Dans l'équation
dx dy X" "" Y '
nous supposerons X et Y de même degré m et, de plus, aucune circonstance spéciale ne se présente relativement aux points singuliers, c'est-à-dire que ceux-ci se réduisent à des foyers, des nœuds et des cols.
Pour étudier les points à Tinfini, on pose, s'il s'agit d'un point non situé sur le grand cercle qui correspond a ^ = o,
et l'on a ainsi, pour le point considéré, ; =: o, ^ étant égale à une quanlitéy?/??^.
Si l'on veut considérer le point à l'infini situé sur le grand cercle jc = o, on posera
3. Nous avons fait précédemment l'étude des points singuliers, P. - m. 16
23o CHAPITRE X.
qui sont à l'intersection des deux courbes
Nous n'avons considéré que les points d'intersection à distance finie. Si les deux courbes précédentes se coupent en un point situé sur l'équateur, soit, par exemple, en un point non situé sur X = o, l'équation devient^ en posant
(;: =: G, ^ = a correspondant au point considéré à l'infini), — dz z dt — tdz
"(rD^^S'O
OU
en posant X (^-, -j = ^- ,^ , ^ (:^' i j == ~^^' ^'^ ^"^'^' d'après l'hypothèse que ^= o, i=a correspond à un point de
rencontre,
Xi(a, o) = o, Yi(a, o)=o.
4. Je dis d'abord que tout système de caractéristiques admet des points singuliers. Le seul cas, où l'affirmation précédente est douteuse, est celui oii les courbes X= o, Y = o ne se rencontreraient qu'à l'infini ou ne se couperaient en aucun point. Dans le premier cas, il résulte immédiatement de ce que nous avons dit au paragraphe précédent qu'un point de rencontre (^ = a, ^ = o) est un point singulier, car pour ce point
^Xi = o, /Xi— Yi = o,
et, par suite, les dénominateurs de l'équation
dz d.t
iXi ~ ^Xi — Yi
s'annulent pour t = y., Zz=^o.
Considérons donc le cas on les deux courbes X = o, Y=o n'auraient aucun point commun, le degré m de X et Y est alors pair évidemment.
COURBES SATISFAISàXT A L.NE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 23 i
En désignant par Xo et Yo les termes du degré le plus élevé en jc et y dans X et Y, nous devons supposer que l'on n'a pas identiquement
37 Yo — jX2= o :
€ette identité est, en effet, incompatible avec nos hypothèses. Car, si l'on avait
Xa serait divisible par x et Yo par >*. Soit
on déduit de l'identité ci-dessus
X3 est une fonction homogène et de degré impair ; donc elle s'annule, soit pour x r=z o, soit pour une certaine valeur - = a.
On aurait donc
soit pour ^ = 0, soit pour — = a, c est-à-dire que les courbes
X = o, Y = o se couperaient en un point de l'équateur.
L'équation ^Xo — ./Y2 = o, étant de degré impair, a nécessairement une racine réelle, que nous désignerons par a. Or, en j)osant, comme plus haut,
on voit que les équations
jXi = o, /Xi — Yi = o
s'annuleront pour ^ =: o, ^ = a, car ^X, — X ^ pour 3 =z o se réduit à ^Xo(i. ^) — Y^(i, t).
o. Nous plaçant toujours dans le cas général, nous pouvons supposer que les courbes
n'ont que des points simples de rencontre, et que ces points sont à distance finie. De plus, nous supposons que l'équation
37 Y, — vXo = o
n'a que des racines simples. De cette façon, t = ci.^ z =^ o (au paragraphe précédent) est une solution simple des deux équations
^Xi = o, ^Xi — Yi = o.
Dans ces conditions, tous les points singuliers (en dehors de l'équateur ou sur l'équateur) sont des points singuliers ordinaires du type de ceux que nous avons rencontrés dans la discussion du Chapitre précédent '.foyers, cols ou noeuds^ et exceptionnellement des centres (ceux-ci correspondant à des relations d'égalité).
J'ajoute encore que Véquateur sera une caractéristique , comme il résulte de l'équation
dz dt 4-^Xi "" ^Xi— Yi'
qui est vérifiée pour 5 = 0. Il en résulte que tout point singulier situé sur V équateur sera un nœud ou un col, car toutes les caractéristiques, passant par un foyer, ont ce point comme point asymptote.
Enfin, le nombre des points singuliers sur la sphère est évidemment pair, puisque tout est symétrique par rapport au centre de la sphère.
6. Considérons maintenant une courbe fermée tracée dans un hémisphère; il lui correspond une courbe fermée C dans le plan (jc,jk). Formons l'intégrale
\d\ — Yd\
que Ton prendra le long du contour C dans le sens positif. Comme nous l'avons vu (t. I, p. 87), l'intégrale J représente la difl'érence entre le nombre des racines communes aux équations
contenues dans C, pour lesquelles le déterminant fonctionnel
à]<^ àY dXâY ùx dy dy dx
est positif, et celles pour lesquelles il est négatif.
Si à l'intérieur de C il n'y a pas de point singulier, c'est-à-dire
