Nous pouvons donc partir des équations

dx/c . , - .

-^ = Ak^k-^- • ■ (/v = I, 2, . . ., /i),

les À étant des constantes, et les coefficients des termes de degré supérieur au premier dans les seconds membres étant des fonctions périodiques de t. Posons toujours h = e', nous aurons le système

dcci

(.22) ^-^ ^Ik^/c-r-... (A- = I,2, ...,/i).

Les coefficients, sauf les À, sont des fonctions périodiques de t ayant 2— pour période; ils peuvent donc être développés en séries trigonométriques

(•) Nous nous appuyons sur ce résultat, aujourd'hui bien classique dans la théorie des équations linéaires, comme nous l'avons d'ailleurs déjà fait dans ce Chapitre. Nous reviendrons plus tard sur la théorie des équations différentielles linéaires à coefficients périodiques.

l88 CHAPITRE VIII.

Si l'on pose e^^"=r a et e~^^-=^ v^ les deux séries ('^3) ^A,.." et ^

seront convergenles dans le plan des variables u et v à l'intérieur de cercles de rayons supérieurs à l'unité; ceci est une conséquence immédiate de ce que nous supposons analytiques les fonctions périodiques de t et, par suite, holomorphes dans le plan de la variable t à l'intérieur d'une bande parallèle à l'axe réel et comprenant cet axe à son intérieur. Désignons par R le rayon supérieur à l'unité d'un cercle à l'intérieur duquel convergent les séries (aS).

Cherchons si nous pouvons trouver des solutions x du système (22) mises sous forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

Nous aurons alors le système d'équations aux dérivées partielles, en dissolvant pour un moment, comme nous l'avons déjà fait dans des occasions semblables, toute relation entre jKi, •., JKv7 IL et v^

•^ .. ^^n , > àXn . dXn . dXn . dXn >

les o commençant par des termes du second degré en x^ ,

X21 ' ' ' 1 Xji'

On peut, à l'aide de ces équations, calculer des développements des X suivant les puissances àiQ y^^y^, . . .,jKv, u-, ^^ en supposant qu'ils s'annulent pourjKi=y2 = - • •=yv=o, et que les coefficients des termes du premier degré en ^^15^2» • • • ^ JKv sont des constantes indépendantes de a et v.

Seules les valeurs des dérivées du premier ordre

dx\ dx<i dxy

— — , — — • j • • • > - — 5 4ri ày^ âyy

pour y, = j-2 = . . . =jKv= o» restent arbitraires. Le coefficient

d'une dérivée d'une quelconque des fonctions x^ soit d'une ma-

nière générale

OP,-^...+p^+k^l

dyP^ dyP^- . . . dyP; du^' dv'

dans le calcul des dérivées successives pour les valeurs zéro des variables, est égal à

D'ailleurs, d'après la forme admise pour le développement, on n'a à considérer dans ces calculs que des dérivées pour lesquelles

Nous allons faire maintenant des hypothèses parallèles à celles que nous avons faites (p. i8 de ce volume). Nous aurons seulement ici à considérer les v 4- a points

Al, A2, .... Av, l, — i.

On suppose d'abord que les expressions

liPi— I2P2 — .. .-r- Xv/?v -t- Y ^' — ^^/i

ne peuvent s'annuler, les p étant des entiers positifs dont la somme est égale ou supérieure à deux, et y étant un entier positif ou négatif.

Nous avons encore besoin, pour la suite de la démonstration, que l'expression

(25) I AiyOi— X2/?2 — . . .-T- Àv/?v-^Tt— \k\

reste supérieure à un nombre fixe. Or considérons le quotient

Al/?!— ...-T-Xv/?v^ Y? .

Il représente l'aflîxe du centre de gravité des masses /j),,/?2 7 "•-, Pv et I y I placées aux points A,? • • v ^-/ ^t au point — i ou au point — /, suivant que y est positif ou négatif. Si donc on peut entourer les points X,, âo, . . . , Av et 4- i d'une part, et, d'autre part, les points X,, )w, . . . , Av et — i par des polygones convexes ne comprenant pas Vorigine^ le quotient précédent restera supérieur à un nombre fixe. Or on a

Ài/>i -f- ... H- Xv/?v -t- Y i — \h Xi /?i-i-. . .H- Xv/?v -j- Yt \h

/^i-^'-'-^/^v+h'! ~ /?iH-...h-/?v-h(yI ~/>i-^. • — /Ov-^IyT

et, comme le second terme du second membre tend vers zéro, il est clair que les expressions (20), qui par hypothèse ne peuvent s'annuler, resteront supérieures à un nombre fixe, puisqu'elles sont supérieures au produit d'un nombre fixe par la somme p\-\- . • -+-/?v+ I y j- Nous désignerons par s un nombre inférieur aux expressions (sS).

24. n faut maintenant démontrer la convergence des séries que nous avons déduites des équations (24). La méthode suivie dans le cas où u et v ne figurent pas dans les équations, c'est-à-dire la démonstration de la page 20 (Chap. I), ne serait pas applicable ici sans quelques longueurs. Celle dont nous allons faire usage, beaucoup plus rapide, pourrait d'ailleurs être employée aussi avec avantage dans le cas particulier que nous venons de citer.

Les fonctions cp qui figurent dans les seconds membres des équations (24) sont des fonctions holomorphes de œ^^ x.^-, . > .^ x,i autour des origines dans les plans respectifs de ces variables, et de u et V dans des cercles de rajon R(R^> i). Nous pouvons prendre comme fonction de comparaison pour l'objet que nous avons en vue

' a /■-r'-ÏÏ

Ceci posé, en supjjosant que dans les équations (24) nous prenions V unité comme valeurs initiales de

nous remplacerons le système (24) par le système d'équalions finies

IsXi = £7i4-l]>(Xi,X.2, . ..,X„, u, ç),^ ( 2b ) ''

j sXv^i^ ^'(^l' ^2, • • • , X,i, M, V),

\ zXn = '^(Xi,X,, ...,X,„w,0

qui définissent les X s'annulant pour j)/^ = j^o = . . . =yv= O7

comme fonctions holomorphes de )'i, . . ., j\ et de u et ç. On voit immédiatement que les coefficients daos les développements des X donnés par ces équations sont des quantités positives supérieures aux modules des termes correspondants dans les développements des j: donnés par les équations (24). Ceci résulte de (inégalité

£ < ! > i/>r+ hp-2 — . . ^ Xv/^v -r- 7' — Ih |.

Une seule chose reste à considérer. Quel est le champ de convergence des X définies par les équations (26) dans le plan des variables u et ç? Il est essentiel que ce champ corresponde à un cercle d'un rayon supérieur à Tiinité pour pouvoir faire t réel quand nous reviendrons à la variable t. Pour répondre à cette question, il suffira de considérer l'unique équation

en prenant pour les r«, •• ; jKv leur plus grand module y et faisant tous les X égaux enlre eux; M' et H désignent deux constantes positives. La discussion de cette équation du second degré est immédiate; elle peut s'écrire

la quantité sous le radical se réduit à

Si donc on prend y suffisamment petit, on pourra prendre pour champ des variables u et ç deux cercles peu différents du cercle de rayon R et par conséquent de rayon supérieur à l'unité.

2o. Revenons maintenant à la variable réelle t. Nous avons tiré des équations (24) des développements ordonnés suivanl les puissances de

les coefficients étant eux-mêmes des fonctions holomorphes de u

et ç^ et les A représentant des constantes arbitraires. Or on a

0 = ei;

nous avons, par suite, des intégrales se présentant sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

(27) Aie>^i^ i\^e^--t, ..., Ave>-'^

les coefficients étant des fonctions périodiques de t.

Quant à la convergence, elle est assurée tant que les modules des quantités (127) sont suffisamment petits. On peut faire à ce sujet les mêmes remarques qu'au § 21 et, en se bornant aux X dont la partie réelle est négative, on obtient des solutions asymptoticjues à zéro quand t tend vers + ce.

Si, au lieu de supposer, comme au § 22, que, dans les équations

-^ = \i{XuXi, ...,Xn, t) (J = I, 2, ..., /l),

les X s'annulent pour x^ =^ , . .=^ Xn=^ o, on supposait que ces équations admettent une solution périodique :r/= ^i{t), on serait ramené au cas étudié en remplaçant Xi par Xi-i-o(t)^ et ïon obtiendrait alors des solutions asynipto tiques à la solution périodique considérée (^).

26. On peut étendre la démonstration que nous venons de donner à un cas plus étendu et qui se rencontre asse^ fréquemment. Reprenons les équations du § 23

dxk . , , ,

— = hkXk-\- ... ( a: = I, 2, . . . , 7i),

les \ étant toujours des constantes, mais les coefficients des puissances supérieures des x étant développés suivant les cosinus et sinus des multiples de c- arguments

\î.yt, 1X2 t, ..., lX(jt,

(') La démonstration de l'existence de ces solutions est due à M. Poincaré {Les nouvelles méthodes de la Mécanique céleste^ t. I, p. 335). On comparera sa démonstration avec celle que nous donnons dans le texte.

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRExNTIELLES. igS

de telle sorte que l'on sera dans le cas étudié plus haut si a- = i . Posant toujours ô =: e'', nous aurons le système

Admettons que ces coefficients, dans les termes de degré supérieur au premier, .puissent se développer en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

ces séries étant convergentes à l'intérieur de cercles, d'un rajon supérieur ^ un.

Nous chercherons alors, imitant ce qui a été fait plus haut, à satisfaire aux équations par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

jK, = o>-.. ..., j-v=e>v, Wl=6i^•^ Pi^e-f"''. ..., ur,=^^'

- ft-(^T'

On formera, comme au § 23, un système d'équations aux dérivées partielles; il est inutile de l'écrire. Les quantités qui seront les coefficients des dérivées dans les calculs successifs seront ici les expressions

( îi8 ) X i/?i + . . . ^- Xv/>v H- T 1 :^i '^' -^ T2 [^2 '^' + . . • — Ya 1^(7 ^ — ^/M

les p étant des entiers positifs et les y des entiers positifs ou négatifs.

On suppose que les développements des j; ne renferment pas de termes indépendants des y et que les valeurs des dérivées

pour j'i ^ K2= . . . =yv= o se réduisent à des constantes, d'ailleurs arbitraires, indépendantes des a et v. Nous n'aurons donc ici, comme précédemment, qu'à considérer dans le calcul que des dérivées pour lesquelles la somme/?, -x- . . . -h/>v est supérieure ou égale à deux.

Pour la démonstration de la convergence, nous n'aurons rien à changer à la marche des raisonnements. Notre attention doit se porter seulement sur les expressions (28); la démonstration ne P. — III. i3

igA CHAPITRE VIII.

peut réussir que si les modules des expressions (28) pour yOi H- . . . + /îv^2 restent toujours supérieurs à un nombre fixe. Or les [A sont des nombres réels, et posons

A = A j H- t A j , • • • 5 Av = A,^ + t Ay ,

la partie réelle, dans les expressions (28), se réduit alors à

Si donc cette expression ne peut s'annuler, les p étant des entiers positifs remplissant la condition indiquée, et si les V sont tous de même signe, nous sommes assuré que les modules des expressions (28) restent supérieurs à un nombre fixe.

Nous avons alors, dans ce cas, des intégrales se présentant sous forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes de

(29) A^e^^i^, A2e^2^, ,. ., Av<2^v<,

les coefficients étant des fonctions de t dèveloppahles suivant les cosinus et sinus des multiples des arguments \k^t^ . . . , m^y^.

Ainsi se trouve généralisé le théorème de M. Poincaré relatif aux solutions asymptotiques.

La convergence de ces séries exige naturellement que les modules des quantités (29) soient suffisamment petits. Si les V sont négatifs, on aura, en prenant les constantes arbitraires A assez petites, des développements valables de ^ = o, ^ z= -}- oc.

27. En particulier, si v = /i et que tous les A' soient négatifs^ nous aurons une intégrale dépendant de n constantes arbitraires. Or, pour ^ =r o, on a

jp2=A/, + ... (/: = I, 2, . . ., ^),

les termes non écrits étant de degré supérieur au premier en A,, Ao, . . ., A;j. Si donc on prend les valeurs initiales x\ suffisamment petites, il en sera de même des A et, par suite, les séries convergeront. Nous avons donc, avec nos développements, toutes les intégrales répondant à des valeurs initiales suffisamment petites.

SOLUTIONS DE CERTAINES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. igS

Ces intégrales tendront vers zéro quand t augmentera indéfiniment puisque alors les exponentielles

tendent vers zéro. Ce résultat, qui se déduit de la forme analytique des intégrales peut être facilement établi a priori^ et non pas seulement pour les équations précédentes où les termes sont de forme trigonométrique, mais dans une infinité d'autres cas; c'est ce que nous allons montrer en terminant.

