II. — Étude d'un point singulier spécial; des centres
7. Dans la première Section de ce Chapitre, nous avons étudié les points singuliers généraux des équations du premier ordre et du premier degré. Ces cas généraux sont en même temps les plus simples, mais il peut se présenter des cas particuliers correspondant à des relations particulières entre les coefficients des polynômes X et Y. Il ne paraît pas possible d'entreprendre actuellement l'étude de tous les cas particuliers qui peuvent se présenter; nous allons seulement, pour montrer la complication de celte étude, étudier avec quelques détails un cas particulier (-) ne présentant pas un caractère trop spécial.
Reprenons l'équation
dx dy
X et Y s'annulant pour jr = o, j' = o.
A l'équation précédente on peut associer l'équation aux dérivées partielles
ax oy
et il est tout naturel de rechercher si l'on peut satisfaire à cette équation en prenant pour F une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x ely. Si nous désignons par
cix^^y et ^;x-^oy,
(') H, Poincaré, Sur les courbes définies par les équations différentielles {Journal de Liouville, 1881 et 1882).
(') Consulter, pour l'étude des centres, le Mémoire de M. Poincaré {Journal de Mathématiques, 4* série, t. I, p. 172).
208 CLIAPITRE IX.
les termes du premier degré en x et en y dans X et Y, on voit immédiatement que le développement de F ne pourra pas commencer par des termes du premier degré, si l'on a
OLO — Py ?^ <^ •
Plaçons-nous dans cette hypothèse ; le développement de F commencera par des termes du second degré, soit
rt.r^ -h -ibxy -^ cyet l'on devra avoir
( ax +^7) {a,x '^by)-\- {^(x -^oy){bx-^-cy) = o,
d'où
(4) I a[i -I- ^(a -I- ô) — cv == o,
\ b^ -\- co — o\
ces équations ne seront compatibles que si l'on a
1 ^^ oc ^ 0 Y I ^- o-
lo ^ o\
Quand cette condition est remplie, on peut obtenir les valeurs de a, è, c. Nous discuterons aisément la condition précédente, en supposant que l'équation ait été réduite à la forme canonique employée dans la Section précédente, c'est-à-dire que l'on a
x, et A2 étant les deux racines d'une équation en \ déjà bien des fois considérée. La condition revient alors à
Si 1, et Ao sont réels, le rapport y sera alors égal à — i , et, par suite, le point sera un col. Si A, et Ao sont imaginaires, on se trouvera dans un cas nouveau laissé de côté au § o de ce Chapitre : c'est ce que nous allons étudier.
Le changement de variable à elTcctuer sur x et jr, pour passer de l'équation primitive à la forme canonique, remplace alors x
ely par deux expressions imaginaires conjuguées. Or, dans l'hvpothèse a = A, , p=z o, y =0,0= ).2 le polynôme
ax- -h ib xy -h cy-
se réduit, d'après les équations (4), à ibxy\ ce polynôme sera donc, en revenant aux variables réelles initiales, une forme définie, qu'on peut d'ailleurs supposer positive. Ainsi nous pouvons, dans le cas que nous étudions, admettre que les termes du second de2:ré dans F se réduisent à
et l'on a alors, d'après les équations (4),
Ainsi, sans diminuer la généralité du cas spécial que nous étudions, nous supposons que
et soit
F = x2 —yi -^ F3 — Fi —
F/ comme X^ et Y^ désignant un polj^nôme homogène de degré i en X ely. Il faut continuer le calcul de proche en proche des polynômes F3, F, , . . . . On voit que, si l'on a déterminé les F jusqu'au rang i — i , le polynôme F/ sera déterminé par une équation
de la forme
Hf désignant une expression dépendant de X et Y et des polynômes F déjà déterminés.
Nous sommes donc amené à nous poser la question suivante : en désignant par H/ un polynôme homogène et de degré / en x etj', déterminer un polynôme F/ satisfaisant à l'équation (5).
Pour résoudre cette équation, posons
a^ = pcostu, y = ps\nii).
On a alors, en désignant par F une fonction quelconque de
X et y,
dF ^ ()F
Soient F,-= p^'f (w), H/ = p''^(co), on a
9 ( w ) = I. A/c cos k (Jù -h B/,. sin A^ w , ^|> ( to ) = 2 G/,, co s A: 0) H- Dyt sin A co ^
les entiers A' étant au plus égaux à /, et de même parité que i.
L'équation (5) s'écrit alors
Pour qu'on puisse y satisfaire, il faut et il suffit que 'h (bi) ne contienne pas de terme indépendant de co , c'est-à-dire que
Cette condition est remplie d'elle-même quand i est impair, et il y a alors une manière et une seule de déterminer cp(o3). Quand i est pair, le terme Cq existera en général, et il n'y aura pas alors possibilité de trouver pour o{io) une expression de la forme indiquée. Quand Co est nul, cette détermination sera possible, et il restera évidemment une arbitraire dans l'expression de cp.
Revenons sur le cas où i est pair et Cq différent de zéro. On pourra alors déterminer une expression cp, de manière que
ce qui revient à déterminer un polynôme homogène Fi^x, y) de degré i, tel que
^ âx ây -^1'— ^o(^ -r-J .) .
8. Ceci posé, dans le calcul successif des polynômes F, on pourra se trouver arrêté dès le calcul de F.,, et on le sera même en général. Pour plus de généralité, supposons que ce soit au rang i (de degré pair) que Ton soit arrêté pour la première fois,
c'est-à-dire que la quantité Cq ne soit pas nulle. Posons
F=:^2^jt>^F3-i-F4^...--F,-;
le dernier polynôme F/ étant calculé, comme nous l'avons dit plus haut, et l'on suppose que Ton a fixé arbitrairement les constantes restant arbitraires dans F4, . . . , F/.
Il est clair que chacune des courbes de la famille
î étant une constante suffisamment petite, se compose, dans le voisinage de l'origine, d'une petite courbe fermée entourant ce point. Pour £ = o, cette courbe se réduit à un point. L'expression
dx ' dy
d'après la manière même dont ont été calculées F3, , . . , F^, ne renferme pas de terme de degré inférieur à i et ses termes de degré i se réduisent à
-Go(:c--^r2)¥.
Donc, si p = ^/j"- -;-j-- reste moindre qu'un nombre suffisamment petit Cq, cette expression aura un signe invariable, le signe opposé à celui de Cq. Supposons, pour fixer les idées, Co positif. Considérons maintenant, au lieu de l'équation donnée du premier ordre, le système équivalent
Suivons une trajectoire dans le voisinage de l'origine. Si, dans le polynôme F(.r, j'), on substitue les valeurs de x et y en fonction de ;, l'expression F deviendra une fonction de t, et l'on aura
— - X — -4- Y — dt ' dx ôy
Par suite, si le point (^,j^) est à l'intérieur du cercle décrit de l'origine avec le rayon Oq, on aura
F ira donc en diminuant quand t augmentera, tant que {x, y) ne sortira pas du cercle po- Revenons aux courbes
en faisant varier t de zéro à une valeur £« telle que ces courbes (ou du moins la partie fermée autour de l'origine qui nous intéresse seule) ne sortent pas du cercle Oq- Quand £ varie de zéro à £07 ces courbes grandissent et deux quelconques d'entre elles n'ont pas de point commun. Si une trajectoire rencontre une courbe F^£, le point (x^ y) ne sortira pas de cette courbe^ car, d'après ce qui précède, on aura à l'intérieur de la courbe
-di < "•
F ira donc en diminuant, et le point ne pourra pas revenir à la courbe F = £. Quand t augmentera indéfiniment, F diminuera indéfiniment. La limite de F sera donc une quantité positive ou zéro('). Si la limite de F est une quantité positive a différente de zéro, notre trajectoire se rapprochera indéfiniment de la courbe
qui sera pour elle une courbe asymptote. Montrons que la courbe F =^ a sera aussi une courbe intégrale. Tout d'abord, en remplaçant dans l'équation différentielle
d.T dy
les coordonnées rectangulaires par les coordonnées polaires (p, w), nous avons une équation de la forme
les coefficients A, B, ... étant des polynômes en cosco et sin w. Il
(') M. Poincaré suppose immédiatement dans son Mémoire (voir Journal de Liouville, p. 179; i885) que la limite est zéro. En fait, cette hypothèse est légitime, si l'on est suffisamment près de l'origine; mais il n'est pas inutile de développer davantage ce point pour être entièrement rigoureux.
