COURBES SATISFAISAÎST A UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

analytique, soit représenté par l'équation

On pourra définir l'arc de caractéristique par les deux équations

dt ~ ' dt ~ '

et, puisqu'il ne passe par aucun point singulier, on peut admettre qu'on va de A en B sur la caractéristique, en faisant varier ^ de ^o à ^, (^0 <C t\)' Puisque l'arc AB de la courbe F sous-tend la caractéristique, la fonction

quand on substitue les expressions des coordonnées :r ety de la caractéristique, passera d'un signe à un autre, par exemple du positif au négatif, quand ^passera par ^o> et du négatif au positif quand t passera par ?, ; la dérivée de F(^,j') par rapport à t^ c'est-à-dire

' dx dy

sera donc négative au point A et positive au point B. Faisons maintenant décrire à (^,J^) l'arc AB de F ; l'expression précédente s'annulera un nombre impair de fois, et, par suite, le nombre des contacts de Varc est impair.

12. Dans le théorème précédent, l'arc de caractéristique ne passait par aucun point singulier, car un point singulier ne peut être atteint que pour ^ = oc, et nous n'avons plus alors de démonstration. On peut présenter autrement la démonstration du théorème précédent, en supposant alors que la fonction F(^,j^) n'est pas seulement définie dans le voisinage de l'arc sous-tendant AB, mais pour tous les points à l'intérieur du cycle formé par cet arc et la caractéristique. Il résulte, en effet, de ce que nous avons dit plus haut que la fonction

s'annulant en A et B, et passant, quand (^, J^) décrit la caractéristique, du positif au négatif en A et du négatif au positif en B,

passera sur l'arc de caractéristique par un Dombre impair de maxima ou de minima. Or, pour ces maxima ou minima, on a

c'est-à-dire que cette dernière courbe coupe l'arc de caractéristique en un nombre impair de points. Or cette courbe est analytique ; elle coupe donc le cycle formé par la caractéristique et l'arc sous-tendant, lui-même analytique, en un nombre pair de points. 11 faut donc que les contacts sur l'arc sous-tendant soient en nombre impair; c'est le théorème du paragraphe précédent. Dans le raisonnement précédent, on a supposé que les points de rencontre de la courbe (3) avec le cycle étaient des points simples correspondant à des contacts. Le cas où la caractéristique passerait par un col demande un examen particulier, car la courbe (3) passe en ce point. Si la caractéristique, arrivée en un col, continue par la courbe ayant même tangente, la courbe (3) traversera au col la caractéristique; la courbe F (œ,y) =^F(Xq, j-q)^ en désignant par (xq, yo) les coordonnées du col, traversera aussi en général la caractéristique, et la fonction F n'aura au col ni maximum, ni minimum; un point est donc à défalquer dans l'énumération des contacts, et nous avons alors un nombre pair pour les contacts de Varc sous-tendant.

Supposons, au contraire, que la caractéristique arrivée à un col soit considérée comme se continuant par un arc n'ayant pas même tangente. Etudions la disposition de la courbe (3), de la courbe F = Fq et du cycle dans le voisinage du col (.^o>J)^o)> nous pouvons supposer (^o = OiJKo = <^) et que de plus

\ étant négatif. Le cycle est formé d'une courbe tangente kOx et d'une courbe tangente à Oy. La courbe F = Fq a pour tangente

la droite

en posant F z= Fq H- ax -f- a[3jk + . . . , et la courbe (3) a pour

tangente

Ces deux dernières droites ne sont pas dans le même quadrant. Si la courbe F = Fo traverse le cycle au col, la courbe (3) ne le t^raversera pas; nous aurons alors au col deux points de rencontre de (3) avec le cjcle, et il n'y aura ni maximum ni minimum pour F. Au contraire, si (3) traverse le cycle, nous ne devons plus compter le col que pour un point de rencontre ; mais il y a alors maximum ou minimum pour F, puisque alors la courbe F =r Fq ne traverse pas le cycle. Dans les deux cas, la conclusion est la même pour ce qui concerne la parité du nombre des contacts; ici, comme au paragraphe précédent, le nombre des contacts de V arc sous-tendant sera un nombre impair.

13. Dorénavant, quand nous suivrons une caractéristique, nous prendrons pour son prolongement, si nous rencontrons un col, un arc de caractéristique n^ ayant pas même tangente au col. Ce prolongement pourra nécessairement alors se faire de deux manières différentes, car on peut prendre l'arc de droite ou l'arc de gauche par rapporta celui que l'on suivait d'abord. Cette façon de procéder peut paraître au premier abord singulière; il pourrait sembler plus naturel de suivre l'arc ayant même tangente, ce qui ne donnerait lieu d'ailleurs à aucune indétermination; mais alors nous n'aurions plus un nombre impair de contacts pour un arc sous-tendant, et l'on ne peut arriver à quelques résultats généraux que moyennant cette condition.

On peut démontrer, pour les arcs qui sur-tendent un arc de caractéristique, un théorème analogue à celui des §§ 11 et 12. Seulement, le nombre des contacts sera pair.

14. Parmi les arcs analytiques tracés sur la sphère, les arcs sans contact présentent un intérêt particulier. Considérons un arc sans contact ADB, et soit Mq un point de cet arc; par ce point passe une caractéristique que nous suivons dans un certain sens, et supposons qu'en la suivant ainsi nous rencontrions une nouvelle fois l'arc ADB au point M,. On remarquera d'abord que l'arc MqM, sur-tend l'arc de caractéristique MoCM,, car, s'il le sous-tendait, il y aurait un nombre impair de contacts sur l'arc MqDMi, un au moins, par conséquent; ce qui est impossible, puisqu'il est sans contact. Ensuite, si Ton continue à suivre l'arc

MoCM<, de caractéristique, je dis qu'on ne rencontrera plus l'arc MqDMi ; car, si Ton avait l'arc Mi FM2, il serait nécessairement sous-tendu par M< M2, ce qui ne se peut.

Ceci posé, soit Nq un point voisin de Mq et à gauche de M^M, sur l'arc AB {/l^g'' 9) ; par le point Nq passe un arc de caractéristique

.Fig. 9.

voisin du premier. Il viendra rencontrer AB en un point Ni à i;auche de M,, car, dans le cas contraire, il devrait rencontrer MoGM<. Si donc nous considérons le cycle NoCN, DMqNo, ce cjcle ne rencontre la caractéristique MqGM, qu'en un seul point Mq. D'après nos définitions du début, la caractéristique considérée est une spirale.

lo. De ce résultat nous allons déduire une proposition extrêmement intéressante relativement à la nature des caractéristiques. Envisageons une caractéristique de la nature de celle que nous étudions, c'est-à-dire qui, prolongée indéfiniment, n'aboutisse pas à un nœud. Cette caractéristique pourra être une spirale. Dans le cas contraire, elle rencontrera au moins un cycle analytique en une infinité de points, d'après le théorème du § 9. Un tel cycle se composera d'un nombre fini d'arcs sans contact. Un de ces arcs AB au moins est rencontré une infinité de fois par notre caractéristique; en suivant la caractéristique à partir d'un premier point de rencontre Mo avec AB, on en rencontre nécessairement un second Mj et les conclusions du paragraphe précédent sont applicables. La caractéristique est donc une spirale. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

Toute caractéristique ii' aboutissant pas à un nœud est un cycle ou une spirale.