CHAP. X. — COURBES SATISFAISANT AUNE ÉQUATION DIFFÉKEMIELLE

(le trouver pour les équations du premier ordre et du premier degré. Prenons, en effet, l'équation différentielle en coordonnées polaires

c/co

a-.-- =sj{b—p){ç>~a) (a<b),

y. étant une constante.

Si des coordonnées polaires on passe aux coordonnées recti- 1 ignés, on aura une équation algébrique en œ, y, ^^. De l'équation

d(jL) = a — ^ — ,

\[ résulte que nous aurons des caractéristiques comprises entre les deux circonférences

Les solutions seront périodiques, si a est commensurable . Mais, si a est incommensurable, nous aurons une courbe qui, à un certain moment, pourra se rapprocher, autant qu'on voudra, d'un point arbitrairement choisi dans la couronne, et qui d'ailleurs s'en éloignera ensuite. On a là une circonstance toute différente de celle qui se présentait pour les équations du premier degré; le prolongement d'une caractéristique se trouve couvrir, en quelque sorte, l'aire tout entière de la couronne comprise entre les cercles p z= a et 0 =:z b.

Cet exemple montre bien l'intérêt de l'étude résumée au paragraphe précédent.

GÉNÉRALITÉS SUR LES POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES {').