COURBES SATISFAISANT A UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 2^Q

la caractéristique passant parle point My de l'arc sans contact AB, elle rencontre d'abord, au point M,, le même arc AB. Il résulte des explications des § li et 15, que le point suivant M^ de ren-

contre ne sera pas entre Mo et M, ; il sera à droite de M,, c'est-àdire entre M, et B. Or, nous avons une infinité de points de rencontre de AB avec la caractéristique, et, par suite, une infinité de points

Mo, M,. M„ ..., M„, ...,

chacun étant sur l'arc AB, dans la figure, à la droite du précédent. Il en résulte que Mn aura une limite G. Parce point, qui n'est pas un point singulier, passera une caractéristique; si G ne coïncide pas avec l'extrémité B de l'arc sans contact AB, la caractéristique passant par G ne sera pas tangente à l'arc.

Il pourrait arriver que G coïncidât avec B et que, en B, la caractéristique fut tangente à BA. Quoique ce ne soit là la source d'aucune difficulté, nous pouvons toujours supposer qu'il n'en est pas ainsi, car, dans cette hvpotlièse, on mènera, par B, un arc non tangent à AB, qui sera sans contact si on le prend assez petit, et sur lequel nous pourrons raisonner.

Soit donc GG' la caractéristique passant par le point limite G. On voit immédiatement que cette caractéristique est un cycle. En effet, la caractéristique, passant par M/^, passe par un point M„^,, compris entre M„ et G; or, pour n très grand, M„ est aussi rapproché que l'on veut de G. Il en résulte que la caractéristique, passant par G, revient passer en ce point, c'est-à-dire qu'elle est un cycle.

Soit maintenant D un point sur GG', et menons par D un arc analytique DD'. En prenant n suffisamment grand, il est clair que

25o CHAPITRE X.

la caractéristique, passant par M,/, ira rencontrer DD', et l'on aura sur cet arc une suite de points

Po, Pi, ..., P«, ...

(si la rencontre a lieu depuis n =o) qui se comporteront sur DD\ comme se comportaient les points M sur AB. La limite de V,i sera le point D.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

La demi-caractéristique considérée a un cycle limite.

Nous donnons le nom de cycle limite à la caractéristique CC, qui est une courbe asymptote autour de laquelle s'enroule la demi-caractéristique étudiée.

22. D'une manière plus générale, toutes les demi-caractéristiques, passant par un point de l'arc AB, auront comme cycle limite le cycle CC, si l'on suppose qu'à aucun point de l'arc AB ne correspond une caractéristique passant par un col, et qu'au seul point G de l'arc AB correspond un cycle limite. En effet, nous avons une première caractéristique passant par Mo avec le cycle limite GC Si nous prenons No voisin de Mo, nous aurons une caractéristique voisine de la précédente et définie sans ambiguïté dans son prolongement, d'après les remarques des § 14 et 15, on aura des points de rencontre voisins de Mi,...,M/^, et tous à gauche de ces points, si Nq est à gauche de Mq. En prenant Nq suffisamment voisin de Mq, le point N| sera compris entre Mo et M<, et, de même, N„ entre M„< et M/^; la caractéristique passant par No aura donc encore GG' comme cycle limite. En allant ainsi de proche en proche, on voit que toutes les demi-caractéristiques correspondant à un point de l'arc AG auront le même cycle limite GG'.

Envisageons maintenant les points de l'arc GB qui sont de l'autre coté de la caractéristique.

La caractéristique passant par le point G revient au point G, puisqu'elle est un cycle. Par un point très voisin de G, sur Gl^ passera, par conséquent, une caractéristique, qui coupera certainement, une seconde fois, l'arc GB; on se trouve alors pour l'arc GB dans les mêmes conditions que pour Tare GA et il en résulte