POINTS SINGULIERS DES INTÉGRALES RÉELLES. 2j3
en résulte que to pourra croître indéfiniment et que notre trajectoire sera asymptote à la courbe F = a en tournant indéfiniment autour d'elle. Nous pourrons représenter la courbe F = a (dans le voisinage de Torigine) par l'équation
y(tL)) étant une fonction analytique de w ayant 2t: pour période. En posant
l'équation dilFérenlielle devient
les coefficients P, Q, R, ... étant des fonctions de g3 admettant la période 2-. Par hypothèse, cette équation admet pour intégrale une fonction ^ qui tend vers zéro en étant toujours positive quand la variable réelle w augmente indéfiniment. Or je dis que ceci est impossible si P n'est pas identiquement nul. Soit en effet Wo une valeur n'annulant pas P, pour ioq -r- ikr. [k étant assez grand) ; la fonction ^ sera aussi voisine que l'on voudra de zéro. L'équation
(Jdi I
donnera pour (o une fonction de v; pour une valeur initiale de Ç inférieure à tel nombre que l'on voudra et pour cj= co^-i- 2 A-, le champ de convergence de to, développée suivant les puissances de w, atteindra Torigine, et l'on aura donc v = o pour une certaine valeur de cd, ce qui est contre notre hypothèse. Par suite, Pest identiquement nul et ^ ^ o satisfait à l'équation différentielle, ce qui revient à dire que la courbe F = a est une courbe intégrale.
Or, si l'on cherche les courbes intégrales de la forme précédente, on ne pourra trouver qu'un nombre limité de valeurs de a. En prenant donc, comme fonction initiale pour notre trajectoire, un point à l'intérieur de la courbe F = a, qui correspond à la plus petite valeur de <2, on aura la certitude que la trajectoire considérée aura l'origine pour point asymptote.
2l4 CHAPITRE IX.
Nous avons, dans ce qui précède, supposé que Co était positif. Dans le cas où Co serait négatif, on changerait ^ en — ^ et la conclusion à laquelle nous venons d'arriver subsiste encore. Nous pouvons donc énoncer que, dans le cas où Von rencontre une quantité Cq différente de zéro, le point singulier considéré est un point asymptote et peut, par suite, être regardé comme un foyer.
9. Comme nous l'avons dit, il arrivera en général qu'on rencontrera une quantité Cq différente de zéro, et nous pouvons regarder la discussion du point singulier comme faite dans le cas général, mais le cas particulier, où tous les Cq seraient nuls et où par conséquent on ne serait jamais arrêté dans le calcul des polynômes successifs F^-, appelle nécessairement l'attention. M. Poincaré, qui examine ce cas dans son Mémoire (p. i8i du Mémoire cité), démontre directement que la série
est convergente pour des valeurs suffisamment petites de x et y, 11 en résulte alors que l'équation
G étant une constante suffisamment petite, représente dans le voisinage de l'origine une petite courbe fermée et, par suite, les courbes intégrales dans le voisinage de l'origine sont des courbes fermées s'enveloppanl les unes les autres.
La démonstration de M. Poincaré nous entraînerait trop loin. Je préfère me placer à un autre point de vue où nous allons retrouver des solutions périodiques. Prenons l'équation en coordonnées polaires que nous pouvons mettre sous la forme
do
dd ~^^ ^^^
Les coefficients des diverses puissances de p sont des polynômes en cosB et sin8; le premier est homogène et du troisième degré.
Considérons l'intégrale de l'équation précédente prenant pour 8—0 la valeur po- D'après un théorème générai (Chap. VIII, § 4), on pourra la développer suivant les puissances de po, et ce
POIMS SINGULIERS DES INTÉGRALES RÉELLES. «î I D
développement sera convergent dans un intervalle que nous prenons ici de o à 2- si po est suffisamment petit. On aura ainsi
p = aipo-h aop^ + agp^-f-. . .,
les a étant des fonctions de B, que nous pouvons calculer de proche en proche, a, prend la valeur un et tous les autres a la valeur zéro pour 9 := o.
Dans le cas où il y aura une intégrale de la forme F = C, les fonctions a devront avoir la période 2-, et inversement, si les fonctions a ont la période 27:, toutes les solutions autour de l'origine sont périodiques.
Si nous cherchons les coefficients a, nous voyons qu'en général ils ne sont pas périodiques; on a d'abord de suite
puis
ao sera encore une fonction périodique ; on déterminera la constante de manière que 7.2 s'annule pour Qr^o. Pour déterminer a3, nous aurons une équation de la forme
cp3 étant périodique. Pour que 7.3 soit périodique, il faudra que le terme constant dans C33 soit nul; s'il n'en est pas ainsi, a, ne sera pas périodique, mais on pourra néanmoins le déterminer et l'on choisira la constante arbitraire de manière que ag s'annule pour f) =1 o. On continuera ainsi la détermination des fonctions a de proche en proche, les prenant telles qu'elles s'annulent pour
Donc, dans tous les cas, nous déterminerons la solution p prenant pour 9 = o la valeur po> et elle sera déterminée de o à 27:, si po est suffisamment petit. Un cas très intéressant est celui où tous les a, calculés comme il vient d'être dit, sont périodiques; il faudra pour cela qu'une suite indéfinie de constantes, successivement rencontrées dans le calcul, soit nulle. Le développement qui représente p étant convergent de o à 2- sera alors évidemment convergent pour toute valeur de 9, et nous aurons comme inté-
2l6 CHAPITRE IX.
grales autour de l^ origine une succession de courbes fermées enveloppant ce point.
