Considérons le système d équations différentielles

les X/ s'annulant pour ^^ = ^o = . . . ^ ^„ =2 o et ne contenant pas t explicitement. On peut supposer, comme nous l'avons vu précédemment, que dans les X les termes du premier degré se réduisent respectivement à X, ^i, ^^2-^2? • • • ? \i^n-

Il y a des cas étendus où Ton peut trouver certaines solutions intéressantes de ce système. Faisons d'abord un changement de variable, en posant

nous aurons alors le système

^-^ = liXi — ...-{- {1 = 1,1, .... n).

Reportons-nous maintenant aux § 11 et 12 du Chapitre [. Sous les conditions indiquées dans ces paragraphes, nous pourrons, en posant

développer les œ en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de y,, y27 • • ••) JKv Les valeurs des dérivées du premier ordre

dxi dxi dxy

pour y, = j'o = . . .=jKv= o, restent arbitraires. En désignant par A|, A2, . . . , Av les valeurs initiales de ces dérivées, les développements précédents procèdent, en réalité, suivant les puissances croissantes de -. ^

/ V< CFTHE ^

Aij^i, A272, ..., Av^v (XJITIVERSITY

l86 , CHAPITRE VIII.

Ils sont convergents, tant que ces quantités ont des modules suffisamment petits. Si nous revenons aux équations (21), nous aurons des développements des x procédant suivant les puissances de ^

Ces développements seront convergents, tant que ces quantités auront des modules assez petits. Si l'on veut faire croître t indéfiniment, il faudra égaler à zéro les A qui correspondent à des \ dont la pallie réelle est positive. En prenant les autres constantes A assez petites, on est assuré d'avoir des développements valables de ^ = o à ^ = go. Il est clair d'ailleurs que, si l'on prend seulement des X ayant leurs parties réelles négatives, les points correspondant à ces X sont du même côté d'une droite passant à l'origine, et, par suite, la condition i'' de la page 18 est remplie.

Les solutions précédentes tendent vers zéro quand t augmente indéfiniment : elles sont asymptotiques à la solution

cci~. . .= cr,i= o.

22. Nous allons généraliser le théorème qui précède. Au lieu du système (21), prenons le système

-~ = Xi(Xi,a^2, ...,^«, t) (1=1,2, ..., 7l),

les X dépendant de t. On suppose toujours que les X s'annulent pour ^^ = ^2 ==••• = •^/?= O5 quel que soit t, et, de plus, les coefficients des diverses puissances des œ dans les développements sont des fonctions analytiques périodiques de t et de période air. En réduisant les X à leurs parties linéaires, on aura un système d'équations linéaires

dxi . . ,

— = anXi-^...-haia^a (i = 1, 2, ..., n),

les a étant des fonctions périodiques de t. L'intégrale générale de ce système est de la forme

^1 = Al e>^. ^fn-h...-t- A„e>» '/i„, • î

Xn = Al e>-. tf, Il -h., .-h An e>^" '/„„,

les y étant des fonctions périodiques ('). Remarquons que le déterminant des coefficients de A,, . . . , A,^ dans ces expressions est une fonction de t essentiellement différente de zéro. En faisant maintenant le chane^ement de variable

Il J Mit

^11 — ^\.J in ~r- Zojrvl — • - . — -.11 J mil

nous avons, pour les ;, des équations de même forme, mais où les termes du preùiier degré se réduisent respectivement à

puisque ;,, étant de la forme A,e'i', est l'intégrale générale de l'équation

et de même pour les autres.