COURBES SATISFAISANT A UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

<ie point pour lequel X = Y = o, on aura évidemment J = o. Supposons qu'il y ait un point singulier à l'intérieur de G, et cherchons la valeur de J. Si ce point est à l'origine, on aura

X= ax -T- by -I-. . . , Y = a'x -h b'y -r- . . . .

Si on a

ab' — ba y- o,

on aura, d'après ce qui précède, J = i. Au contraire, si l'on a

ab' — ba' <C o, il viendra J = — i .

Or, dans le premier cas [ab' — ba'^o], les deux racines de l équation en A

X2 — (a -T- 6') X -r- ab' — ba' = o

seront de même signe ou imaginaires, et, par suite, le point singulier sera un nœud ou un foyer. Si, au contraire, ab' — ba' <^ o, les deux racines seront réelles et de signes contraires, et nous aurons un col. En désignant donc respectivement par N, F, G les nombres des nœuds, des foyers et des cols contenus dans un

contour F, on aura

On peut appeler J V indice du cycle; il peut être encore défini de la manière suivante. En appelant p le nombre de fois que le

<|uotient

passe de + ce à — ce quand le point {oc-^y) décrit F dans le sens positif, et par ji le nombre de fois que ce quotient passe de — oo à + 00 dans les mêmes conditions, on aura

7. En adoptant cette dernière définition, on peut parler de l'indice de Vérjuateur. Get indice est le nombre précédent pour la fraction

CHAPITUE X.

quand on j pose ^ =. r sinco, y = rsmio et qu'on fait varier o> de o à 2-; ce sera donc l'indice de la fraction rationnelle

-coLX2(l,0j'

pour t variant de - oo à + ^, puisque tout est symétrique par rapport au centre de la sphère (voir, pour l'indice des fractions rationnelles, t. Il, p. 187), et l'on peut évidemment aussi considérer l'indice de l'équateur comme la limite de l'intégral.

quand on pose ^ =. /-cosco, j=:/sinco, /• étant une constante qu'on fait grandir indéfiniment.

Reprenons l'équation du § 5

dz X,

Les valeurs de t, intéressantes pour nous, sont les racines de l'équation

<') Yi(;,o)-^Xi(^o) = o,

mais, puisqu'on a

Xi{f,o)=X,(i,t), on peut écrire l'équation sous la forme

et les racines de l'équation

correspondent à des nœuds ou des cols. Or, considérons l'expression

et désignons par a et [3 le nombre de fois qu'elle passe du positif