10. Il sera intéressant de considérer maintenant le système des deux équations
dx
dt
en nous plaçant dans le cas où les conditions que nous venons de dire sont remplies. Nous devons chercher comment l'angle polaire Q est relié à t. En remplaçant x Çil y par pcosS et psinO, nous
avons
dp f. . f. d^ . ^
-y- COS0 — 0 sin 0 ^- = p sin 0 -f- . . ,
dt ' dt ^
dp . ^ ^dO „
-7^ sin 0 H- p cos e —- = — p cos 9 -[-... ,
dt ^ dt
, do do dO
que nous pouvons écrire, en remplaçant -j- par -~ — ou par
dt d(i dt
Ap2+Bp3+...), [— sinO + p( )] = sin6-f-p( ),
dt d'où l'on déduit
[ cos6+p( )] — — cos0H-p( );
d^W . xn
dt) t'^?^ )]-'-^?(
les parenthèses représentant des séries ordonnées suivant les puissances de p dont les coefficients sont des fonctions périodiques de Q avec la période stu. On a donc
dt ^ /i -t- p ( ) dû.
Pour une intégrale, p sera, par hypothèse, une fonction périodique de 8 avec la période au, et nous ne considérons que les intégrales pour lesquelles p est suffisamment petit. Il en résulte que t est une fonction périodique de 9, t augmentant d'une certaine constante quand 9 augmente de 2-. Les solutions du système (6)
sont donc des fonctions périodiques de t^ et nous avons ainsi un exemple d'un système ayant toutes ses solutions périodiques [pourvu que les valeurs initiales {xq, yo) soient assez petites]; mais la période varie d'une intégrale à l'autre, dépendant de la position initiale (^o^J'o); ce dernier point est évident, car la période de /, considérée comme fonction de 9, dépend de Oq.
III. — Équations du premier ordre et de degré supérieur. Application à la recherche des lignes de courbure passant par un ombilic.
11. Des questions analogues à celles que nous avons traitées dans les deux Sections précédentes se posent pour les équations du premier ordre et de degré supérieur. Soit une telle équation
Nous devons considérer les points {x,y) pour lesquels une ou plusieurs valeurs de -i- sont indéterminées. Supposons que l'origine soit un tel point; la recherche des courbes intégrales passant en ce point et ayant une tangente déterminée se ramènera à des questions déjà traitées. Tout d'abord, l'équation donnant les coefficients angulaires de ces tangentes se forme immédiatement, puisque — et -^ ont, dans ce cas, la même limite. Posant alors y ^=. tx^ on a une équation différentielle en t
et il faut cliercher les intégrales de cette équation, prenant, pour jT ^ o, les valeurs trouvées pour les coefficients angulaires. On sera donc ramené en général à des problèmes de la nature de ceux qui ont été traités au Chapitre 11 et dans la première Section de ce Chapitre.
Prenons, comme exemple ('), l'équation du second degré
{ax^hy^...) (-£) -i- 2 («la:- + 6,jk -^■•■)^^ (^2 t -{- b.y -^ . ..) = o,
(') J'ai indiqué, dans les Comptes rendus (11 mars iSgS), le résultat de cette discussion qui n'a, je crois, jamais été faite.
2l8 CHAPITRE IX.
OÙ les termes, non écrits dans les parenthèses, sont de degrés supérieurs au premier. L'équation aux coefficients angulaires des tangentes aux courbes intégrales passant à Torigine est ici
(7) (a-r- bt) r--^i{a^-^ byt)t -\- a-i-^b^it = 0.
Des circonstances différentes se présenteront suivant la nature des racines de cette équation du troisième degré 5 les racines réelles seules seront ici intéressantes, et à une racine réelle ^0 correspondront, pour l'équation, une seule intégrale ou une infinité d'intégrales suivant que l'équation différentielle en ^, proposée de la transformée en posant j|^ = tx^ aura une intégrale ou une infinité d'intégrales prenant pour ^ = o la valeur Iq.
