II. — Remarques générales sur la forme des caractéristiques

9. Faisons d'abord une première remarque relative à la continuation des intégrales. Quand on suit à partir d'un point une caractéristique, divers cas peuvent se présenter; il peut arriver que l'on arrive à un col ou un nœud (nous ne parlons pas des foyers auxquels on n'arrive pas puisque ce sont des points asymptotes). Quand on arrive à un col, on peut, soit suivre Tare de courbe situé de l'autre côté du col et ayant la même tangente, soit prendre l'arc à droite ou l'arc à gauche et nous ferons bientôt une hypothèse particulière à ce sujet. Pour les nœuds, les choses se présentent différemment et il faut nécessairement arrêter la caractéristique à un nœud. Nous savons en effet que, moyennant une transformation convenable des variables, on peut mettre l'équation des caractéristiques sous la forme

G étant la constante arbitraire, et X une constante réelle positive. Considérons une caractéristique arrivant à l'origine; soit, par exemple, pour une valeur donnée de C, la branche parfaitement définie correspondant aux valeurs positives de œ obtenue en donnant à x^ sa valeur arithmétique. Une fois arrivé à l'origine, nous n'avons plus aucune raison en général de suivre une courbe intégrale plutôt qu'une autre (sauf dans le cas particulier oià X serait commensurable) et nous arrêtons alors l'intégrale à un nœud.

Ceci posé, voici un premier théorème à peu près évident, mais fort important pour la suite. Je considère une demi-caractéristique C passant par un point non singulier A. Nous supposons qu'elle n'aille pas passer par un nœud, et nous allons montrer dans ces conditions que, si cette demi-caractéristique ne coupe tout cycle analytique quen un nombre fini de points, elle se réduit nécessairement à un cycle.

Partageons la sphère, d'abord en deux calottes sphériques S< et So par un cycle analytique. Comme la caractéristique étudiée ne rencontre ce cycle qu'en un nombre fini de points, il arrivera un moment où elle restera toujours dans l'une des deux calottes