X--- {a -\- d)\ -h ad — bc — o

et, pour pouvoir trouver une période réelle w, il faut que

a-i-d=o, ad — bc ^o.

Désignons par olî et — olï les racines de l'équation précédente, nous pouvons prendre

Les équations (18) auront alors toutes leurs solutions périodiques et, par suite, les équations en Xq elyo, obtenues en écrivant que les solutions prenant pour t z=: o les valeurs Xq et jKo sont périodiques, seront identiquement vérifiées. C'est là un point très important, car, si nous prenons maintenant les équations

(ï9) /i(w, 370, Jo, {^,)— /(o, ^0, JKo, (J-) = 0 (t = I,2),

nous voyons que, pour |i. = o, ces équations ne renferment pas de termes du premier degré en Xq etjKo- Les équations précédentes pourront donc s'écrire

\ ixiaxo-^ p jKo) -+-... = 0, ( 20 ) {

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l83

les termes non écrits étant de degré supérieur au premier en Xq etjKo- Les coefficients a, a', ji, ,3' sont des fonctions de ;j. et, en général, ajj' — ^'a ne s'annulera pas pour a = o.

On aura à discuter les solutions communes aux équations (20) en Xq et y-Q. Celles-ci, en y regardant Xq et y-Q comme des coordonnées courantes, peuvent être considérées comme représentant deux courbes. Pour tji différent de zéro, ces deux courbes ont un point simple de rencontre à l'origine ; pour ul nul, les deux courbes ont plus d'un point commun à l'origine. Il en résulte que, pour tj. très petit, les deux courbes auront au moins un point commun très voisin de l'origine. Mais ici une remarque très importante est à faire; si les équations (20) ont une solution différente de zéro, elles auront une infinité de solutions formant une suite continue, car, les équations dilférentielles ne renfermant pas t explicitement, il y aura une infinité de solutions périodiques s'il y en a une (en dehors de x=^y=^o). Il en résulte que, en réalité, les courbes (20) ont, pour a petit, une petite courbe fermée commune restant dans le voisinage de l'origine et représentant la solution périodique sur le plan [xq^ JKo), cette petite courbe diminue de plus en plus à mesure que a tend vers zéro. Il est clair qu'il faudrait une discussion plus approfondie pour décider la question de la réalité; il n'y a là toutefois aucune difficulté essentielle, car on peut calculer, comme nous l'avons vu, autant de termes que l'on veut dans les équations (20) et, par suite, la discussion complète pourra toujours être faite dans chaque cas particulier.

19. Après avoir étudié le cas de deux équations, il est aisé de se rendre compte de ce qui arrivera dans le cas général. En écrivant que les équations (17) ont une solution périodique de période w

( to étant égal à ^jfmi devra obtenir non pas seulement une,

mais deux solutions périodiques indépendantes ^ qui seront en

cos etsin - - : ces deux équations se réduiront donc k n — 2

équations et, par suite, quand on fait |i. = o dans les premiers membres des équations

les termes du premier degré en ^"J, . . . , .r"^ se réduisent an — 2

l84 CHAPITRE VIII.

expressions linéaires distinctes. Les équations pourront donc être ramenées à la forme

a/i^i -^- • •-+-airt^« -^...= o (f = T, 2, . . ., n — 2),

(ji(^a^$-...+(3/«^?,)-4-...-o (p = i,2).

les a et les [i ne s'annulant pas, en général, pour ;j. ^ o. En tirant des n — 2 premières équations ;^ — 2 des quantités ^J, ^!!, . . ., xf^ en fonction des deux qui restent et substituant dans les deux dernières équations, on sera ramené au cas de Ji = 2, que nous avons étudié dans le paragraphe précédent.

20. On peut appliquer le même genre de considérations à un système d'équations dans lequel ne figurent plus de paramètres arbitraires [j.. Soit

■~ =Xi{xi,o^i, '• -j^n) (1 = 1,1, n),

les X^ s'annulant pour .r< = ^2= • • .=^«=0. INous voulons chercher les solutions périodiques s'éloignant peu de zéro. Nous commencerons par répéter ce que nous avons dit au § 17. En désignant par

la solution correspondant aux valeurs initiales ^J,^?, ...,^JJ, nous avons les équations

/,-(w, x% x9^, . ..,xf,) -//(o, 57?, xl, . . ..,x%) = o

pour les intégrales ayant la période to. Si l'on considère encore l'équation en 1 du § 17, on voit que, si w ne satisfait pas aux conditions indiquées dans ce paragraphe, la solution

x^ = xl = . . . =a?JJ = o

sera une solution simple des équations précédentes. En désignant par (1) une quantité satisfaisant à ces conditions, nous allons chercher s'il y a une solution périodique de période w 4- t, 7 étant une quantité petite. Nous avons alors les équations

fi{lxi^X.x\,xl, ...,X%)—fii0,X^,,xl, ...,X%) = 0 (^ = 1,9., ...,/l).

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. ll5D

Raisonnant comme au § 19, nous vojons que, dans ces équations, les termes du premier degré en :r", ^", . . . , ^® se réduisent à /i — 2 expressions linéaires distinctes ; la quantité t joue ici le même rôle que jouait ci-dessus la quantité jjl.

V. — Des solutions asymptotiques de certaines équations différentielles.