ef^^;y)=f{x,y
On discutera immédiatement cette courbe en posant
f{x,y)^x', fdx,y)=y\ on a
ces courbes passent à l'origine, quel que soit a, et v ont pour tangente ra:se des y ,
4. Les racines de Téquation (i) restant toujours réelles, supposons-les maintenant de signes contraires. Les théorèmes généraux ne nous donnent plus l'intégrale générale. Nous connaissons seulement (Chap. II, p. 28) deux courbes intégrales passant à
'^l'origine, et les coefficients angulaires (voir loc. cil.) des tangentes à l'origine pour ces deux courbes sont données par l'équation du second degré en t
(3) a' -^ b' f — t{a -h bf) = o,
dont les racines sont réelles en même temps que celles de l'équation (i).
Ces deux courbes intégrales sont les seules qui passent à l'origine ou qui s'en rapprochent indéfiniment. Nous ne pouvons, pour la démonstration de ce théorème, renvoyer au Chapitre II, car il y a là un point que nous avons laissé en suspens (fOi/'page 3o). Il sera aisé de suppléer à cette lacune, en considérant seulement, comme nous devons le faire ici, les courbes réelles. Il suffira d'ailleurs de montrer, d'après le théorème établi (Chap. II, p. 3o), que la courbe a une tangente déterminée.
Remarquons d'abord que, les deux courbes intégrales ayant leurs tangentes distinctes et des points simples à l'origine, on peut faire un changement de variables tel que les axes des x et des y soient les intégrales dont nous venons de parler. L'équation diffélentlelle aura nécessairement alors la forme
dx dy
les termes non écrits, qui sont des séries entières en œ et en y^ étant au moins du premier degré en x ely.
Il est évident d'abord que, dans la région autour de l'origine, où les séries qui sont aux dénominateurs convergent, une courbe intégrale ne peut rencontrer l'axe des x ou l'axe des y. Si, en effet, une intégrale rencontre l'axe des y au point (^ ^r o, y ^ o), elle sera tangente en ce point avec l'axe des y et devra, par suite, coïncider avec lui. Ceci posé, envisageons une courbe intégrale passant à l'origine ou s'en rapprochant indéfiniment, et distincte de Ox et Oy. Nous pouvons supposer que, depuis un certain point P, elle est dans le premier quadrant (angle xOy). Suivons la courbe depuis le point Pq jusqu'à l'origine; si P désigne le point mobile de la courbe, le rayon vecteur OP tourne toujours dans le même sens autour de l'origine O, car autrement, pour la position du point P correspondant à ce changement de sens, la
POINTS SINGULIERS DES LNTÉGRALES RÉELLES. 2o3
droite OP serait tangente en P à la courbe, et l'on aurait pour les
1,1 . dor dy
coordonnées de ce point — = ^, et, par suite.
égalité impossible, puisque A, est différent de )v2-
Supposons, pour fixer les idées, que OP marche dans le sens de O^' vers Oy\ quand P tendra vers l'origine, OP aura nécessairement une limite, puisque la direction OP marche toujours dans le même sens et ne peut dépasser Oy, d'après ce que nous avons dit plus haut. Il est donc établi que la courbe intégrale considérée a une tangente à Vorigine et nous sommes alors assuré qu'il n'y a que deux courbes intégrales passant par le point singulier considéré.
Nous désignerons sous le nom de cols les points singuliers qui viennent d'être étudiés, par lesquels passent seulement deux courbes intégrales.
L'exemple suivant va nous donner, suivant les cas, des cols ou des nœuds. Soit la surface d'un terrain représentée par l'équation
le plan des xy étant horizontal. L'équation différentielle des lignes déplus grande pente, c'est-à-dire des lignes dont la tangente est en chaque point perpendiculaire à la tangente de la ligne de niveau (c z^ constante) passant par ce point, est évidemment
dy
àf
" àf
dx
ày
les points singuliers de cette équation sont donnés par les valeurs de X et j^, pour lesquelles
ils correspondent donc aux points de la surface où le plan tangent est horizontal. En prenant un tel point pour origine, nous avons
;: =z ax'*- -4- ihxy -i- cy- -f- . . .
et, par suite, l'équation différentielle devient dx dy
a X H- by -r . . . bx -v cy -^ . . . L'équation en \ est ici
X2 — ( rt -f- c ) X -h rtC — ^2 = O.
