COURBES SATISFAISANT A 1>E ÉQLATIO.N DIFFÉRENTIELLE

17. On pourrait obtenir bien d'autres représentations analytiques des intégrales : je proposerai la suivante. Prenons les équations

et reportons-nous à la méthode des approximations successives, et notamment au Chapitre V de ce Volume (p. 91). Nous aurons bien ici des équations rentrant dans la classe signalée, car les dérivées partielles du premier ordre des seconds membres des équations précédentes restent moindres qu'un nombre fixe pour toutes les valeurs réelles des œ. Les approximations successives nous conduiront donc à des développements convergents pour toute valeur réelle de t.

Il est clair que bien d'autres formes pourraient être adoptées, et l'on se trouverait dans les mêmes conditions pour une infinité de fonctions a(jc, , . . . , Xp) qui conduiraient à des équations dxi ,

du type que nous venons de considérer.

18. Les développements précédents, qui paraissent au premier abord intéressants pour la discussion des intégrales, sont en réalité de peu d'importance pratique. On ne peut savoir, en général, par eux ce que deviennent les x quand t augmente indéfiniment. 11 pourra arriver que les x ne tendent vers aucune limite, ou bien les x tendront vers des limites déterminées. Nous pouvons supposer, en transformant préalablement les équations, s'il est nécessaire, que ces limites sont finies; soit donc

rtr, rto

le système limite des x pour t = zc. xNous allons voir facilement que les a doivent satisfaire aux/j équations

Remarquons d'abord que fintégrale du système

dXy dXn

Xp

répondant anx conditions initiales «,, . . . , Op se comporte régulièrement en ce point si, pour ces valeurs, tous les X ne s'anniilenl pas, c'est-à-dire que la courbe intégrale aura en ce point une tangente déterminée. Or soit X^^ o pour a^, ,,.,Op\ nous

avons

dt= ^"'

et par suite t ne peut augmenter indéfiniment quand les x tendent vers les a.