28. Pour donner au théorème toute sa généralité, reprenons un système d'équations du premier ordre

(3o) -^ ^ X/(a7i,rr.2. .. .,^rt, ^) (t=i,2, n),

OÙ les X sont des séries ordonnées suivant les puissances de x^ Xi^ . . ., Xa\ ces séries ne renferment pas de termes indépendants des x^ et chacun de leurs coefficients est une fonction de t dont la valeur absolue ne dépasse pas une limite fixe quand t varie entre o et -^ 30. Elles sont d'ailleurs convergentes quand les modules des x restent, quel que soit t dans Tintervalle précédent, inférieurs à un certain nombre.

Si nous prenons seulement dans les X les termes de premier degré, nous aurons un système d'équations linéaires

(S) -^ = aa^i + ...-^«/«^« (i = 1,2, ...,/i).

Nous nous plaçons maintenant dans l'hypothèse où l'intégrale générale du système (S) serait de la forme

les a étant des constantes dont les parties réelles son\, positives y et les y des fonctions dont le module est inférieur à un nombre fixe. Supposons, de plus, que l'on ait

(«114- «2-2-1-...-+- «««)^^ = — (ai-h...-h a„)^-f-F(0,

|F(^)| restant, quel que soit t, moindre qu'une quantité déterminée.

On voit alors immédiatemenl que, si l'on fait le changement de fonctions

Xi=-^Jii{t)-r-...-^1^n fiait),

les équations différentielles en Ç auront respectivement dans leur second membre comme terme du premier degré

les coefficients des puissances supérieures ayant des modules moindres qu'un nombre fixe.

Imaginons donc que nous partions des équations

dxi

-^j = — cx.iXi -:-... (1=^ ],2, .. .,n),

les a étant des constantes positives, et les coefficients des puissances de degré supérieur étant des fonctions de t, qui restent en valeur absolue inférieures à un nombre fixe. Soient to une valeur positive arbitraire de ty et

les valeurs des x pour t ^^ Iq. On aura

les cp^ étant des fonctions analytiques de x\^ xZ, . ■ • , ^J) et s'annulant pour x\ --- . . . -: x\ --- o. Les termes du premier degré dans cp^ s'obtiennent en réduisant les équations à la partie linéaire, et, par suite,

les termes non écrits étant de degrés supérieurs au premier. Si h désigne une quantité positive qui va rester fixe, on aura, en désignant par x^^ la valeur de xi pour l z= t^-^ h^ .

Ces séries seront convergentes pour | x^} \ assez petits; quel que soit Iq^ ces séries en x^ convergeront dans un même champ, et l'on peut obtenir des développements de même forme dont les coefficients indépendants de t^^ soient des nombres positifs supé-

rieurs aux modules des coefficients correspondants dans les développements précédents.

Si Ton suppose maintenant que l'on parte de ^ = o, on aura la substitution permettant de passer de la valeur des x pour f = o à la valeur de x pour t =- h. De t ^^ h on passera à ^ = 2 A, et ainsi de suite. D'après ce que je viens de dire, il suffit de démontrer qu'une substitution de la forme

où les ai sont des nombres positifs inférieurs à un, répétée un nombre infini de fois, donne pour limites zé/'o, si les valeurs initiales des X sont assez petites. La démonstration est immédiate. Soit A le module maximum des a/; on peut se borner au cas de la seule équation

Pour X suffisamment petit, on a évidemment

t' <C hx,

h étant compris entre A et un. Donc, au bout de n transformations successives, la valeur de x sera inférieure à

et tendra, par suite, vers zéro quand n augmentera indéfiniment.

Ainsi, sous les hypothèses faites, toute solution du système (Zo) correspondant à des valeurs initiales assez petites tendra vers zéro quand t augmentera indéfiniment. Nous établissons ainsi, dans des cas très étendus, l'existence de solutions asjmptotiques à j;, = . . . = jc„= o pour un système d'équations de la forme indiquée.

POINTS SINGULIERS DES INTEGRALES REELLES DES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE.

