COURBES SATISFAISANT A UXE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

sphériques, soit S,. Celle-ci devra contenir A; sinon, nous la partagerions en un certain nombre de parties par des cycles, et il y en aurait nécessairement une dans laquelle la ligne resterait toujours, cela pour la même raison que plus haut; finalement, on arriverait à avoir des cycles de plus en plus petits, à Tintérieur desquels resterait toujours la caractéristique, cycles qu'on pourrait faire tendre vers zéro, et alors le point limite serait un foyer, ce qui est incompatible avec l'hypothèse que tout cvcle ne coupe la courbe qu'en un nombre fini de points. Revenons donc à la calotte S, ; on la décomposera encore en deux parties, et la caractéristique finira par rester dans l'une d'elles, celle qui contient A. comme le montre toujours le même raisonnement. Finalement nous aurons une série de cvcles de plus en plus petits contenant A, à l'intérieur desquels restera la courbe; celle-ci va donc repasser par le point A, et nous avons bien un cycle, comme nous voulions l'établir.

10. Une considération d'une grande importance est celle du nombre des points où un arc de courbe donné sur la sphère touche une caractéristique, c'est-à-dire le nombre des contacts de cet arc. Pour un arc analytique régulier ou formé d'un nombre fini d'arcs réguliers, le nombre des contacts sera nécessairement fini. Soit donné dans le plan un arc pris entre deux points A et B de la courbe représentée par l'équation

on cherchera les contacts de cet arc en écrivant qu'en un point {oc^y) de cette courbe, le coeflîcient angulaire de la tangente est égal à la valeur de —- donnée par l'équation dilïérentielle, d'oii l'on conclut

ôx ày

Les intersections des deux courbes précédentes comprises entre A et B donnent les contacts cherchés. Si les deux courbes étaient tangentes en un point, il y aurait plusieurs contacts confondus, et alors la caractéristique en ce point aurait un contact d'ordre supérieur avec l'arc donné. En tenant compte du degré de multiplicité, on voit que /es nombres des contacts d'un cycle sans

OFTME -^

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point anguleux et ne passant pas par un point singulier est toujours un nombre pair ; c'est une conséquence immédiate de ce que deux courbes fermées de la sphère ont un nombre pair de points de rencontre.

Si le cycle a un point anguleux, le résultat précédent ne subsiste pas sans modification, car le point anguleux figure parmi les contacts. Nous supposons que le point anguleux est un point ordinaire pour l'équation. Deux cas peuvent se présenter : la caractéristique passant par le point anguleux traverse ou non le cycle. Dans le premier cas, un cycle peu différent du cycle donné, mais sans point anguleux, n'aura pas de contact voisin du point anguleux, et, par suite, pour le cycle donné, nous avons un contact de plus que pour le cycle auxiliaire; la parité sera donc différente pour les deux cycles, et nous pouvons dire alors que le point anguleux change la parité du nombre des contacts. Dans le second cas, il y aura pour le cycle auxiliaire un contact voisin du point anguleux, et le point anguleux ne change'pas la parité du nombre des contacts.

11. Si l'on joint deux points A et B d'une caractéristique par un arc de courbe qui n'ait avec la caractéristique d'autre point commun que ses deux extrémités A et B, l'arc de courbe et l'arc de caractéristique compris entre les deux points formeront pai* leur ensemble un cycle sphérique. Mais deux cas peuvent se présenter, et celte distinction est d'une grande importance. En premier lieu, les deux branches de courbes formées par la caractéristique prolongée au delà de A et B sont toutes deux intérieures ou toutes deux extérieures au cycle formé par les deux arcs. Nous dirons dans ce cas que l'arc de courbe sous-tend l'arc de caractéristique. En second lieu, les deux branches prolongées au delà de A et B sont l'une intérieure, l'autre extérieure au cycle formé par les deux arcs; nous dirons alors que l'arc de courbe sur-tend l'arc de caractéristique.

Ces définitions posées, considérons un arc de caractéristique ne passant par aucun point singulier et sous-tendu par un arc de courbe AB.

Nous allons montrer que le nombre des contacts de cet arc de courbe est impair. Supposons que Tare de courbe AB, supposé