L'équation (7) se retrouve en faisant dans l'équation j^ = tx. Résolvant d'abord, on a
dy __ — {a^x -i- &ijK -+-•..) ± s/iaix -+- bxy -h. ..y — {ax -^ by -f-. .,) (a^x -\- b^y -i-...) dx ~ ax -\- by -^ , . .
et, par suite,
dl —1{a^bt) — {ay-\-bxt)-^x{ ) dz /(«i-h èj t)'^— {a + bt){a^-^ b, t)^x{ )
dx a -\- bt -T- X { )
en marquant par les parenthèses des séries entières en x et t. Pour ^ = o, le second membre se réduit à
— f{a-^bt) — {ax^bxt)±s/{ax-^bxtf—{a^-bt){ai^b^t)
a-\-bt
En égalant cette expression à zéro, on retrouve l'équation (7) du troisième degré, après suppression de la racine t=: — t»
On pourrait avoir à craindre, pour l'équation différentielle en ^, quelque difficulté à cause de cette racine ^ = — -r, distincte, nous le supposons, des racines de l'équation (7). Le second membre de cette équation se présente en effet sous forme indéterminée
pour
du moins pour une des déterminations du radical. Ne pourrait-il
pas y avoir alors une intégrale t de l'équation tendant vers
quand x tend vers zéro? Pour voir que la chose est impossible, il suffira de considérer, dans Féqualion différentielle proposée X comme fonction de y et posant x = t^ y^ on aura une équation différentielle entre y et t\ et cette équation ne pourra
avoir une intégrale ^' tendant vers quand y tend vers zéro,
car il n'y a plus ici aucune difficulté puisque ah-^. — a-^h y^o.
Les courbes d'intégrales que nous venons d'étudier étaient supposées avoir une tangente à l'origine. Peut-il exister d^ autres intégrales? Telle est la question qui doit maintenant nous occuper. 11 est d'ailleurs entendu que nous restons dans le cas général et que nous ne supposons remplie aucune condition particulière d'égalité entre les divers coefficients.
Outre l'équation (7), nous aurons encore à considérer l'équation
correspondant aux directions qui donnent une racine double dy
12. Supposons d'abord que l'équation (8) ait ses racines imaginaires. En se servant des coordonnées polaires, l'équation de la courbe devient
rf p -h p cos6 rf6 d"^ — 0 sin6 rfO
— («1 cosO — ^i ?inB)-f- o( )±/(rti cos6-t-6i sin6)' — (a cosô -t-6 sin6)(a2 cos6-h62siuO)
acos6 -h 6 sin6 + p ( ) que nous écrirons sous la forme
en posant
/(O) = — sin0(acosG -f- h sin6) — cose(ai cos0 -f- h^ sin6)
ricosO /(^rtiCOs6H-èisinO)2— (acos6-f-6 sin6) (aoCOsO-h^iSinÔj,
les coefficients de p, qui sont marqués dans l'équation (9) par des parenthèses, sont des séries ordonnées suivant les puissances de 0 et convergentes quel que soit 6; nous nous appuyons pour ce der-
nier point sur ce que l'équation (8) a ses racines imaginaires^ d'où il résulte que l'expression
(«1 cosO -h 6i sinO)2— (<2 cos6 -\- b s'mB) {a^ cos6 -f- b^ sinG)
ne peut s'annuler. Les racines de l'équation (7) correspondent aux racines de l'équation
et il est entendu, une fois pour toutes, que, parmi ces racines, nous ne comptons pas la racine, sans intérêt pour nous d'après une remarque du paragraphe précédent, répondant à
a cosO -H b sinO = o.
