COURBES SATISFAISANT A LXE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

au négatif et du négatif au positif, quand t varie de — x à -h ce. Cette expression peut passer du positif au négatif, soit quand t rencontre une racine de (2), et alors nous avons un nœud, soit quand elle devient infinie en passant de -^ ce à — oc; de même elle peut passer du négatif au positif, soit quand t rencontre une racine de (2) correspondant à un col, soit quand elle devient infinie en passant de — 00 à +cc. D'ailleurs, puisque pour ^ = -{- co l'expression est négative, et positive pour i = — oo, on aura

et, par suite, si nous désignons par 2N' et 2 G' le nombre évidemment pair (puisqu'il y a symétrie par rapport au centre de la sphère) des nœuds et des cols sur l'équateur, nous aurons

U indice de VéqucUear est donc égala

8. En égalant les deux expressions trouvées dans les deux paragraphes précédents pour l'indice d'une courbe du premier hémisphère très voisine de l'équateur, nous aurons une relation entre les cols, les foyers et les nœuds sur la sphère. Nous appelons, comme ci-dessus, 2G^et 2N' les nombres des cols et des nœuds situés sur l'équateur. Désignons de même comme ci-dessus par 2 C, 2N, 2F les nombres évidemment pairs des cols, nœuds et foyers sur lereste de la sphère. Sur un hémisphère, les cols, nœuds et foyers sont en nombre respectivement égaux à C, N, F. On aura donc

i G'— N'= N-^F — G, que nous écrirons

2(NH-N') — 2F = 2(G-r-G') — 2.

On peut donc dire que, sur toute la sphère, le nombre des nœuds plus le nombre des foyers est égal au nombre des cols plus deux.