Les racines sont réelles; leur rapport sera positif si h- — ac <<o, et alors l'origine est nxifond ou un sommet de la surface, et toutes les lignes de plus grande pente passent par ce point, qui est un nœud pour l'équation différentielle. Si, au contraire, h- — ac^o, le rapport des racines est négatif et alors l'origine est un col pour la surface, au point de vue topograpliique ; cette dénomination correspond à celle que nous adoptons pour le même point relativement à l'équation différentielle. Il n'y a que deux lignes de plus grande pente passant par un col, d'après le théorème général établi ci-dessus.
5. Supposons maintenant que l'équation (i) ait ses racines imaginaires : )v, et A2 sont alors imaginaires. Il ne peut j avoir une courbe intégrale passant à l'origine avec une tangente déterminée,
puisque l'équation (3) en t, donnant les limites de -, a ses racines
imaginaires, mais la considération de l'intégrale va nous conduire à un résultat important.
Pour passer de l'équation proposée à la forme canonique, il faut faire un changement de variables imaginaires
a^' — aa? -t- ^y ,
a et Y d'une part, [3 et S d'autre part, sont imaginaires conjuguées.
Nous pouvons ici, à moins que ~ ne soit réel et négatif, nous ser-
vir de l'intégrale générale (2)
— const.
les fonctions holomorphes u^ et 112 en x el y sont imaginaires
POINTS SINGULIERS DES INTÉGRALES RÉELLES. 2o5
conjuguées, et nous pouvons poser
/et cp étant des séries réelles en x et r ^'annulant pour ^^o, j/=z o, et le déterminant fonctionnel de /et cp ne s'annulant pas pour JT ^= o, j- =z o. En posant de plus
li^p — rjL h2 = p -^qi,
nous aurons l'intégrale générale sous la forme
if-}- io)P+ii
-r^ H- . = const.
ou encore
(p-r-ql)\os(f~ i-s)—(p -qi)\og(f- /cp) = const.;
en prenant pour les deux logarithmes des déterminations imaginaires conjuguées, la constante sera de la forme Ci, C étant réel, et la courbe précédente sera réelle et sera une spirale se rapprochant indéfiniment de Vorigine, Pour nous en rendre bien compte, étudions la transformée de cette courbe par le changement de variables
qui donne pour x et j- des fonctions holomorphes de ç et r. dans le voisinage de ? = o, r, = o. On aura, si Ç = p cosG, r, = p sin9,
(/> + 5'0(logp + j6)-(/j-^j)(logp- iO)= Ct
et, par suite,
iq logp -^ 2/?6 = G, et enfin
C étant une autre constante. La transformée est donc une spirale logarithmique, et, par suite, les courbes intégrales que nous étudions sont des spirales tournant indéfiniment autour de l'origine, qui est pour elles un point asymptote. Nous avons donc une infinité d'intégrales ajant à l'origine un point asymptote; ce point singulier sera dit un foyer. Il résulte de ce qui précède que les
"cr^ I V in R SI T Y 1
courbes intégrales, se rapprochant suffisamment de V origine, auront ce point pour asymptote.
Je rappelle que nous avons supposé que —■ n'est pas réel et négatif, ce qui ne peut avoir lieu que si /? = o et alors ^ = — i , cas particulier que nous étudierons à la Section II.
Prenons comme exemple l'équation différentielle
dx dy
x—y ~ x-hy
En faisant la réduction à la forme canonique, on trouve que l'on doit poser
x' = x-^ iy, y = x — iy;
l'équation différentielle devient
, ., dr' , ., dx'
ou
(r + i) logj' — (i — i) \o^x' = const.,
et, par suite, si l'on pose
^ = rcosG, r = rsin9, l'intégrale générale est la spirale logarithmique
6. Nous venons d'étudier les points singuliers d'une équation différentielle du premier ordre et du premier degré, que l'on peut appeler généraux , c'est-à-dire les points singuliers qui ne supposent aucune relation particulière à^ égalité entre les coefficients de l'équation.
Ces points singuliers sont les nœuds, les cols et les foyers. Bien d'autres points singuliers peuvent se présenter, mais ils correspondent à des relations particulières; nous allons en voir un exemple dans la Section II de ce Chapitre.
On remarquera que nous n'avons supposé en rien dans les paragraphes précédents que X et Y fussent des polynômes en^ etjKÎ ils peuvent être des séries ordonnées suivant les puissances crois-
santés de x et^', convergentes pour des valeurs absolues suffisamment petites de ces variables.
Les dénominations de nœud, col el foyer sont empruntées aux Mémoires (*) de M. Poincaré Sur les courbes définies par les équations différentielles. Nous avons complété un point qui, malgré son importance, était resté sans démonstration, à savoir que par un col ne passent que deux courbes intégrales (§4).