Il résulte de la forme de l'équation (9) que, partant d'une valeur initiale (po, Bq) avec une détermination fixée pour le radical qui figure dans/(Q), nous pourrons toujours faire varier Q dans le même sens {'^), les seules valeurs de Q appelant l'attention étant
(' ) Si l'on veut développer davantage ce point, on peut raisonner de la manière
suivante. Il pourrait se faire que le rayon vecteur changeât de sens de rotation,
si l'on arrivait à un point {x,y) de la courbe intégrale telle que la tangente en ce
point passe à l'origine. Or le lieu des points des courbes intégrales pour lesquels
la tangente passe à l'origine est la courbe que l'on obtient en remplaçant dans
l'équation différentielle -— - par — • Cette courbe a un point triple à l'origine, les
tangentes correspondant aux directions données par l'équation (7). En coordonnées polaires, cette courbe a pour équation le coefficient de t/p dans (9), c'està-dire
On pourrait craindre qu'une intégrale cùt^ sur une branche de la courbe précédente, une infinité de points dans le voisinage de l'origine, pour lesquels la tangente à l'intégrale passerait à l'origine. Dans ce cas, il ne serait plus permis d'affirmer que, si près de l'origine qu'on considère l'intégrale, le rayon vecteur marche toujours dans le même sens. Pour démontrer qu'il n'en peut être ainsi, remarquons qu'il y a une courbe intégrale tangente à l'origine à la branche considérée de la courbe (L); nous pouvons supposer, en effectuant préalablement un changement de variable, que cette courbe intégrale est l'axe des x. Pour une détermination convenable du radical, /(8) s'annulera pour 6 = 0, et l'équation différentielle devant être satisfaite pour 0 = o, quel que soit p, le second terme dans (L) s'annulera pour G = o, quel que soit p. Il en résulte que, dans le voisinage de 6 = o, l'équation différentielle peut prendre la forme
0[i + ( )]o?p = p[cp(0)H-p( )]d^,
la quantité représentée dans le premier membre par une parenthèse s'annulant
les racines de/(8) =^o. Si, 9 arrivant à une telle racine Oqj p prend la valeur zéro, nous serons dans le cas étudié d'une courbe ayant une tangente déterminée à l'origine.
Si 0 ne prend pas la valeur de zéro, le point ne présente rien de particulier pour nous. On pourrait encore a priori faire l'hjpothèse que, 9 tendant vers ôo» p ne tend vers aucune limite, mais oscille entre zéro et une autre valeur, mais on voit de suite que cela est impossible.
Nous venons de voir que Ton pourra toujours suivre une courbe intégrale en faisant varier Q dans le même sens, tant que l'on n'aura pas atteint l'origine. On peut donc penser qu'il est possible d'avoir une intégrale ayant la forme d'une spirale; nous allons voir qu'il n'en est rien.
L'équation (-) ayant au moins une racine réelle, il y aura toujours une courbe intégrale correspondant àTintégrale holomorphe de l'équation différentielle, qui passera par l'origine. (Nous nous plaçons toujours dans le cas général où il n'y a aucune relation particulière d'égalité entre les coefficients.)
Soit G cette courbe; concevons une autre courbe intégrale F, rencontrant en m la première et passant à l'origine ou s'en rapprochant indéfiniment. En suivant F, nous pourrons arriver au point O, B marchant toujours dans le même sens. Cherchons si F peut rencontrer G en un second point ni^ qui sera nécessairement(') situé sur G de l'autre côté que m par rapport à O. En m l'équation différentielle donne pour -j- deux valeurs; l'une convient à G, l'autre à F.
Sous le radical qui figure dans l'expression de -j- se trouve
pour p z= 6 = o. Si maintenant on suit une intégrale à partir d'une détermination initiale (ô^,, pj, 9^ et p^ désignant des quantités positives très petites, et que 6 commence par décroître, il continuera nécessairement à décroître jusqu'à 6 r= o, car le multiplicateur de rfp ne s'annule que pour 6 = o. Ce sera pour celte dernière valeur que p s'annulera si la courbe se rapproche indéfiniment de l'origine; il est clair que y(o) sera alors nécessairement positif.
Les considérations précédentes un peu développées permettraient même d'éviter la discussion que nous faisons ensuite dans le texte, mais l'étude directe fait pénétrer davantage dans la question.
(') Dans le cas contraire, 6 aurait dû rétrograder à un certain moment.
TJ-NTTTr
une expression toujours positive. Les points m et m^ sont de part et d'autre de O et très voisins. Supposons qu'en m ce soit la dé-
Fig. 7.
termination positive du radical qui convienne à F, le coefficient angulaire de la tangente à F en 7?i est
.p,. —{axX^hxy-\-...)-^-\l{a\X^b^y
ax -\- hy -\- . . .
tandis que, pour C, il faudra mettre le signe moins devant le radical. Suivons maintenant [x^y) sur F de m, en m'] le radical gardera toujours le même signe, en m' et m les coordonnées x
et y sont respectivement de signes contraires, les rapports —
ayant, à très peu près, la même valeur. Il en résulte qu'en suivant F nous trouvons en m' une valeur de E très voisine de la
valeur de -^ en m pour la courbe G et, par suite, très voisine de celle de -p en m! pour k même courbe G. Mais, en m' ^ Féqua-
tion différentielle donne deux valeurs différentes pour — -, les
deux valeurs, que nous avons trouvées peu différentes, sont donc rigoureusement égales, et, par suite, la tangente en m' à la courbe G coïncide avec la tangente à F : les deux courbes G et F coïncideraient donc, ce qui est absurde. La courbe F ne peut donc rencontrer G en aucun autre point que O (en dehors de m), et elle arrive par suite en O avec une tangente déterminée, rentrant ainsi dans la classe d'intégrales dont nous avons fait l'étude. Notre conclusion est donc que toutes les courbes intégrales cherchées ont à V origine une tangente déterminée.
