COURBES SATISFAISANT A L.NE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

dante, à savoir le temps, sera spécifiée. Dans bien des cas, on ])Ourra cependant se servir des développements précédents. Sans formuler des remarques générales, je prendrai l'exemple des équations du mouvement d'un corps solide pesant autour d'un point fixe. Les équations du mouvement sont ici

(4) ( B^=(G-A)7'/>-MM^(.-oT -xoï"), ^j =pi'-n.

où /?, ^, /• désignent les composantes de la rotation instantanée sur les axes principaux, et r, y', y'' les cosinus de ces axes avec la verticale; A, B, C sont les moments principaux d'inertie et (xq.Voj ^o) les coordonnées du centre de gravité par rapport aux axes d'inertie. On a immédiatement trois intégrales premières, celle des forces vives, des moments des quantités de mouvement par rapport à la verticale du point de suspension, et enfin l'intégrale

Dans le problème qui nous occupe, la constante devra être prise égale à l'unité.

Ecrivons l'intégrale des forces vives qui est ici

(6) A/?2-T- Bq^-h G/-2— •2M^(^-oY+7oT'-i--oT") = const. Considérons le système formé par les équations

dp ^ (B — Ogr-^M^irof—ZoY)

d^r '-^(-qi

dx A/?2 | B ^2 i G /-^ ^ v- + ï'- + ï"- ^ Il

et les quatre équations analogues qui diffère seulement du système (4) par la présence d'un dénominateur commun dans les seconds membres, et la variable t remplaçant la variable ^; h désigne une constante positive.

On pourra intégrer le système par approximations successives,

24b CHAPITRE X.

et, étant choisie une des valeurs initiales, on aura pour

des fonctions de t déterminées pour toute valeur finie de t. Le système admettant les intégrales premières (5) et (6), les y resteront moindres qu'un nombre fixe, et alors, d'après (6), il en sera de même de/>, q^ r. La relation entre ^ et t est

dt

Ap-^ -H B ^2 ^ G /-^ -+- ^2 + y'2 -h y"2 t- h

et par suite, quand t augmentera indéfiniment, il en sera de même de t. On aura donc une solution valable depuis la valeur initiale ^^ jusqu'à une époque quelconque t. On a ainsi une solution satisfaisante au point de vue du calcul numérique, en ce sens que les fonctions inconnues

sont représentées par des développements convergents pour toute valeur finie de t, et faire croître t indéfiniment revient à faire croître t indéfiniment. D'après ce que nous avons vu plus haut, les développements trouvés n'auront aucune limite ou tendront vers des valeurs des six quantités précédentes, annulant les seconds membres des six équations difl'érentielles (4).