I. — Des points singuliers généraux des équations du premier ordre et du premier degré.

1. Commençons par étudier les points singuliers des courbes •définies par une équation différentielle du premier ordre et du premier degré, c'est-à-dire par une équation de la forme

dx dy

où X et Y sont des polynômes en ^ et y; ces polynômes ont leurs coefficients réels et nous ne nous occupons maintenant que des parties réelles des courbes définies par l'équation précédente.

Par tout point (^, Jk) du plan à distance finie passe une courbe intégrale et une seule, si l'on n'a pas à la fois en ce point

Les points i^x^y)^ satisfaisant à ces deux équations, sont les points singuliers de l'équation différentielle, et nous allons d'abord chercher ce que deviennent les courbes intégrales dans le voisinage d'un point singulier.

2. En supposant le point singulier à l'origine, l'équation aura

la forme

dx __ dy

ax -h by -4- . . . a X -\- b' y -t- . . .

les termes non écrits étant de degrés supérieurs au premier.

D'après ce que nous avons vu (Chap. I, § 2), on pourra faire un changement linéaire de variables sur x et y, si l'équation du second degré en A

as b' — À

a ses racines distinctes, de telle sorte que l'équation devienne

dx' dy

les deux racines de Féquation (i) étant A| et Ao-

Différents cas vont se présenter, suivant la nature des racines de cette équation (i), qui s'écrit

À-— (a -h 6') À -f- ah' •— a' b = o.

3. Supposons d'abord que les racines de (i) soient réelles et de même signe; on peut alors supposer, en changeant, au besoin, les signes des coefficients a, Z>, a', 6', que

D'après un théorème général ('), établi au Chapitre I (voir aussi Chap. Il, Section I, et notamment la remarque au bas de la page 25),

(') Nous avons cependant une légère correction à faire au sujet des cas à exclure; il semblerait, d'après ce que nous avons dit (page i^), que le seul cas à exclure est celui où le rapport

est réel et négatif. Il y a encore un autre cas, c'est celui où ce rapport serait un entier positif ou l'inverse d'un entier positif . Il est clair, en effet, que, dans ce cas, une des deux équations

delà page 24 se trouvera vérifiée; ainsi la première est satisfaite pour /?, = o,

On doit donc exclure des conclusions générales du § 1, Chap. II, le cas où X serait un entier positif ou l'inverse d'un entier positif. Ces cas se ramènent au

l'intégrale générale est de la forme

(2) ■ «t=Gi4s

//, et u.;, étant des fonctions holomorphes de x ely dans le voisinage de ^ = o, j" = o, et s'annulant pour ces valeurs; C représente la constante arbitraire.

11 résulte immédiatement de ce qui précède que toutes les courbes intégrales se rapprochant suffisamment de l^ origine passent à l'origine. Il est visible, en effet, que la courbe (2) passe à l'origine, quelle que soit la constante G.

INous désignerons sous le nom de nœuds les points singuliers de la catégorie précédente. Un exemple très simple d'un nœud sera fourni par l'équation

d.r dy X ~ y '

dont l'intégrale générale esty=G^; l'origine, ici, est bien un nœud.

Dans les généralités qui précèdent, nous supposons que nous ne sommes pas dans le cas dont il est parlé ci-dessus en note, où

X est un entier positif ou l'inverse d'un entier positif. Pour ce

cas particulier que nous avons étudié (page 3o); pour le faire voir, considérons

le système

dt if,=rny + .x^...,

les ternies non écrits étant de degré supérieur au premier et m étant un entier positif. En posant

on ramène ce système au suivant :

^-^ =r (m — i)/H-a'jcH-...;

c'est un système de la même forme, où m est remplacé par m — i ; on pourra donc, en opérant de proche en proche, être ramené au cas où m ~i, qui a été étudié à la page 3o.

rOINTS SINGULIERS DES INTÉGRALES RÉELLES. 201

cas particulier, il suffit, comme nous venons de le dire, de se borner à /?î = i , et de considérer les équations de la page 3i

dt ' ^J^

Nous avons vu qu'on peut développer ^ et jk suivant les puissances de t et t\o^t. Les équations (3) en u et r de la page Sa ne changeant pas quand on remplace u et c par a?^ et ar, a étant une constante arbitraire, nous pouvons considérer que jc ety sont développées suivant les puissances de

tt et aMog^, et l'on aura

/et/, étant liolomorphes en ^ et j^et s'annulant pour x =: y = o. On en déduit

, fi(x, y)

et, par suite, l'intégrale générale prend la forme