Les remarques qui vont suivre s'appliquent à un systènae

d'un nombre quelconque d'équations; prenons un système de />

équations

«^.r, r/.r, dxp

Xi X, X

oii nous supposons que les X sont des polvnùmes de degré m en x^^ ...,Xp] de plus, les termes du plus haut degré dans ces polynômes n'ont pas de facteur commun.

M. Poincaré a indiqué un développement des intégrales de ces équations. Nous considérerons le système

dTi X/

-dF ^ î\2^x2- — ~rxT (^= 1,2,...,/?),

et nous allons chercher à obtenir un développement des x considérés comme fonction de t. Quand les x sont réels, les modules des seconds membres des équations précédentes sont moindres

(lue -• Soit

x\, xl, .... xl

un système quelconque de valeurs réelles des x-, on peut, autour de ces points, dans les plans respectifs des variables complexes X,, ^2 7 • • • , ^p, décrire des cercles de rayon p tels que dans ces cercles on ait

. — xj.

Ce rayon p a un minimum qui n'est pas nul, quelles que puissent être les quantités réelles x]. La difficulté pourrait provenir du cas où un ou plusieurs des x^, serait très grand. Soit, par exemple, x\ la plus grande des quantités x^- ^ nous poserons

x' sera très petit, et les y de modules moindres que lui. Or, en substituant ces valeurs dans l'inégalité ci-dessus, on voit qu'elle sera certainement vérifiée pour x' suffisamment petit, quels que soient les y entre — i et -f- i (en tenant compte de l'hypothèse faite sur les termes du plus haut degré des X) et, par suite, nous pourrons toujours tracer dans le plan des x les cercles de rayon ûxe 0, de façon à avoir l'inégalité indiquée.

Ceci posé, nous allons montrer que les x^ intégrales de l'équation différentielle, sont des fonctions holomorplies de la variable complexe t dans une bande parallèle à V axe réel, ayant cet axe comme médiane et une épaisseur 2p. Il suffit pour cela de nous reporter au théorème général relatif à l'existence des intégrales; en employant les notations du Tome II (p. 3 12) et de ce Tome (p. 91), le rayon de convergence assurée est la plus

petite des deux quantités

'Nous n'avons pas ici à considérer le nombre a, puisque les seconds membres ne dépendent pas de t. Nous avons d'autre part b = o, M = I , et par suite les développements s'effectueront de proche en proche, en partant d'un système de valeurs initiales réelles et en faisant décrire à t l'axe réel, à l'aide de cercles de rayon p ; ceci revient à dire, comme nous l'avons énoncé, que les intégrales sont holomorplies dans une bande d'épaisseur 2 p.

Il est alors facile d'obtenir des développements en séries. Il suffît de faire la représentation conforme de la bande sur un cercle de rayon un; on l'obtiendra en posant

qui revient à

et il est immédiat que la bande et le cercle de rayon un se correspondent uniformément. Toute intégrale se trouve alors holomorphe par rapport à z dans ce cercle, et elle peut être développée en série suivant les puissances de z.