à la période, les trois corps se trouveront dans la même position relative, c'est-à-dire que leurs distances respectives auront repris la même valeur. Nous devons regarder un tel mouvement comme périodique. Imaginons par exemple que, pour / = o, les trois points soient sur une ligne droite D ; on peut donner à M, et Mo des vitesses initiales telles que M, et Mo décrivent des circonférences autour de Mo, et désignons par n et n' les vitesses angulaires des droites Mq M7 et M0M2. Soit, pour fixer les idées, /i'> n ; au bout du temps

les angles faits parMoM, et MoM^ avec la droite initiale D sont respectivement

iTzn n' — n

et leur différence est égale à 2-, c'est-à-dire qu'au bout du temps

Jl^ les trois corps se trouvent de nouveau en ligne droite, ayant n — n ^

repris la même position relative les uns à l'égard des autres. Si donc on rapporte le système à des axes mobiles tournant d'un mouvement uniforme avec la vitesse angulaire /?, les coordonnées de M, et Mo par rapport à ces axes mobiles seront des fonctions

périodiques du temps de période —3— •

15. Nous voulons maintenant rechercher s'il y a une solution périodique pour de petites valeurs de tjL. Nous allons d'abord écrire les équations du mouvement, telles qu'elles sont classiques en Mécanique céleste, des points M, et Mo autour de Mq. Faisons donc d'abord passer parce point deux axes rectangulaires de directions fixes (nous nous bornons au plan), nous aurons, en dési-

gnant par (^,,jki) et {x2-,y-i) les coordonnées de M, et Mo par rapport à ces axes, les équations différentielles où nous faisons le coefficient d'attraction/* égal à l'unité

d^Xi Xx J"i 37» I à\}'

dt^ r\ r\ r| in^ dxi

dt^ j'\ r\ r| nii ôyi

d^Xo Xc, xi x-i I dU'

j -di^ + '"» 7î ^ '"' ,ï - '"'- ^ = -^ ùj,:

\ dt^ r% r\ ri m^ dy^

Dans ces équations, que j'emprunte au Traité de Mécanique céleste de M. Tisserand (t. [, p. 72), /•, et r., désignent les distances de M, et Mo à Mq, et l'on a

en appelant r,2 la distance M, Mo.

Je rappelle encore que le système (S) admet deux intégrales premières, celle des aires et celle des forces vives. J'écris ces deux intégrales

dy^ dxy\ / dv^ dx^

''''V^'dt~y^dtr-'''^v^^~y^^t

y étant la constante arbitraire,

"*" m, \\dt dtj "^ \cÏÏ " ~dt) \ ~ '''

16. Les équations différentielles classiques que nous venons d'écrire ne sont pas celles dont nous devons nous servir. II faut les transformer en rapportant le mouvement à des axes M^^, MoV],

animés d'un mouvement de rotation uniforme autour de Mo avec la vitesse angulaire n. On pourrait se servir des formules de transformation de coordonnées

X = ^cosnt — f\ 'èïnnt, y = ^ sinnt— ri cosnt,

pour transformer le système S. On arrivera bien plus rapidement au système d'équations différentielles relatif à ^ et -/i, en appliquant la théorie des mouvements relatifs. Les équations cherchées seront les équations (S), où nous remplacerons (^,,y<) et (xo,jKo) respectivement par (Ç,, 7],) et- (io,r.o) coordonnées de M, et Mo par rapport aux axes mobiles M^?, MoV), pourvu que nous ajoutions aux seconds membres les projections de l'accélération centrifuge et de l'accélération centrifuge composée. Ces projections seront, d'une manière générale, pour la première,

et, pour la seconde,

dt dt

Nous aurons donc un système (S) qui ne sera pas autre chose que le système (S) où l'on aura remplacé les {x, y) par (Ç, r,), et où l'on aura ajouté respectivement dans les seconds membres des deux premières

d\^ at

rem-

et de même pour la troisième et la quatrième, l'indice deux plaçant l'indice un. Le système (2) admettra deux intégrales premières. En substituant à la place de x et y leurs valeurs en (?) et (t,) dans les équations (i3) et (i4), on obtiendra ces deux intégrales premières et il est à remarquer que le temps n'y figurera pas explicitement. De plus, en remplaçant /?z, et m., par a, ;ji et ol. ;jl, la quantité jj. se trouvera en facteur dans le premier membre des intégrales; ou pourra la supprimer en modifiant les constantes h et y.

Nous aurons donc le système (S) avec ses deux intégrales pre-

mières.

On a, en définitive, huit équations du premier ordre, en

^1? "II1 ^2? ^12) ^1, '^/ij kiJ '^îl-

en posant

~dt -""' ~dt ~''^'' "Z?""^^' ~dt~'''^'

L'application de la théorie générale exposée dans la Section

précédente, pour le cas où la période serait —, — ^ ? nous conduira.

à huit équations que nous aurions maintenant à discuter. Ces équations se réduisent à six puisqu'il y a deux intégrales premières. Écrivons les premiers membres de ces intégrales premières en y faisant a = o (on a préalablement divisé [)ar jj., comme nous l'avons dit plus haut); on aura

(> dr.^ d^i\ ,^, ., , /^ dr^i d^A

/d'z\ r/rj\ , ^,„ ,, /, dr,, r/^i\ , Ml , dr^l

Prenons le déterminant fonctionnel de ces deux expressions par rapport à r^ et '/][,. Il se réduit à

Or, nous prenons comme positions initiales, dans le mouvement correspondant à [i. = o, deux positions de M, et Mo sur l'axe des ^ qui, pour ^ = o, coïncide, comme nous pouvons le supposer, avec Oœ. Les vitesses initiales sont perpendiculaires à Moi, et l'on a évidemment au temps ^ = o

r/j = o, r/2 — ( n' — n) ço-

On a, par suite, pour l'expression ci-dessus,

Quant à ^ et n' ^ ils sont déterminés en fonctions de $, et ^2 par les relations qui se tirent de suite de la comparaison des deux

expressions de la forme

Les valeurs initiales de MqM, et M0M2 étant arbitraires, on n'a pas n = n! . Le déterminant fonctionnel des deux, intégrales premières par rapport à r/, et r,'^ n'est donc pas nul. Nous pouvons donc, des huit équations que nous avons à écrire, supprimer celles qui sont obtenues en écrivant que les valeurs de -/]', et r/^ ne sont

pas égales pour ^ = o et pour t = ^,-^^— (§ 10). Il resterait donc

six équations à discuter; c'est une étude qui ne présente pas, après ce qui précède, de véritable difficulté. Nous ne la ferons pas ici, car nous serions ainsi entraîné à d'assez longs calculs. Énonçons seulement le résultat : On est assuré de pouvoir toujours résoudre les six équations dont nous venons de parler par rapport à six des huit inconnues

(U\ to ^o 50 yO >:'o t'o t'O y'o

qui y figurent et qui, conformément à nos notations précédentes, représentent les accroissements que l'on doit donner aux valeurs des lettres correspondantes, relatives à / = o et à la solution périodique choisie pour iji =:= o, pour avoir les valeurs initiales relatives à t =^ o de la solution que l'on cherche. Il faut toutefois que l'on n'ait pas 71 = — n' et que n ne soit pas multiple de 7i' — n.

Il existe donc, pour le problème des trois corps, |jl étant petit, une infinité de solutions périodiques. Cette infinité dépendra de quatre arbitraires, car deux des inconnues de la suite (H) ont des valeurs arbitraires (petites) et les distances initiales de Mi et de Mo à Mo peuvent être prises arbitrairement (^).