13. Examinons maintenant le cas où Téqualion (8) a ses racines réelles. En écrivant que les deux valeurs de — données par l'équation différentielle sont égales, on obtient une courbe ayant un point double à l'origine avec tangentes distinctes. On peut faire un changement de variables tel que les deux branches de la courbe coïncident avec O^ et Oy] nous allons nous placer dans cette hypothèse. Les axes de coordonnées sont alors (Cliap. 10, § 2) le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales, et celles-ci, avant d'atteindre l'origine, resteront dans un même quadrant que nous pouvons supposer être le premier. Quand on suit une courbe intégrale, le rayon vecteur marche toujours dans le même sens, sauf pour les positions Ox et Oy où change le sens du mouvement; c'est ce qui résulte de ce que la seule irrationnelle figurant dans l'équation est le radical
P(6) = v/(«i cos6 -T-^i sin6)2 — (acosO -+- b sïnfi) ( a2 cos6 -i- ^2 sin6),
qui d'ailleurs ici se réduit à y^cosO sinO d'après nos hypothèses. Le signe de ce radical sera à changer quand 9 arrivera à zéro ou à -• Remarquons encore que toute racine réelle t de l'équation (-) satisfait à l'inégalité
(ai-\-b,':y-(a-^ô'z)(a.-hb.2':)>o,
comme on le conclut de suite de l'équation
(a^ bz)'z-—2{ai-r- biz)- -\- a-i-h b^-z = 0.
Il en résulte qu'il y aura, au moins dans le premier quadrant, une courbe intégrale avec une tangente déterminée.
Nous pouvons maintenant chercher à suivre une courbe intégrale qui tendrait vers l'origine. Soit G (Jig- 8) une intégrale
ayant une tangente déterminée à l'origine; suivons une autre intégrale F et supposons que, en suivant la courbe en allant vers l'origine, Q aille d'abord en croissant. Il pourra arriver que
p tende vers zéro pour une valeur de 0 moindre que -? et alors nous
aurons une branche de courbe avec une tangente déterminée.
Dans le cas contraire 0 pourra croître jusqu'à -? et la courbe T
aura un point de rebroussement a sur l'axe des y. Il faut alors faire décroître 8. Deux cas pourront alors se rencontrer : ou bien p prendra la valeur zéro pour une certaine valeur de Q comprise
entre - et o, et alors nous aurons une courbe intégrale avec une
tangente déterminée; ou bien 9 pourra atteindre la valeur zéro et on aura en b sur Ox un second point de rebroussement. Dans ce cas, il j aura certainement un point m de rencontre de G et de F, et pour la branche ab de F le radical \/l'*{^) aura un certain signe. Continuons à décrire F; ou bien la courbe intégrale arrivera à l'origine avec une tangente déterminée, ou bien 9 pourra aller
jusqu'à -; mais alors il y aurait un second point de rencontre m'
de F avec C. Pour la branche bm'^ le radical v/^^(9) a dans l'équation différentielle un autre signe que pour la branche bin. Or,
en m, l'équation différentielle donne deux valeurs de -j- correspondant aux deux courbes intégrales passant en m; ces valeurs correspondent aux deux signes du radical. L'une correspond à Cv, l'autre à F, mais en ni et m' les coefficients angulaires de la tangente à C sont très peu différents. Il s'ensuit que le coefficient angulaire de la tangente en 77i' à F coïncide avec le coefficient angulaire de la tangente à G (puisqu'en m ils étaient distincts, et que le signe du radical a changé en ^). Nous arrivons donc à une contradiction qui établit l'impossibilité du second point de rencontre m', à moins que ce dernier ne coïncide avec l'origine. Nous avons donc dans tous les cas la conclusion suivante :
Toutes les courbes intégrales passant à l'origine ou s'en rapprochant indéfiniment, arrivent nécessairement en ce point avec une tangente déterminée .
L'étude de ces courbes se fera donc sans difficulté, pour le cas
général^ en appliquant les considérations développées dans la Section I.
14. Nous allons appliquer les généralités précédentes à un problème intéressant de Géométrie, celui des lignes de courbure passant par un ombilic (' ).
