IV. — Sur une autre catégorie de solutions périodiques

17. Nous allons nous occuper maintenant d'une question présentant une grande analogie avec celle qui a été étudiée dans la

(') On trouvera clans l'Ouvrage de .M. Poincaré (les Xoiivelles Méthodes de Mécanique céleste, t. I, p. gS et suiv. ) une étude complète de diverses solutions périodiques du problème des trois corps.

l8o CHAPITRE VIII.

Section II, mais où, toutefois, des circonstances assez différentes vont se présenter.

Prenons le système d'équations différentielles

, , dxx ^ dxi dxa V

^'^^ -dt =^*' dF^^'- . '•- ~dt^^''^

où les X dépendent de x^, X21 » . >, x,i et d'un paramètre [jl; de plus, les X s'annulent pour ^< = ^^2 = • - •= «^^w^ O5 quel que

soit |JL.

Le système admet alors, pour solution particulière, la solution où tous les X sont identiquement nuls. Nous allons chercher s'il existe des solutions ayant une période to, différant fort peu de zéro quand ^. est très petit, et se réduisant à zéro pour ix 1= o.

Nous désignons toujours par ^", ^ÎJ, . . . , ^" les valeurs initiales de ^1, X2-, ... 1 X/t' Nous aurons

Xi=:=fi{t,X^l,xl, . ..,37», II) (l = 1,2, .. ., n),

les fi sont des fonctions holomorphes de x^^, x^^ . . ., x^^ et s'annulent, quels que soient [i. et ^, pour x^^ = x?^ = . , . = x^^:^ o. Il faut discuter les équations

(16) fi{w,x^i, ...,x%,ix)—fi{o,x\, ...,xf^, iJ.)=o {l = i,2, ..., n)

si l'on veut chercher les intégrales ayant la période to. On voit immédiatement que nous sommes dans des circonstances différentes de celles que nous avions précédemment, car les équations précédentes sont vérifiées, quel que soit [jl, pour ^J =:... = ^" = o. Étudions le déterminant fonctionnel des premiers membres des équations (16) par rapport à ^J, . . ., x^ et calculons sa valeur pour

X^— X^ — . . . =X% = fJL = O.

Cherchons, à cet effet, ce que deviennent les équations (16) quand on fait, dans les équations (i5), [i. = o et que l'on réduit les X à leurs termes du premier degré en ^i,^o, . . ., x,i. Dans ces conditions, les équations (i5) se réduisent aux équations linéaires

(17) -^' = a/io^i -h rt/2^2 + - ••-+-«/« ^/i (i ^-- I, 2, .. ., n);

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l8l

les équations (i6) deviennent alors des équations exprimant que la solution de (i-j) répondant aux valeurs initiales :rj, x^,, . . . , xf^ est périodique et de période to. Or, considérons l'équation

«11 — X ai2 . . . «irt

an «22 — X ... «2«

afi2 . . . «rt/î — X

On sait que les racines de cette équation en X font connaître les intégrales du système (17); supposons-les distinctes et désignonsles par).,, ).2, . . ., Xi. En écrivant que (i-) admet une solution périodique, nous aurons un système de n équations linéaires et homogènes en ^J, .r", . . . , œ^, et leur déterminant est le déterminant que nous cherchons. Or (i-) ne peut admettre de solutions périodiques que si Ton a pour un des X, soit À/,

X/co = 'i.k-i {k entier),

car une expression de la forme

ai e>i' -i- aa e^-i'-f- . . . -1- a^ e^«',

où les a sont des constantes, ne peut admettre la période w que si l'un de ces termes admet cette période. Le déterminant cherché ne s'annulera donc que si un des A est de la forme LlJîf . il est donc égal à

comme on le verrait encore, par un calcul facile, en réduisant par un changement linéaire de variables les équations (17) à une forme canonique où la première équation ne dépendrait que de x^ , la seconde de Xo^ et ainsi de suite.

Ceci posé, si A est différent de zéro^ les équations (16) qui sont vérifiées pour :rj = . . . = .r^^ = o, quel que soit ;jl, admettront cette solution comme solution simple et, par suite, nous ne trouvons pas de solution périodique voisine de zéro si ce n'est la solution évidente où tous les x sont identiquement nuls. En d'autres termes, pour avoir une solution nouvelle, il faut nécessairement que to soit de la forme

ik-i

l82 CHAPITRE VIII.

\i étant une des racines de l'équation en X. Gomme co doit être réel, on remarquera que )./ ne doit pas contenir de partie réelle, et comme les racines de l'équation en X sont deux à deux conjuguées, il en résulte que deux facteurs de A seront nuls quand A sera nul.

18. Nous allons donc supposer que oj soit de la forme qui vient d'être indiquée; cherchons alors s'il y aura des solutions périodiques de période to. Prenons d'abord le cas de deux équations où la discussion sera plus simple. Les équations (17) se réduisent alors à

dt =^^-^y^

-^ — ex -^ dy.

dt -^

L'équation en \ est ici