Supposons que l'ombilic soit à l'origine, et prenons le développement de :; sous la forme
nous aurons
p^kx— \{ax-^--ibxy— cy"^)-^
\{bx'-^o.cxy--dy'^)
r -- /i -^ ax — by s =z bx — cy
t = k — ex ~ dy
L'équation différentielle de la projection des lignes de courbure est, comme on sait,
"~ ^[(^-^')'" — '•'■^'^')^] — tU^^')''~^^'■J='^• En substituant les valeurs précédentes, on a
en posant
if =■ a — c, ig = b — d.
L'équation (7) aux coefficients angulaires des tangentes aux courbes intégrales est ici
{b -^ Ct){t'^-i)^ i{f -r- gt)t = o.
et elle aura évidemment, suivant les cas, une ou trois racines
(') M. Cayley a fait le premier l'étude des lignes de courbure passant par un ombilic, sans la rattacher d'ailleurs à aucune théorie générale {voir Cayley, Mathematical Papers, t. V, p. ii5).
réelles. Quant à réquation (8) du second degré en t^ elle se réduit à
et a, par suite, ses racines imaginaires. En posant /^=: tx^ nous avons l'équation en t^ où nous n'écrivons pas dans le second membre les termes en x inutiles pour la discussion
dt — /(6 + cn — (/^^0± /(/-+- ,;?-na-t-( 6-4- c-n^ dx b -\- et
Nous savons que le second membre s'annule pour trois valeurs de t qui sont les racines de l'équation du troisième degré écrite ci-dessus. Soit a une racine de cette équation, il faut trouver le signe de la dérivée du second membre de l'équation précédente pour t = a. Il suffit de prendre la dérivée du numérateur et de la diviser par b -|- et et comme on a
on trouve d'abord, après avoir ainsi fait disparaître le radical,
— sia(ca-f-^)-f-c(a2+[)
et, après quelques transformations, en tenant compte de l'équation du troisième degré que vérifie a,
(a2+i)(6 + ca)
Si cette expression est positive, il y a une infinité d'intégrales langentes à la droite y = a^; il n'y en a qu'une, si elle est négative. Les deux circonstances sont possibles, car cette expression ne contient pas /"qui figure dans l'équation du troisième degré.
11 y a donc, suivant les cas, une seule ligne de courbure où une infinité de lignes de courbure passant par un ombilic et ayant pour tangente une des directions données par l'équation du troisième degré.
15. Un cas particulier très simple est celui où l'on aurait L'équation du troisième degré est alors
Nous avons donc la racine a = o, et l'expression correspondante, dont le signe est à rechercher, se réduit à
Supposons, par exemple, que
Nous aurons une seule intégrale tangente à la droite jk = oî si, de plus, comme il est possible, l'équation
a ses racines imaginaires, nous aurons un exemple d'un ombilic par lequel passe une seule ligne de courbure.
Ces conditions se trouvent vérifiées pour une surface du second degré. On reconnaît aisément que, en prenant pour plan des zx le plan principal passant par l'ombilic, l'équation de la surface peut s'écrire
et l'on a, par suite, un développement de la forme
On a donc
et, par suite.
= -{x-^ y-) -^ - ( « ^3 H- axy- )
On a bien -^ < i et l'équation aux coefficients angulaires des
tangentes se réduit à
Il ne passe donc par un ombilic d'une quadrique qu'une seule ligne de courbure réelle, résultat d'ailleurs bien connu.
SUR LA FORME DES COURBES SATISFAISANT A UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE ET DU PREMIER DEGRÉ {').
I. — Étude des points à l'infini ; relation entre les nombres des divers points singuliers.
1. Après avoir fait l'étude des points singuliers d'une courbe définie par une équation différentielle du premier ordre et du premier degré (Sect. I, Ghap. XI), cherchons à nous rendre compte de la forme des courbes définies par une telle équation. Reprenons donc l'équation
dx dy
où X et Y sont des polynômes en x ely. Nous désignerons d'une ïnanière générale, sous le nom de caractéristiques, les courbes que nous avons appelées jusqu'ici courbes intégrales de cette équation différentielle.
Nous n'avons jusqu'ici considéré que les points à distance finie. Pour discuter plus facilement les formes des caractéristiques à l'infini, nous projetterons ces courbes sur une sphère, en plaçant le point de vue au centre de la sphère. En joignant le point {x^y) du plan au point de vue, on a une droite qui rencontre la sphère
(') Nous suivons dans ce Chapitre le beau Mémoire de M. Poincaré [Sur les courbes définies par les équations différentielles {Journal de Liouville, 1881 et 1882)], en cherchant surtout à mettre en évidence les points les plus intéressants relatifs au côté qualitatif de la question.
